対応する置換行列という。置換に対応する置換行列の定める線型変換は空間の向きを保ち、一方で奇置換に対応する線型変換は空間の向きを反転させている。正規部分群は有限の場合にはよく知られている。n-次対称群の単位群でない真の正規部分群である。場合にはもうひとつの単位群でない真の正規部分群としてクラインの四元群がある。無限集合上の対称群の正規部分群には、交代群に対応するもの以外にも、その集合の適当な濃度の部分集合の元を除いて全ての元を固定するような無限濃度で添字付けられた部分群なども存在する。元というものは、どれも無限対称群に含まれ、偶または奇置換である。可算無限集合上の対称群の単位群でない真の正規部分群はほかには存在しない。この型の極大部分群の十分わかりやすい記述がある[2]。p-群の重要な例をあたえる。特別な場合には、以下のようにより容易に記述することができる。個存在することが、単に生成元を数えることによってわかる。ふたつの巡回群の輪積である。2)}の形で与えられる。