厳しい決まりを要求する「全順序」と区別して「半順序」と言う。ある集合の要素について、そのいずれの間に、どっちが上でどっちが下かが決まっているもの集合の要素を点で、前後関係を有向辺で現した、有向グラフで言えば、「全点が連結」であり、「点のペアについて、片方から到達可能ならば、もう片方からは到達不能である。相互に到達不可能な点のペアがあってもよい。言う半順序で、かつ、相互にどちらからも到達できない点のペアはない。要素について、その対称要素のうち、どちらかはゼロでどちらかはゼロでない。なる特別な関係が存在する。関係を→として要素を点として表したグラフである。このグラフには有向閉路はないこのグラフにおいて、(半)順序であるとき、すべての点を上下軸に適当に配置することによって、より上の要素は図式において、上に配置することができる。enumeration順序の上下関係を守りながら、すべての要素に序数を割り当てることができる。図式を描いたとき、比較不可能な要素の位置は、どちらが図式上で高い位置におくべきかは定まっていないが、図式にすると、便宜的に上下関係が発生する。この図式に与えられた高さに応じて、序数を割り当てることができることからも、順序のある集合には、一致数え上げが取れることがわかる。一致数え上げが一通りとは限らないこともわかる。minimal順序のある要素集合において、直上に要素を持たない要素を極大という。直下に要素を持たない要素を極小という。この場合、極大が1つしかないことになる。infimum順序のある要素集合を考える。この要素集合の部分集合にも順序があるが、この部分集合の中のある要素が、その部分集合のすべての要素に対して上にあるとき、その要素を、部分集合の上限という。この場合、その部分集合には極大が1つしかないことになる。順序のある要素集合を考える。この要素集合の部分集合にも順序があるが、この部分集合の中のある要素が、その部分集合のすべての要素に対して下にあるとき、その要素を、部分集合の下限という。この場合、その部分集合には極小が1つしかないことになる。lattice任意の要素対について、上限と下限が存在する順序集合を束という。