難関大学合格にむけた数学の入試問題の解説をしています。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)ペル方程式の第4講は「ペル方程式の解と近似」という話題を扱います。この話題を扱ううえでうってつけの例題です。近似の精度をよくできるということを証明するというオチです。初見であっても適切な誘導があり、割と親切な設計となっているため完答を狙いたいところです。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。表向きは数学的帰納法の標準的な練習問題です。本問を解くだけならば、そこまで難しい話ではありません。(『数学的帰納法により示せ』と方針まで書いてくれています。それで終わらすにはもったいない話題である「ペル方程式」を扱った問題なので、少しふれておこうと思い、今回シリーズものとしてテーマ別演習で扱うことにしました。こちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。「ペル方程式」シリーズ第2弾です。今回は一見ペル方程式を前面に押し出しているわけではないですし、知識の有無が出来不出来には直結しません。前回の内容を学習した状態で、本問を最後まで解ききってみると、一本の線で何かが繋がる感覚になると思います。以下は単純に「純粋にこの問題を解く」という観点の内容です。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。「ペル方程式」シリーズ第3弾です。併せて学習すると、理解が深まると思います。今回はペル方程式を不思議な恒等式(ブラーマグプタの恒等式)からアプローチするという問題です。このブラーマグプタの恒等式をどう使っていくか、という活用力が問われます。式の形を観察する力や、その形から次の一手をインスピレーションする力など、脳の様々な場所が刺激されると思います。トライしてみてください。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。この話題を扱ううえでうってつけの例題です。近似の精度をよくできるということを証明するというオチです。初見であっても適切な誘導があり、割と親切な設計となっているため完答を狙いたいところです。ついてこのシリーズで散々扱ってきた連立漸化式の作成であり、ここまできたら迷う余地はありません。x_{n}+y_{n}\end{array}\right.\end{eqnarray}$$という結論を得ます。単純に比較してよいのかという問題はありますので、解答ではそのあたりをキッチリと詰めます。-({x_{n}}^{2}-2{y_{n}}^{2})\end{eqnarray}$$と、等比数列の構造を得ます。\(y_{1}=1\)です。初項:\({x_{1}}^{2}-2{y_{1}}^{2}=-1\)公比:\(-1\)ということなので、\({x_{n}}^{2}-2{y_{n}}^{2}=(-1)^{n}\)を得て、題意が示されます。漸化式が得られていますから、漸化式と相性のよい数学的帰納法でも示せます。それについては【解2】で触れています。ついていよいよ、この問題のオチです。よい近似値ということがどういうことかを数式的にどのように表現するかが問題です。良い近似値ということは誤差が小さいということです。\frac{x_{n}}{y_{n}}-\sqrt{2}|\)という誤差を表す式です。\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}-\sqrt{2}|\)ということが言えれば、誤差が小さくなり、よい近似値であるということの証明となります。今回、色々な別解を載せていますが、結局はこの「誤差が小さくなる」という目標に向かって進めていくという方針は変わりません。☛大学入試の数学は「正しく」勉強すれば報われることを伝えたいと思います。【目標】:サイト名に込めました。声お問い合わせプライバシーポリシーMathClinic主に難関大学合格にむけた数学の入試問題の解説をしています。MathClinic。