上の対称群の任意の自己同型は内部自己同型である。群ホモロジーは極めて正則かつ安定である。2\end{cases}}}である。これは以下のように簡単に計算できる。ときであり、またすべての対合は、共軛であるから(アーベル群上の共軛変換は自明なので)そのアーベル化の同じ元へうつる。一次ホモロジーが得られる。4\end{cases}}}である。C_{6}}が成立するなど)に対して、交代群を対称群に取り替えることはできないことに注意すべきである。三重被覆に延びる)けれども、しかしそれは「ホモロジー的」(ホモロジーを取る操作と可換)ではないという意味である。そのアーベル化に取り替えることはできないし、後者の例では三重被覆をホモロジーに対応させることができないということになる。このホモロジーは安定ホモトピー(英語版)論でいう意味で「安定」である。これはリー群のホモロジーの安定性の類似である。対称群の表現論は有限群の表現論の特別な場合であり、具体的かつ詳細な理論が展開される。その応用は広く、対称函数の理論から、同種粒子に対する量子力学まで利用される。