48こ」と朱書があり、「ポイント」として注が次のようにあります。「話の順序から、6×8と立式する子どもも出てくる可能性があるので、「~のいくつ分」がどちらに当たるのか、しっかり確認したい。大阪書籍の「平成13年/14年検定」版には、このような記述はなく、他の5社すべての「平成13年/14年検定」版にはかけ算の式の順序についての記述があったのと対比的であったが、現行版で大阪書籍も5社に倣ったということになる。よれば、東京書籍の小2の算数教科書の指導書には以下のように書いてあるらしい。同じ問題は以前の指導書では以下のような扱いになっていたが、現在の指導書では削除されているらしい。過去の誤りを認めずに都合の悪い記述をこっそり削除するのは社会的に無責任な態度だと考えられる。(これもすんごい!)「教科書会社のトップ「東京書籍」に言わせると、「5×3≠3×5」らしい。」よりなんと次のように書いてあったのだ!6×7と立式する子どもにはあめの図をかかせ、同じ数のまとまりは6なのか7なのかをしっかりとつかませる。6×7では、6人が7つ分になり、答えは子どもの人数となってしまうことをおさえる。これは単位サンドイッチ論法の実例になっている。これは「かけ算は、後ろと前で、単位がいっしょです。サンドイッチになるように書いてください。」という教え方と論理的には同じことである。「サンドイッチ」という言い方で教えることを提案している人は次のように述べている(赤字による強調は引用者による):イージーな教え方かもしれません。すると、算数研究専門家の関係者の方々からすると邪道と言われるかもしれませんが、イメージができない子供にとってはこの方法で確実に楽に立式ができると思います。何らかの助けにはなるかな、と思います。実際には教科書の教師用指導書に同じような教え方が書いてあったのだ。中日新聞2012年11月5日(月)朝刊の記事によれば、以上のような掛算の順序にこだわる教え方の根拠として、東京書籍は文科省が発行する指導要領解説に「10×4は、10が四つあることから、40になる」といった記述があることを挙げ、「順序に意味がある」と反論したらしい。10×4を「10が四つあること」と解釈してもよいのは当然であり、そのような解釈が書いてあっても10×4を「十個の4があること」と解釈することを否定していることにはならない。実際、文科省の側も東京書籍による指導要領解説のそのような解釈を「深く考えすぎだと思う」と打ち消している。要するに、東京書籍は掛算の順序にこだわる教え方の根拠は学習指導要領解説にあると主張したが、文科省側に否定されてしまったという格好になっている。以下は東京書籍『新しい算数2下』p.20とp.21からの抜粋である。p.20で掛算の交換法則について教えているはずなのに、その次のページで掛算の順序にこだわらせる問題を出している。[copy])によれば、「8人に鉛筆をあげます。1人に6本ずつあげるには全部で何本いるでしょう。「8×6」では、8人が6つ分になり、答えは人の人数になるので誤りという意味になることが書いてあった。これら2つの説明は微妙に違っているが、どちらも単位のサンドイッチ論法になっている。東京書籍は現在の2年下の算数教科書指導書からは単位のサンドイッチを子どもたちに教えるという指示を削除したようだが、単位のサンドイッチの(屁)理屈を現在でも捨て去っていないようだ。「国語教育だ」という説について:掛算の順序固定にこだわる教え方に関する議論になると、頻繁に次のようなことを言う人が出て来る:掛算の順序固定にこだわる教え方は国語の考え方を教えようとしているのだ。上で指摘したように、現実の算数教科書会社側は単位のサンドイッチの(屁)理屈を主張している。常識的には8人に鉛筆を6本ずつ配る場面において、8×6という式を見たら、8×6における8は鉛筆を配る先の人の人数であり、8×6における6は一人あたりに配る鉛筆の本数であると解釈するのが普通だろう。この常識的な解釈を否定することを教えるのは国語教育としておかしい。「掛順こだわり教育は国語教育である」という主張は国語教育にとても失礼な言い方だと思う。