一般的にはライプニッツの記法が好まれますが、記述が煩雑になる場合にはニュートンやラグランジュの記法が用いられ、特に時間微分に対してはニュートンの記法が慣習的に使われています。多くの場合、変数がある条件を満たすような領域について特に興味があり、微分によって得られた新しい関数[6]が特定の領域で示す値を知りたいことがあります。おける値を示しているのか分からなくなることがあります。物体の位置について、その瞬間の速度を求めよ。例題で紹介したような物体の軌跡が具体的に分かっている場合については、その物体の瞬間の速度を物体の位置の時間微分によって求めることができます。ナイーブに考えると、あらゆる時刻における物体の位置を完全に知ることは原理的に不可能であり、微分を用いた速度の定義は、単なる数学上の高級品かあるいは絵に描いた餅のように思えます。このことは極端に捉えれば全く正しいのですが、物理学に限らず数理科学一般における基本的な立場とは完全に反します。物体の位置のような対象がある関数や方程式として表されることは、その対象について完全な理解を得られたことによるものではなく、いくつかの仮定に基いて推定したことによるものです。置かれた仮定の正しさは既知の現象をよい精度で再現し、未知の現象を精密に予測し得ることによって保証されます。悪く言えばその場凌ぎと言えますが、「完全に合致する」という評価基準そのものが無根拠である限り、それよりいくらか弱い評価基準を構成することは適切な処置であるとも言えるでしょう(後で充分な根拠を用意できるなら)。私達は現実の世界がどうなっているかに興味があるのではなく、現実がどのように捉えられるか、あるいはより限定して、現実世界はどのような特徴を持っているかに興味があるのだということを忘れてはなりません。例題では具体例によって示しましたが、微分にまつわる重要な関係について再度まとめておきましょう。(f(t)+g(t))'=f'(t)+g'(t)}とそれぞれの関数の微分の和に書き直すことできます。(cf(t))'=cf'(t)}のように元の関数の微分の定数倍になります。(f(t)g(t))'=f'(t)g(t)+f(t)g'(t)}が成り立ちます。置き換えれば分かるでしょう。逆関数の微分について、次の関係が成り立ちます。{1}{nt^{n-1}}}}となります。(y>0)}が得られます。いう形になっていることが分かります。つの自由度が与えられます。{x}}(t)={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}}と表すことができます。して表すことができましたが、一般には相対位置をデカルト座標系で表す場合にはそれぞれの成分についての差をとったものとして表されます。_{2}}\end{pmatrix}}}となります。よって定められますが、二次元の場合にはピタゴラスの定理を利用して、以下の形で与えられます。{y}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}}のように定めれば内積を用いて距離を表すことができます。}\right)}}}と書くこともできます。行列の転置を表し、ここでは列ベクトルを行ベクトルにする操作を示しています[9]。{X}}}と書くことができます。右辺は古い座標系における量で左辺が新しい座標系を表します。新たな座標系の原点となっていることが分かります。上記の関係を各成分ごとに分けて表せば以下のようになります。点間の相対的な位置関係は変わらないということが挙げられます。}\end{aligned}}}と書き換えられます。このことから、座標系を平行移動しても物体間の距離が変化しないことがすぐに確かめられます。すると、スケール変換は以下のように表すことができます。正の実数であり、スケール因子と呼ばれます。変換前と変換後の座標系は完全に一致します。いう関係が成り立ちます。これらの関係は物体間の距離に関しても成り立ちます。変換は基準の長さを大きくする変換であると考えることができます。平行移動とスケール変換は一次元の場合にも同様に行うことができますが、二次元の場合と一次元の場合で扱い方の異なる変換も存在します。その中でも最も基本的なものとして座標系の回転操作、特に原点を中心とする回転が挙げられます。回転させる場合、ベクトルの成分は反時計回りに回転されたように見えるため、物体の位置は変換後の座標系において以下のように表されます。呼ばれ、ベクトルの回転操作を表します。いい、これらは三角関数と呼ばれる関数たちの一つに数えられます。座標系の回転について、物体間の距離や物体と原点の間の距離は変わらず、次の関係が成り立ちます。\right)^{2}=1}という関係が得られます。これはピタゴラスの定理そのものです。{I}}}という関係を満たすことが分かります。{I}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}と書くことができます。呼ばれ、回転行列はその一種であることが分かります。他にも座標系の回転について、回転角の和が等しければ回数や順序によらず同じ座標系が得られるので、次の関係が成り立ちます。\right)\end{cases}}}という三角関数に関する加法定理が得られます。座標系の原点と基底さて、ここまで座標系の変換の具体例をいくつか紹介しましたが、上に挙げた例では変換前と変換後の座標系で同一のベクトルを表した際に、ベクトルの成分がどのように変化するかという視点で説明しました。この観点において、実際にはベクトル自体は何の変換も受けないにもかかわらずベクトルが変化してしまっているように見えることと、座標系に対する変換を成分に対する変換として表してしまっていることは、事情を必要以上に複雑に見せる場合があり不満が残ります。原点をあらわに書いて座標系の変換を書き直します。よって一意に表すことができます。ベクトルの成分とは、ベクトルをある基底ベクトルの線形結合として表した際に出てくる[11]、基底ベクトルの係数の組のことをいいます。それぞれ以下のように表すことができます。^{(2)}\end{aligned}}}となります。よって表せば、上記の関係は以下のようにまとめられます。\end{cases}}}これらの関係から、基底の変換行列が満たすべき条件を導くことができます。