(0/0)A、Bは集合とし、AはBに含まれている状態とします。これが必要とか十分という言葉の前提です。このとき教科書等では“AはBの十分条件”というと書いてます。この言葉の意味はですね、あるxという元がBに入っていることを知りたい時に、もしxがAの中に入っていることを言えれば、それで“十分”でしょ。AはBに含まれているんだから。これを言葉を換えて言えば“xがBの元であるためにはxがAの元であれば十分である”といえます。言葉を換えると“xがAの元であることはxがBの元であるための十分な条件である”といえます。これをさらに短縮すると“AはBの十分条件である”言えるわけです。つぎに必要条件ですが教科書等ではA⊆BのときBはAの必要条件というと書いてます。これはですね、あるxという元がAに入っていることを言いたいときに、少なくともBに入っていることは“必要”ですよね。AはBに含まれているんだから、BにはいっていなければAにもはいってない。“xがBの元であることがxがAの元であるために必要な条件”なわけです。“BはAの必要条件”というわけです。A={x|xは6の倍数}、B={x|xは3の倍数}としますと“xが6の倍数ならxは3の倍数”ですからA⊆Bが成立します。そこでxが3の倍数であることを言うにはxが6の倍数であると言えれば十分である。したがってAはBであるための十分な条件と言える。xが6の倍数であるためにはxは3の倍数であることが必要である。したがってxが6の倍数であることはxが3の倍数であることが必要な条件である。BはAであるための必要条件です。必要、十分という言葉はこういう事情で使われたのでしょう。一般にA⊆Bのとき“AならばB”と言うことに注意してください。これは“x∈Aならばx∈B”すなわちA⊆Bと言う意味に解釈できます。これに続き“x∈Bならばx∈A”も同時に成り立てばB⊆Aも成り立ちA=Bが言えます。このことは一般の集合A,Bにも言えることです。実践的な例を出します。一次方程式3x+2=5・・・(1)を解きます。2を移行して3x=3・・・(2)。両辺を3で割ってx=1・・・(3)これを必要条件十分条件を考慮して分析しましょう。(1)を満たす解の集合をAとします。(2)を満たす解の集合をBとします。(3)を満たす解の集合をCとします。そこで(2)の式は(1)から導き出されましたから(1)の解は、すべて(2)を満たすことがわかります。(3)は(2)の式から導かれましたから(2)を満たす解はすべて(3)を満たします。したがってA⊆B⊆Cが成り立ちます。上の回答は厳密に言うとCの元は1一個ですから“(1)に解があるならばそれは1である”ということが証明されただけなのです。(1)に解が存在するかどうかについては何も言ってないのです。ところがですね(笑、うまいことに(3)から(2)導かれます。(3倍してね!)また(2)から(1)をみちびきだせるのもあたりまえでしょ(笑。いうことはC⊆B⊆Aも成り立つんです。A=B=Cつまり3つの解集合は等しかったんです。(3)が答えなんです。【一般にAならばBが成り立っているときAはBに含まれています。】【BはAより広がっていることに注意してください。y=1・・・(6)ここでx=2を(2)代入してもy=1が得られますがどうしてでしょう。(1)と(2)を同時に満たす解の集合を“(1)かつ(2)”と書き、“ならば”を⇒で代用しA⇒BかつB⇒AをA⇔B(A=Bを意味する)で代用します。すると先ほどの解法を分析すると(1)かつ(2)⇔(1)かつ(3)⇔(1)かつ(4)⇔(4)かつ(5)⇔(4)かつ(6)。(4)かつ(6)から順にたどって(1)かつ(2)に戻れることを確認してください。この分析で(1)かつ(3)のところを(2)かつ(3)としても(4)かつ(6)にたどり着きますし元の(1)かつ(2)にも戻れます。これを十分に使いこなせないと自信を持って問題が解けません。(0/0)数学的な議論は他の方がきっちりとやっているようなので、私はそれぞれの条件の「気分」について書きます。必要条件の「気分」は、結果を認めてから前提条件を探る感じです。十分条件の「気分」は、なにか強い条件を持ち出して望ましい結果に持ち込む感じです。「スポーツ選手として成功する」ための必要条件は「努力をすること」です。