2年下』の指導書より画質は悪いがそれぞれに次のように書いてある。乗数が先に出てくる文章題なので、7×3という誤答も予想される。「かけられる数」と「かける数」を確認させる。(2)では、(1袋のみかんの数)×(買った袋の数)として立式できているかどうかを確認する。2下』のp.17より。立式するためにここでは、「いくつ分」の量が先に、基準量が後に示された適用題を扱い、「基準量のいくつ分」というかけ算の意味についての理解を深めさせる。[1]*のような問題では、児童は数値の与えられた順に立式してしまう(4×5とする)ことが多い。題意をしっかりとらえ、基準量が何なのかを判断し、正しく立式できるようにするためには、数図ブロックによる操作や図をうまく活用させるとよい。これまでに取り組んだ適用題と比較させ、示された数値の順序の違いを見つけさせることも、基準量を意識させるためには有効である。ここでは、かけられる数とかける数の意味がしっかりとらえられているかを評価したい。割算を教えるために掛算の順序にこだわる教え方が必要だという主張の問題については算数授業研究Vol.80のp.27の内容へのコメントを参照せよ。東京書籍『新しい算数3上』のp.28とp.32でも「□×5=20」と「5×□=20」のそれぞれと等分除と包含除を関係付けて説明している。そこでは「□×5=20の□にあてはまる数」を5の段の九九で見付けることを指示している。この部分では掛算の順序にはこだわらなくても良いということになっているらしい。(「□×5=20」と「5×□=20」の区別にはこだわっている。)あるところでは掛算の順序にこだわり、別のところではこだわらない。このような細々としたルールを覚えることを子どもたちが強制されるとしたら、大問題だと思う。現場の先生にはそのような教え方をしないことを期待している。東京書籍『新しい算数3上』のp.26にはどう見てもトランプ配りをしているようにしか見えない図がある。この図を見て一つ分の数は何に見えるだろうか。上の図には少なくとも次の二通りの解釈がある。幾つ分の数であると考えることができる。幾つ分の数であると考えることもできる。どちらも正しい考え方である。一般に割算は、一つ分の数を求めるとき「等分除」と呼ばれ、幾つ分の数を求めるとき「包含除」と呼ばれる。この図が以上のような二通りの解釈を持つということは、等分除と包含除を概念的に統合できることを意味している。等分除と包含除の統合は重要である。書いて良い理由を理解すること」はほぼ同じであると考えられる。いう答えを見出せるようになるかもしれない。自力で発見できるかもしれない。等分除と包含除の統合によって完全に同一の割算の式であっても常に両方の考え方を適用できるようになるのだ。ところが、現実の算数教育ワールドではどちらかと言えば、等分除と包含除の統合ではなく、等分除と包含除を区別することを子どもたちに強制しているようなところがある。それどころか、教員採用試験でも等分除と文章題と包含除の文章題を作らせる問題が出題されているらしい。等分除と包含除の統合によって同じ割算の文章題が同時に等分除と包含除の問題だということになるので、それは問題自体がおかしいということになる。掛算の順序固定にこだわる教え方と以上の問題の関係については「算数授業研究Vol.80のp.27からの引用してコメント」を参照せよ。啓林館『わくわく算数3上』のp.20には「□×3=6」と「3×□=6」の区別を用いた説明が書いてある。「□×3=6の□にあてはまる数」を3の段の九九で見付けることを指示している。この部分では掛算の順序にはこだわらなくても良いということになっているらしい。(「□×3=6」と「3×□=6」の区別にはこだわっていることに注意。小学6年の算数の教科書の中には、xやyのような文字を扱っているのに、掛算の順序にこだわり続けているものが存在する。啓林館『わくわく算数6上』のp.58の問題の解答がp.157にある。解答を見ると、文字式を導入しているのに、掛算の順序が逆だと正解にならないとされている。