行列とベクトルに関する通常の積はつねに原点を原点に移すから、したがって原点を他の点に移すことが必要になる平行移動を表現することはできない。追加することにより、本質的には変換される空間を余計な次元をもつ空間の部分集合と看做すことになる。もとの空間における平行移動は、この大きな空間の中では線型変換(とくに剪断変形)と見ることができる。斉次座標系を用いることは、複数のアフィン変換の組合せを行列の積によって一つに纏めて扱うことができるという点で有利である。これはコンピュータグラフィックスやコンピュータビジョン等で広く用いられる道具である。アフィン変換の性質編集アフィン変換が可逆であるとき、正則アフィン変換という。正則であるときであり、そのときに限る。0&1\end{pmatrix}}}で与えられる。正則アフィン変換の全体はアフィン変換群を成す。相似変換の全体は直交変換のスカラー倍で表される変換全体の成すアフィン変換群の部分群である。あることと、その変換で面積が保たれる(等積変換である)こととは同値であり、そのようなアフィン変換の全体もまた部分群を成す。直交変換となるものであり、その全体は相似変換群と等積変換群双方の部分群を成す。行列式が正であるがゆえに)向きを保つ変換からなる部分群をもつ。3-次元での等距変換群は剛体の運動(真の回転と純平行移動)全体の成す群である。ついて以下の条件は互いに同値である。