中1数学中学1年生で習う数学の一覧です。中3数学中学3年で習う数学の一覧です。中1数学中学1年生で習う数学の一覧です。中3数学中学3年で習う数学の一覧です。中1数学中学1年生で習う数学の一覧です。中3数学中学3年で習う数学の一覧です。今回は命題と集合の逆・対偶・裏をわかりやすく解説していきます。前半は逆・対偶・裏とは何かについてわかりやすく解説して、後半で練習問題を解く構成になっています。読むだけで必要な知識を定着できる構成になっています。命題の逆・裏・対偶とは今回は、命題の逆・対偶・裏について説明していきます。具体例として、「\(x=2\)ならば\(x^2=4\)である」を考えます。逆とは命題の「逆」とは、\(P\)と\(Q\)を入れ替えた命題です。具体例を用いると、「\(x^2=4\)ならば\(x=2\)である」となります。対偶とは命題の「対偶」とは、\(P\)と\(Q\)を入れ替え、それぞれを否定した命題です。「\(Q\)でないならば\(P\)ではない(\(\overline{Q}\rightarrow\overline{P}\))」となります。具体例を用いると、「\(x^2≠4\)ならば\(x≠2\)である」となります。裏とは命題の「裏」とは、\(P\)と\(Q\)をそれぞれを否定した命題です。「\(P\)でないならば\(Q\)ではない(\(\overline{P}\rightarrow\overline{Q}\))」となります。具体例を用いると、「\(x≠2\)ならば\(x^2≠4\)である」となります。図にあるように、命題の逆の裏、または裏の逆が対偶といえます。Q\)と\(\overline{P}\rightarrow\overline{Q}\)が対偶の関係になります。P\)と裏\(\overline{Q}\rightarrow\overline{P}\)も対偶の関係といえます。ここで重要となることは、「もとの命題と対偶の真偽は一致する」という事実です。もとの命題が偽の場合は、対偶の命題も偽になり、さらに反例も一致します。先ほどの例を用いて説明します。もとの命題「\(x=2\)ならば\(x^2=4\)である」は、明らかに真です。次に、対偶の命題「\(x^2≠4\)ならば\(x≠2\)である」を考えます。否定が含まれているため大変考えづらいと思います。先ほど述べた事実を用いると、もとの命題が真であるため、対偶の命題も真と言えます。逆の命題「\(x^2=4\)ならば\(x=2\)である」は、\(x=-2\)が反例となり、偽となります。裏の対偶「\(x≠2\)ならば\(x^2≠4\)である」は、逆の命題と対偶の関係であるため、\(x=-2\)が反例となり、偽となります。もとの命題と逆の命題、もとの命題と裏の命題に対しては、必ず真偽が逆になる関係はないので、ご注意ください。問題1命題「\(x≦2\)ならば\(x^2≦4\)である」の逆・裏・対偶を考え、それぞれの真偽を求めよ。解説もとの命題の結論が計算できるため、計算します。すると、「\(-2≦x≦2\)」となります。したがって、\(x=-5\)が反例となり、もとの命題は偽となります。逆「\(x^2≦4\)ならば\(x≦2\)である」を考えます。同様に\(x^2≦4\)は「\(-2≦x≦2\)」であるため、逆の命題は真となります。裏「\(x>2\)ならば\(x^2>4\)である」を考えます。これは、素直に解いてもいいのですが、裏の命題と逆の命題は対偶の関係にあるため、真偽は一致します。したがって、裏の命題は真となります。対偶「\(x^2>4\)ならば\(x>2\)である」を考えます。これも、もとの命題の対偶なので、もとの命題と真偽が一致します。したがって、対偶の命題は\(x=-5\)を反例として偽となります。対偶:「x^2>4ならばx>2である」偽(反例x=-5)問題2命題「△ABCが正三角形ならば、△ABCは二等辺三角形である」の逆・裏・対偶を考え、それぞれの真偽を求めよ。解説もとの命題は、正三角形は全ての辺の長さが同じなので明らかに真となります。逆「△ABCは二等辺三角形ならば、△ABCが正三角形である」を考えます。あるが、正三角形とはいえないため、偽となります。裏「△ABCが正三角形ではないならば、△ABCは二等辺三角形ではない」を考えます。これは、素直に解いてもいいのですが、裏の命題と逆の命題は対偶の関係にあるため、真偽は一致します。8\)の三角形を反例として、偽となります。対偶「△ABCが二等辺三角形ではないならば、△ABCは正三角形ではない」を考えます。これは、もとの命題と真偽が一致します。したがって、対偶の命題は真となります。問題3命題「\(x≠5\)ならば\(x^2≠25\)である」の逆・裏・対偶を考え、それぞれの真偽を求めよ。今回のように、否定が多く含まれていて考えづらいときは、対偶から考えると考えやすくなります。対偶の命題「\(x^2=25\)ならば\(x=5\)である」を考えます。\(x^2=25\)を解くと、\(x=±5\)となります。したがって、反例として\(x=-5\)が考えられるため、偽となります。次に、裏「\(x=5\)ならば\(x^2=25\)である」を考えます。これは、明らかに真となります。続いて、もとの命題を考えます。もとの命題は対偶の命題と真偽が一致するため、反例を\(x=-5\)として、偽となります。最後に、逆「\(x^2≠25\)ならば\(x≠5\)である」を考えます。逆の命題は裏の命題と真偽が一致するため、逆の命題は真となります。(マイベスト参考書)学研プラスAmazon楽天Yahoo!まとめ今回は、逆・対偶・裏について解説しました。対偶の関係をうまく使うと、考えやすくなる問題もたくさんあることがわかったと思います。参考にしてみてくださいね。