この(全単射の取り方に依存する)群の同一視は次のように理解できる。入れ替える写像として具体的に理解することができる。間に定まる群の同型対応を具体的に与えている。無限集合についての対称群にあたるものとして二つの異なった概念が挙げられる。全単射全体のなす群を考えることによって得られる。(X)}として得られる群である。この二つの定式化は有限集合に対しては自然に同型な群を与えている。書かれ、無限対称群と呼ばれる。表すかは(対称群の作用の方向が左からであるか右からであるかという)文脈による。逆置換などと呼ばれる。&f^{m}(k)\end{pmatrix}}}で表す。ふたつの巡回置換が互いに素であるとは、それらが共通の文字を含まないことを言う。互いに素な巡回置換は互いに可換である。個の積」は自分自身という意味でいう)。巡回置換のことである。任意の置換は互換の積として表される。そのような表し方は一通りとはかぎらないが、表示にあらわれる互換の数が偶数であるか奇数であるかは表し方に依らずに決まる。いう(置換の偶奇性を参照)。次対称群の正規部分群となる。次交代群はより小さな群の合成としては表せなくなっており、このことから五次以上の方程式に代数的な解の公式が存在しないことが説明される(ガロア理論)。任意の置換は実は隣接互換の積に分解できる。隣接互換で生成される。An-型のコクセター群である。定義にはいくつかの方法がある。