数学を同時に学べるサイトです。よる専門的な数値解析も扱っています。以上の整数として\[n=\pm\,2^sq_1^{t_1}q_2^{t_2}\cdots\]のように表せるので、整数が平方剰余であるかどうかは\[\left(\frac{n}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{2}{p}\right)^s\left(\frac{q_1}{p}\right)^{t_1}\left(\frac{q_2}{p}\right)^{t_2}\cdots\]を計算して判定することができます。すべて求めて\[\left(\frac{-1}{p}\right),\:\left(\frac{2}{p}\right),\:\left(\frac{q_i}{p}\right)\]を計算すれば、その整数の平方剰余/平方非剰余を判定することができるということです。形の素数のときだけです。(\mathrm{mod}\:5)\]は解をもつということです。実際に確認してみましょう。(\mathrm{mod}\:5)\]が解となります。(\mathrm{mod}\:17)\]を計算しなくてはならず、少し面倒です。奇によってすぐに平方剰余/非剰余を判定できます。噛み砕いた表現に直しておきます(意味は同じです)。個あるならば、\[\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^t\]が成り立ちます。個あるならば、\[\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^t\]が成り立ちます。して具体的に調べてみます。割って余りを並べると、\[2,\:4,\:6,\:8,\:10\tag{1}\]というように同じ数が並びます。解をもたないことがすぐにわかります。別の方法で数えてみます。大きな余りは\[6,\:8,\:10\tag{2}\]です。小さな奇数が並びます。小さな奇数の個数に等しくなります。(\mathrm{mod}\:2)\]のように表すこともできます。(\mathrm{mod}\:2)\]と書き換えることもできます。以上を踏まえて一般的な証明を記述します。割って余りを並べると、\[2,\:4,\:6,\:\cdots,\:p-2,\:p-1\tag{4}\]となります。