技術ネタ関連ずいぶん前のコンベンションで宮島さんに聞かれてた問題。実は少し後に答え自体は出ていたのだけれど、放っておいて今に至る。正20面体の辺の色分けと考えるのが、個人的にはやりやすいと思う。思いついたのが、それぞれの色各10枚の位置関係は対称にはならない事。正多面体の対称性を考えると、いくつかの種類に別れるはず。10の対称”面”ならあるけれど、今回はあまり使えなさそう。次に色分け図を見て気がついたのが、5本の辺がそれぞれ繋がっている事と、それが6本絡み合っている事。これはよく考えると当たり前の話で、各頂点には5本の辺が集まっているので、3色での色分けでは必ず1:2:2となる。この1が6本の色線の端になる。頂点は12なので色線は6本となる。6本3色であれば対称性が分かりやすい。色分け図を詳しく見ると、5本の辺はS字に曲がっている事に気がつく。たしかにこれ以外では無理っぽい。正20面体=変形正四面体であると考えれば、納得の対称性と位置関係。いう事で、構造的には右巻きと左巻きの2種類がある。20面体の頂点5枚を組む。色はa(青)×1:b(赤)×2:c(緑)×2になる。その周りを組んで三角形の面5つをつくる。これは自動的に決まる。使うのはa(青)×3:b(赤)×1:c(緑)×1。手順1でa(青)を使っている頂点(白印)に注目、a(青)ともう1つ(b(赤)またはc(緑))を合わせて頂点をつくる。印の頂点を手前にする。a(青)ともう1つ(図ではc(緑))で頂点をつくる。3つ組み合わせて三角形の面3つをつくる。2カ所あるユニットが4つ集まっている頂点のうち、片方は両側の色が違うため確定している。3つ組み合わせて面を2つつくる。4つのユニットが集まっている印の頂点を手前に。色はc(緑)に確定している。あとは確定している頂点・面を順番に埋めていけば完成。印の頂点はつなぐパーツの色が確定済。それぞれ組んで進めていけば全体が組み上がる。ポイントとなるのは3の手順で、ここで正しい色のパーツを組む事で巻き方向を確定、残りの色も全て決まります。逆にここで間違えて緑と赤を組んでしまうと、少し先で行き詰まります。線対称になっているので、2つ先くらいの手順で同じ色が隣り合うはず。これはダメなパターン。青のパーツが赤と緑で取り囲まれている。