元吉http://www.parkcity.ne.jp/~mtystk/ある掲示板に「曲面z=xyの0≦x≦1,0≦y≦1の部分の面積を求めよ。」という問題があったので、わたしも計算してみました。求める面積Sは、z軸と曲面の法線ベクトルのなす角のsecantを0≦x≦1,0≦y≦1の範囲で積分すればよく、S=∫10∫101+x2+y2dxdyxについて積分した結果はS=12∫10y2+2dy+12∫10(y2+1)log(1+y2+2)dy−14∫10(y2+1)log(y2+1)dy・・・(1)となります。ここで(1)の第1項の積分は置換積分により簡単に計算できて∫10y2+2dy=32+log(2+62)・・・(2)第3項の積分はは部分積分により∫10(y2+1)log(y2+1)dy=[(13y3+y)log(y2+1)]10−∫10(13y3+y)2yy2+1dy=43log2−13∫10(2y2+4−4y2+1)dy=43log2−149+π3・・・(3)残った第2項の積分は少し面倒になります。∫10(y2+1)log(1+y2+2)dy=[(13y3+y)log(1+y2+2)]10−∫10(13y3+y)yy2+21+y2+2dy=43log(1+3)−13∫10(y4+3y2)1y2+2×(y2+2−1)(1+y2+2)×(y2+2−1)dy=43log(1+3)−13∫10(y2+2−2y2+1)(1−1y2+2)dy=43log(1+3)−13∫10{y2+2−2y2+1−y2+2+2(y2+1)y2+2}dy・・・(4)(4)式の中では定積分の中の最後の項のところが少し厄介です。y=t−12tという置換を行えば∫101(y2+1)y2+2}dy=∫1+3212tt4+14dtと変形できます。π4=π6という値になることがわかります。(4)の他の項は簡単に計算でき、結局(1)式の第2項の積分は∫10(y2+1)log(1+y2+2)dy=43log(1+3)−79+13(32+log2+62)+π18・・・(5)となります。(2)(3)(5)を(1)へ代入すれば、求める面積SはS=33+23log(2+3)−π18という答が得られます。