(成功してたら、努力してるはずですよね。「テストで0点をとる」ための十分条件は「名前を書かないこと」です。(0点をとる最終兵器です。必要条件は「絶対にそうなってないとダメなんだけど、それだけじゃ足りないかもしれない」条件のことで、十分条件は「かならず結論が成り立つのだけど、絶対にそれじゃないとダメってわけでもない」条件のことです。必要条件や十分条件についての勘所は、たくさん問題を解いているうちに身につきます。自分なりの理由を付けて解いていけば、ある日急に分かるようになると思います。(大学生でも分かりにくいので、高校生が分からないのも無理はないです。23:13回答No.10noname#120329私はこういう具合に理解しました。長いですが、がんばって読んでください。皆さんの覚え方もとても覚えやすいのですが、このように理解して覚えておくと、記憶に残りやすいですし、応用が利きます。『「A⇒B」を示すためにAに(必要/十分)な条件である』ととらえてください。『AがBである(Bに含まれる)ことを確かめるためには、Aがこの性質をもつことは必要だけど、それだけで十分とはいえない』という条件が、必要条件です。「整数nは2である」ということを示すためにnに必要な条件(必要条件)の一例として「nは偶数である」が考えられますが、偶数である、という条件だけでは、「整数nは2」とは言いきれません。よって、これは必要条件ですが、十分条件とはいえません。逆に、nが偶数でなかった時、nが2になることはありえません。『AがBである(Bに含まれる)ことを確かめるためには、Aがこの性質をもつことがわかればそれで十分』という条件が、十分条件です。「整数mは偶数である」ということを示すためのmの十分条件の一例として「mは2である」が考えられます。2は偶数なので、その時点でmが2であることは決まってしまいます。mが2でなかった場合も、mが4,6,8...ならこれは偶数ですから、mには4,6,8...の逃げ道が残されています。これが、十分条件です。必要条件と十分条件の関係ですが、これはちょうど逆になっています。必要条件とされる条件が満たされても、必ずしも題意は○(正しい)じゃない。満たされなければ、題意は絶対に×(まちがい)。十分条件が満たされれば、題意は絶対に○。十分条件が満たされなくても、必ずしも題意が×とは限らない。必要十分条件ですが、これは必要条件と十分条件のいいとこ取りと考えてください。必要十分条件が満たされれば、題意は絶対に○。満たされなければ、題意は絶対に×。必要十分条件は万能です。『その条件が満たされれば題意は一発で示されるけど、満たされてなくても逃げ道は残されている』という厳しい(満たされる範囲が比較的狭い)けれども逃げ道の残された条件が十分条件です。(0/0)たとえばpはqであるための○○条件である。○○に入るのは?という問題でp⇒qq⇒pを考えます。「野球で点を取ることは、勝つための必要条件」(点をいれなきゃあ勝てない)「相手を0点に抑えることは、負けないための十分条件」(とられなきゃ負けることはない)「相手チームより多くの点を取ることは、勝つための必要十分条件」(いずれも最終回まですんで、ということで)よく、延長戦のリミットがあるとき、最終回のオモテを0点に抑えたチームに対して、解説者が「これで負けはなくなりました」といってます。「負けないための十分条件」はひとつ満たしたわけですね。その裏、1点取ればサヨナラ勝ちですが、「相手より1点多くとった」ことによって、「勝つための必要十分条件」を満たしたので、それ以上続ける意味がなくなり、ノーアウトであっても試合終了です。(1002/1731)ほぼ出尽くしていますが,少しだけ。高校生のころ,こんな覚え方を聞きました。「A→Bを救援物資の流れと考えると,Aは物資が十分あり,Bは物資を必要としている。」ただ,面白い事は面白いのですが,それ以前にまずAとBの関係がきちんととらえられないとダメですね。AとBという2つの命題が与えられた時,A→Bなのか,B→Aなのか,どちらでもないのか。Venn図(orimotoさんの説明に出てきた図です)でいうと,AがBにすっぽり囲まれるのか,BがAに囲まれるのか,ぴったり重なるのか,一部重なるのか,全く重ならないのか,ということです。