\[p-r\lt\frac{p}{2}\]となります。(\mathrm{mod}\:2)\end{align*}\]が得られます(証明終)。=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\]相互法則はオイラーによって予想され、ガウスによって証明されました。世界を結びつけるもので、初等整数論の到達点であり、近代数論の土台となる重要定理といわれています。個あるならば\[\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^n\]が成り立ちます。個あるとすれば\[\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^m\]が成り立ちます。=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\tag{R2}\]を証明できたことになります。格子点を使って証明します。方程式は\[y=\frac{qx}{p}\]です。すると\[qx=py+r\]と表せます。この式を変形すると\[\frac{qx}{p}=p+\frac{r}{p}\]となります。大きいことを意味します。つの格子点の間の半分より上にあることになります。上側のほうだということです。内側にある格子点ということになります。内側にある格子点です。内部にある格子点の数に等しいことになります。対称に存在していることになります。自身が含まれるかどうかで決まります(含まれるなら奇数、含まれないなら偶数です)。整数として\[\frac{p+1}{4}=s,\quad\frac{q+1}{4}=t\]これを少し変形して\[\frac{p-1}{2}=2s-1,\quad\frac{q-1}{2}=2t-1\]となります。ともに奇数であることと同じです。=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\tag{R2}\]が示されました。(\mathrm{mod}\:4)$となります。ときは\[\frac{x-1}{2}=\frac{4k+3-1}{2}=2k+1\]となります。これを使って相互法則を書き直しておきます。あまりに大きな値であれば計算は大変です)。判定に必要となる定理をすべて再掲します。(\mathrm{mod}\:31)\]に解があるかどうかを調べましょう(このような簡素な問いに答えるために、私たちはここまで頑張ってきたのです!)。解なし(平方非剰余)です。第2補充法則によって計算できます。計算には相互法則を用います。相互法則によれば\[\left(\frac{3}{31}\right)\left(\frac{31}{3}\right)=(-1)^{\frac{3-1}{2}}(-1)^{\frac{31-1}{2}}=1\]なので、\[\left(\frac{3}{31}\right)=\left(\frac{31}{3}\right)\]と書き直せます。このように変形できることが相互法則の恩恵なのです。解をもつことがわかりました。平方剰余の問題を解いてみますコンピュータの力を借りると、平方剰余/非剰余の判定のみならず、実際の解を求めることも比較的容易にできます。割った値が並んでいます。なっているセル(緑色に塗られているところ)があります。あることがわかります。数論にとって相性の良いツールです。QR関数をつくっておきました。Residue(平方剰余)の頭文字です。関数のように扱えます。FunctionQR関数を使うときはセルに=QR(a,p)の形で入力します。(\mathrm{mod}\:31)\]をこの関数で解いてみましょう。いう値が返ってきます。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント名前メールサイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。