勉強法ツイートこの記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。はじめにベクトルの勉強において、最初にぶつかる壁である「内積」ほとんどの教科書では突然公式が出され、内積とは何なのか?という基本が置き去りになっています。その表面的な理解のままでは大学入試の問題を解くことはできません。この記事では、内積とは何かをはじめに説明し、そのあと内積の求め方の公式や計算方法、3次元における内積の性質を説明していきます。わかりにくい内積ですが、「この式は何を意味するのか?」ということを確認しながら問題を解けば、必ず使いこなせるようになります。内積を理解して、ベクトルを得点源にしましょう!内積とは?では、まず基本中の基本である「内積って何?」というところから説明します。内積を求めるときは「影」を考えよう2つの平面ベクトル、→aと→bを考えます。→bと表します)これらのベクトルを平面上においてみるとこうなるとしましょう。このとき→aの垂直方面、真上からライトを照らしてみましょう。→bが→aに映し出す影は、この青い部分ですね。内積とは、この青い部分と、→aの長さをかけ合わせたものです。これの、赤線の長さと青線の長さを掛け合わせたものということです。ここで忘れてはいけないのが、「内積は負の値になることがある」ということです。下の図のように反対のときは内積の値は負になります。「→aと→bの内積」は、記号を用いると→a・→bと表します。ちなみに、今は始点が一致する場合を考えていますが、以下の図からわかるように、始点をずらしても影の長さは変わらないため、内積の値もかわりません。わかりやすくするために始点をずらしたり、反対に一致させたりという作業は入試問題でも行うことがありますので、「始点をずらしても内積には影響しない」ということを覚えておきましょう。余弦定理を使った内積の表し方さて、内積のイメージをつかめたところで、実際に内積の値を求めるにはどうすればいいか考えてみます。【問題】|→a|=5|→b|=4を満たす平面ベクトル→aと→bの内積を求めよ。図に書き起こしてみると、以下のようになります。内積を求めるときは、→aの真上からライトを照らし、→bが→aに映し出す影を考えるのでした。→aの大きさである5と、上の図の赤い直線の長さをかけ合わせた値が内積となります。