「解答欄に書いてある解答のみが正解ではない」という言い訳は問題3の正解が(う)のみになっていることから無効である。このような教科書が文科省の検定を通過したことは驚くべきことだと思う。指導書朱註には↓次↓のように書いてある。驚くべきなのは「つまずきと対策」の内容である。次のように書いてある:文章の表現にそった式を数量関係を表す式を立てるとき,左辺と右辺が反対になっている児童がよくいる。それを正しいと考えている児童もいれば,間違いだと考えている児童もいるため,その扱いにきちんと触れておきたい。☆1の(ア)でいえば,x×8=yでもy=x×8でも正しいが,「1冊x円のノートを8冊買い,代金がy円であるときの関係式」という文章の流れからいけば,x×8=yを推奨したい。円のノートがx冊」という意味になってしまうので問題文とは合わない。常に式の意味をしっかりと意識させることが大事である。円のノートがx冊」という意味になってしまう」という屁理屈の付け方は以前の東京書籍の指導書にあった「6×7では、6人が7つ分になり、答えは子どもの人数となってしまうことをおさえる」とは別のタイプの単位サンドイッチ論法である。このタイプの単位サンドイッチ論法は「2×8ならタコ2本足」や「3×2なら3本耳のウサギ」と本質的に同じである。3×2なら3本耳のウサギという教え方が使われた別の事例に東北大学大学院の院生による小学2年生に対するかけ算の学習支援がある。Yくんは大学院生たちに教わって掛算の文章題などを解けるようになっていた。12月の初旬になるとYくんは意気消沈し、文章題が解けなくなってしまっていた。実はその意気消沈の原因は掛算の順序にこだわる小学校での教育方針にあったらしい。このように掛算の順序にこだわる教え方が子どもを意気消沈させている場合もある。学校図書の6年生の算数の教科書の指導書には以下のような説明がある。p.44とp.45で「y=きまった数×x」と「y=x×きまった数」を厳密に区別して扱っていることがわかる。文字式で比例を扱っていても掛算の順序にこだわり続けているのである。以下の事例は「教科書にある,「いくつ分」×「1つ分の数」の実例」より。東京書籍の教科書では、小2で掛算を「一つ分×幾つ分」の順序で導入していて、掛算の順序にこだわる方針になっているのだが、結局、その順序だけで徹底できていない。次は東京書籍『新しい算数2下』p.6。掛算は「一つ分×幾つ分」の順序で導入されている。次は東京書籍『新しい算数4上』p.36。76枚の色紙を3人で同じ数ずつ分ける割算の問題の答えは、一人分は25枚で、余りは1枚になる。この場合に25は一つ分の数でかつ商になり、3は幾つ分の数でかつわる数になる。確かめ算の式は「わる数×商+あまり=わられる数」としているので、「3×25+1=76」となる。このとき「3×25」の部分は「幾つ分×一つ分」の順序になっている。掛算の順序に強くこだわったり、こだわらなかったり、ルールが極めて曖昧であるように感じられるが、もしかしたら、次のようなことなのかもしれない。算数教育ワールドでは「具体的場面を表わす式」と「計算の式」を区別する傾向がある。6人に8個ずつ配る場面を表わす式は8×6だが、計算では6×8を使ってもよい。「6人にあめを8個ずつ配ります。あめは全部で何個配られるでしょうか。」に「式:6×8=48」は誤り扱いされるが、「式:8×6=6×8=48」は正解になる。最初の「8×6」は具体的場面を表わす式であり、その次の6×8は計算の式だと解釈される。確かめ算の式は計算の式とみなされるので、掛算の順序にはこだわらないということなのだろう。以下の事例も「教科書にある,「いくつ分」×「1つ分の数」の実例」より。4人の順列が何通りあるかを求める問題。吹き出しの中に2番目までの並び方が何通りあるかに関する説明がある。1番目の4通りの各々について2番目が3通りずつあると考えているので、東京書籍の流儀では4は幾つ分の数で3は幾つ分の数になるはずである。吹き出しの中には「4×3通り」と「幾つ分×一つ分」の順序で式が書いてある。