問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。漸化式は問題を解く中で処理しなければならない場面が多々あります。漸化式は道具として使う場面が多々あります。漸化式が立式できても、それが解けないとなると意味がありませんから、基本的な漸化式についてはきちんと処理できる必要があります。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。今回からテーマ別演習でパターン性の濃い計算技法を扱っていこうと思います。今回のテーマは「シグマ計算」です。最初にまとめておきます。シグマ計算の基本方針は次の3つです。第1講はまずシグマ計算の公式の確認と、その延長について扱います。手始めにまずは上の問題で公式の確認と、その証明をしてみてください。こちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。「全称命題」というテーマ性のある話題を扱います。これは分野は関係なく、「考え方」に難しさがあり、独特な議論の進め方をします。対応を知らないと、白紙になってしまったり、見当はずれなことを場当たり的に書いて終了してしまいかねません。全称命題だと見抜く「眼」と、見抜いた後の「対応」の両輪をきちんと揃えておき、ライバルに差をつけましょう。今回は恒等式となるための条件を考えるという問題です。こちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。のどの2つも互いに素であるとき、原始ピタゴラス数と言います。原始ピタゴラス数に関する入試問題は頻出であり、今回は何題かピックアップしてシリーズものとして取り上げたいと思います。こちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。多くの人が苦手とする話題である「定積分と不等式評価」という話題です。現役生の勝負のカギは数IIIの完成度にあると言っても過言ではないのですが、結局この分野を苦手としたまま当日をむかえてしまうことになる受験生は沢山いるでしょう。そんな受験生たちに差をつけましょう。不等式評価には絶対的な正解がありません。こちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。ことを(第1種)チェビシェフの多項式といいます。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。「数値評価」というテーマを扱います。第1回ということもあり、まずは丁寧な誘導のついた問題をもってきました。(1)は展開して定積分を計算するだけです。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。表向きは数学的帰納法の標準的な練習問題です。本問を解くだけならば、そこまで難しい話ではありません。(『数学的帰納法により示せ』と方針まで書いてくれています。それで終わらすにはもったいない話題である「ペル方程式」を扱った問題なので、少しふれておこうと思い、今回シリーズものとしてテーマ別演習で扱うことにしました。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。「背理法」のコラボレーション問題です。指導者側からすると「ハイハイこれね」と言いたくなるぐらい手垢のついた問題ですが、初めて解いた時の気持ちよさは今でも覚えています。漸化式に関する証明問題では帰納法を用いるのが常套手段です。本問では「互いに素」であることを証明するために背理法を用いることになります。矛盾の仕方が個人的に気持ちいいですね。...続きを読む実践演習について各分野についての単元学習を終え、一通りの典型問題を学習した方を対象として、より実践的なレベルの演習教材を提供します。汎用性の高い内容を含むトピックスについてはレベルの有無によらず適宜入れていく予定です。(数がある程度まとまってきたら、別項目で整理するかもしれません。)実際の試験場では、いたずらに設定が複雑だったり、結局この問題は何がやらせたかったんだ?と思うような問題に出くわすこともあるでしょうが、それを経験するのは過去問演習の段階で十分です。内容やテーマを出来る限りシンプルに聞いている解いた後「今日はこの話題をマスターしたぞ」という実感が得られるそんな良問をセレクトしていきます。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。2021年度入試の中でも注目度が一際高かった問題です。問題文の意味自体は下手すると小学生でも分かりますが、実際に試験場で見ると面食らう受験生も多かったかもしれません。実際に自分ではできたつもりでも、実は数え方がマズく証明できていないということにもなりかねないため、自分の手応えと実際の出来具合にはギャップがあるかもしれません。例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。類題3はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。高次の多項式に関する余りを求める問題で、頻出のトピックスです。例題からスタートし、徐々に難易度が上がっていきます。最後の類題3については、難易度は高めです。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。文字を含んだ式の大小を比較する問題です。単純に差を取って解決すれば問題ないのですが、差をとっても埒があかない問題もあるでしょう。本問は誘導はなく、方針から自力で考える問題です。取っ掛かりとなる部分は無理のない範囲の発想です。愚直に攻めてもよし、工夫して鮮やかに捌いてもよしという調理の仕方に幅のある問題です。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。シンプルな題意ですが、見かけとは裏腹にとっかかりが見えにくい難問です。「逆ならいえるのに」という類の問題で論証色が強いため、傷がないように話を進めるとなると神経も使います。千葉大の整数問題は割と本格的な問題も多いため、試験場では取捨選択も含めた判断がいるでしょう。例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。極限についての問題です。いう形の不定形ということになります。本問は丁寧な誘導がついていますので、その誘導に乗れれば、完答することは難しくはありません。その誘導自体も定番の不等式なので、経験があれば即沈みます。難関大学理系を想定して自作した問題たちです。パズル的な問題ではなく、難関大学の入試を意識して作問しました。「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」という方はぜひどうぞ。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。いう方はぜひご活用ください。今回は整数の問題です。ブロカールの問題と言われる次の問題があります。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。いう方はぜひご活用ください。今回は整数の問題です。等差数列の中で連続する素数の個数を考える問題です。個の項からなる素数等差数列が存在する。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。いう方はぜひご活用ください。今回は幾何の問題です。重心や外心、内心などは幾何的性質も豊富ですが、垂心についての幾何的性質については中々スポットが当たらないので、これを機に考えてみてほしいと思います。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。いう方はぜひご活用ください。今回は微積分の問題です。いう関数の面白い性質を問いにしました。基本的な微積分の練習問題としてご活用ください。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。いう方はぜひご活用ください。今回は確率の問題です。シンプルな題意とは裏腹に意外と考えにくさがあると思います。切れ味鋭く切れ込む解答を見ると、京大らしく感じるでしょうし、愚直に進めるとスタミナが必要な東大らしさを感じると思います。...続きを読む解答についてまずは解答を読む前に自力で考えてみてください。問題を解けるようになるためには、問題の難しさを実感することが必要です。実践的な演習においては一つの問題に対して粘り強く取り組む姿勢が今後の伸びを左右します。「ギブアップするのが悔しい」と思えるぐらい真剣に考えていただきたいです。記事の中にはネタバレの内容も少し含まれています。いったものは極力スライドボックスで隠しました。問題と解答はPDFファイルで準備してあります。天下り感が出ないように心がけて書いていますし、これからも心がけます。一通りの典型的な問題の処理力や、基本的な計算技能が身についているということを前提とした解答であることをご了承ください。☛大学入試の数学は「正しく」勉強すれば報われることを伝えたいと思います。【目標】:サイト名に込めました。声お問い合わせプライバシーポリシーMathClinic主に難関大学合格にむけた数学の入試問題の解説をしています。MathClinic。