一つの不動点をもつようにすることができる。あるようなアフィン変換は、適当な点を原点と見て線型変換として書くことができる。アフィン変換が不動点を持てば、それを原点とみなすことにより、アフィン変換を線型変換に簡約化することができ、変換の分類と理解の助けとすることができる。変換をある軸に関するある角の回転として記述することは、変換を回転と平行移動の組み合わせとして記述することに比べれば、全体での振舞いを把握するのは容易である。これは対象とするものと文脈に依存する。「物体」に対する変換を記述するのであれば、離れたところにある点に関する単一の回転として記述するよりも、適当な平行移動を組み合わせて物体の中心を通る軸に関する回転として記述するほうが意味のある場合も多い。回転する」というよりも判りやすい。固有値に持つ)平面上のアフィン変換は以下のいずれかである。ある方向への直線に関して(必ずしも直交しない)別の与えられた方向への拡大縮小と、拡縮方向へは純でない平行移動との組合せ。ある場合(射影)や負である場合(鏡映や映進など)を含む。設定で、アフィン変換はちょうど直線を直線に写す。線型変換は任意の線型結合を保つ写像であり、アフィン変換は任意のアフィン結合を保つ写像である。等しいような線型結合をいう。ベクトル空間の部分アフィン空間(あるいは線型多様体)は部分線型空間の各ベクトルにある定ベクトルを加えることによって得られる、部分線型空間で割った同値類である。ベクトル空間の部分線型空間は、線型結合に関して閉じている部分集合であり、部分アフィン空間はアフィン結合に関して閉じている部分集合である。部分アフィン空間である。ベクトルからなる系が、系に属するどのベクトルも他の線型結合に表されることが無いとき線型独立というのと同様、どのベクトルも他のアフィン結合に表されることが無いときアフィン独立であるという。ベクトルからなる集合に対して、その線型結合全体の成す集合をそれらのベクトルが「(線型に)張る(あるいは生成する)」といい、常に部分線型空間を成すのと同様に、アフィン結合の全体の成す集合はそれらが「(アフィン的に)張る(あるいは生成する)」といい、常に部分アフィン空間を成す。二点からなる集合がアフィン的に張る部分集合はその二点を含む直線であり、同一直線上にない三点がアフィン的に生成する部分空間はその三点を含む平面である。満たすものが存在する場合にいう。_{i=1}^{n}a_{i}=0}をも満たす場合をいう。可逆アフィン変換全体の集合は写像の合成を演算として群を成す。ラベル付けられた平行四辺形をとる。