それに加えて,単なる定義の棒暗記ではなく,できれば「必要」「十分」という用語の(日常用語としての)意味と関連させて理解しておくと,度忘れしたりごちゃごちゃになったりせずにすみます。stomachmanさんのおっしゃるところの,「語感」でとらえるわけですね。そこまでできていれば,あえて「救援物資」などの暗記法を持ちださなくても大丈夫でしょう。(47/191)理屈ではなく、単なる覚えかたですが「矢印が必要。」A→Bとしたとき、矢印の先端があるほう(B)が必要条件、ないほう(A)が十分条件というわけです。(130/406)ぼくはビジュアル(図形的)に理解しています。Bという大きな円、その中にすっぽり入ったAという円を考えてください。Aの領域は必ずBの領域に入っている。これはどう解釈できるかというと、Aの領域は「十分に」Bの領域に入っている。Bの領域は、必ずしもAの領域だけではない。Bの領域にAが入っていることは「必要」ではあるが、それがB領域のすべてではない(「十分」ではない)。これを「Aは十分条件、Bは必要条件」という。事実、動物(B)は犬(A)の必要条件だが十分条件ではない。犬(A)は、動物(B)の十分条件だが必要条件ではない。犬は十分に(絶対)動物だが、動物のすべてが犬ではない、となります。必要十分条件とは、AとBの2つの円が重なったとき。(1014/1775)用語の定義は既に詳しく解説されていますが、やっぱりこれは「語感」の問題ですよね。(AであるならばBである)という命題同士の関係の話です。A→Bであって、しかももしAであることが分かっていれば、Bかどうか確かめなくても間違いなくBである。AであるだけでBが成り立つには「十分」です。「AはBの十分条件」と言う。A→Bである場合、もしBであることが分かっていても、だからと言ってAであるとは言えない。(Aが成り立たなくてもBが成り立つことだってありうる。)しかしながら、A→Bである場合、Aが成り立つためには、少なくともBが成り立たなくちゃいけない。(Bが成り立っていないのなら、それだけで、Aではないとハッキリ言える。)従って、Aが成り立つためにはBであることは少なくとも「必要」です。「BはAの必要条件」と言う。「AはBの十分条件」というのは「BはAの必要条件」と全く同じ意味です。A←Bであり、しかもA→Bである場合、つまり、Aが成り立つ、ということとBが成り立つ、ということは等価である。同じ事を言い換えただけに過ぎない。この場合、AはBの十分条件(=BはAの必要条件)であり、しかもBはAの十分条件(=AはBの必要条件)でもある。これを、AはBの必要十分条件(=BはAの必要十分条件)と言うんですね。矢印の「先」、つまりBが必要条件になります。A←Bでも「根元」「先」という部分では同じです。この場合、AはBであるための必要条件、BはAであるための十分条件となります。A⇔BのようにA・Bともに「根元」であり「先」である場合、AはBであるための必要十分条件、BはAであるための必要十分条件ということになります。わからない時は矢印の方向を考えてみるといいと思いますよ。例)A:Xは6の倍数である。B:Xは3の倍数である。この場合、6の倍数なら3の倍数は成り立つけど、3の倍数なら6の倍数というのは成り立ちません。したがって、A→Bしか成り立ちませんので、AはBであるための十分条件、BはAであるための必要条件ということになります。反例(A←Bにはならない例)として、X=9という例をあげればいいです。Xは他にもいろいろありますよ。1~10件目を表示12次へ最後へ結果を報告するこのQ&Aにはまだコメントがありません。あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。タレントの北野武氏は明治大学の卒業生である。数学・算数こんばんは。数学にて、「必要条件ではあるが、十分条件ではない。○←△が成り立...必要条件と十分条件の問題が分かりません。次の□にあてはまるものを(1)~(4)の中から選んでください。覚え方を教えてください。十分条件がどういう事なのかいまいちわかりません。問題で分からないのがあります。うち最も適するものを入れてください。数学にて、「必要条件ではあるが、十分条件ではない。y=a+b√2とおく。出来上がり、後で見に来たたくさんの人の悩みの解決に役立てられています。