lib-arts数学検定準$1$級は数IIIまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。準$1$級」の数学検定準$1$級の内容に基づき、過去問題1の解答例と解説の作成を行いました。指数関数と展開の公式$t=2^{x}-2^{-x}$に対し、$t^2$は下記のように変形することができる。2\end{align}$$上記の両辺に$4$を加えることで下記が得られる。\sqrt{t^2+4}\end{align}$$よって$2^{3x}+2^{-3x}$は下記のように表すことができる。r^2\end{align}$$原点$(0,0,0)$を中心とする球の方程式は上記のように表せる。ここで上記の球は点$(2,-1,1)$を通るので下記が成立する。\gamma$に対し、下記の計算を行う。\gamma$を用いて下記のように表せる。\gamma\end{align}$$このとき上記の式の対応により、下記がそれぞれ成立する。\frac{1}{\gamma}$の値は下記のように得られる。「解と係数の関係」に基づいて公式的に考えても同様の結果が得られますが、導出自体の計算量がそれほど多くないので都度導出を行うで十分だと思います。\right)\end{align}$$1$A^2$は下記のように計算できる。\right)\end{align}$$2$A^3$は下記のように計算できる。\frac{4}{3}x$である。b$の値の導出を行う。極限値を持つことから下記が成立する。-2a-4$を元の式に代入すると下記が得られる。したがって、$a=-1,b=-2$のとき元の式が成立する。\tan^{2}{\theta}+1$より、上記は下記のように求めることができる。C_{3}}\end{align}$$上記の式は下記のように計算できる。\frac{16}{15}$より下記が成立する。\frac{17}{16}$より下記が成立する。1.23$が得られる。\right)\end{align}$$上記のような行列$A$について$A^3=-E$が成立するので、ケーリー・ハミルトンの定理より下記が得られる。(1)\end{align}$$ここで$A=kE$のように表せる場合は下記が成立する。よって、$(1)$式より下記が成立する。(3)\end{align}$$$(2)$式より$ad-bc=(a+d)^2$が得られるので$(3)$式に代入すると$(a+d)^3=1$が得られる。よって$a+d=ad-bc=1$である。ここで$a+d=1$より$a$と$d$のどちらかが偶数であるので$ad$は偶数である。よって$bc=ad-1$は奇数となるので$b$と$c$はどちらも奇数であると考えられる。三角関数と極限$[1]$$S_1$と$S_2$はそれぞれ下記のように表せる。\frac{S_2}{S_1}$は下記のように得られる。1\end{align}$$$[2]$$PA$と$PQ$はそれぞれ下記のように表せる。\frac{PQ}{PA}$は下記のように得られる。\end{array}\end{align}$$上記のように魔法陣の各値を$x_1$〜$x_9$で表す。$[1]$縦の$3$列に$1$〜$9$の数字を用いるかつそれぞれの列の和は一致することから、それぞれの列の和は下記のように得られる。15\end{align}$$ここで中央の値を$x_5$とおくと、真ん中の行と列、$2$つの斜めに並ぶ数の和は下記のように表せる。5\end{align}$$上記より$x_5=5$が示される。中心が$x_5=5$であることから、中央の列と行、斜めのそれぞれの$x_5$以外の値は「偶数、偶数」か「奇数、奇数」となる。x_9$は「奇数、偶数」の割り当てが必要だが『中央の列と行、斜めのそれぞれの$x_5$以外の値は「偶数、偶数」か「奇数、奇数」』であることに反する。x_6$についても同様である。x_9$が奇数である必要がある。2n$であることを示せば良い。C_i$は下記のように式変形を行うことができる。C_B$の少なくとも一方が$n$以上であることも同時に示される。C_B$の少なくとも一方が$n$以上を元に証明を行いました。式」に帰着させましたが、より制約の多い不等式を示すことで導出を行なったと解釈すると良いです。4AB$によって簡単に示せるので解答作成にあたっては式のみを用いるで十分だと思います。dx\end{align}$$$[1]$$I_{n+2}$は下記のように変形を行うことができる。I_{2010}$はそれぞれ下記のように表せる。I_{0}\end{align}$$よって$I_{2011}I_{2010}$は下記のように表せる。\frac{I_{0}}{I_{2011}I_{2010}}$は下記のように得られる。