スタッフが,最難関中学の算数・理科の入試問題の解答・分析などを中心にアップしていきます。1.78倍→1.68倍→1.60倍→1.59倍→1.47倍→1.74倍→1.68倍→1.81倍→1.79倍去年に引き続き今年も例年より高めの倍率となりました。58.8→58.1→71.7→57.1→59.8→60.6→53.3→67.6算数の(1の平均点)+(2の平均点)は110.0→106.1→121.7→115.2→105.8→113.2→120.4→104.1これと合格者平均との差は18.6→20.5→16.6→12→13.2→17.3→21→18.5結果として算数合計でも例年より低めとなりました。対策すれば解けるような問題ではあったので,算数で差をつけることも出来る試験でもあったと思います。1基本問題のうち捻ったものがうまく出題されています。正解してほしいところです。(1)点Oについて対称に弦を描けば円から正方形を取り除いた部分の4等分したものとわかります。(10×10×3.14-10×10)÷4=53.5cm^2今年の灘の1日目でも同じ解法が使える問題がありました(2)上に2回,右に2回,斜めに1回進めばいいので,進み方は↑↑→→↗の並べ方と1対1に対応する。よって並べ方は↗の場所は5通り,残り4つの場所から2つ選んで↑↑を入れて5×(4×3÷2)=30通り数学的な解き方ですが,この解き方でなくてもどの斜めの線を通ったかで場合わけして全部足すなどして求められます。力技で求めることも大切なことです。○大問2特に何もない普通のニュートン算の問題です。素早く正確にあわせておきたいです。(1)(2)始めにたまっていた水の量を☐cm^2,排水口1つが1分で排出できる水の量を1cm^2とすると☐=(4-270)×24☐=(5-270)×16これで(4-270)×24=(5-270)×16より1=135,☐=(135×4-270)×24=6480とわかります。○大問3正六角形を6つに正三角形に分割して正三角形のマス目で比を考えるよくある問題です。(1)青の三角形は正六角形の2/6=1/3です。HI:BD=1:2,HIとBDを底辺と考えると高さの比は5:4になるので18×1/3×1/2×5/4=15/4cm^2とわかります。(2)(緑+赤)の三角形は青の三角形と底辺が同じ長さで高さは2/3赤の三角形は正六角形の1/24より(18×1/3)×2/3-18×1/24=13/4cm^2○大問4特に何もない普通の旅人算です。基礎をしっかり練習して素早く正確に固めておきましょう。(1)円周の一周の長さを[90]とすると,A,B,Cは[30]ごとに等間隔に並んでる状態から出発することになります。○大問5よくある普通の回転体の問題です。確実にとりましょう!(1)赤の三角形を緑に移動させると,相似から半径が3×4/5,高さが5cmの円柱となり12/5×12/5×3.14×5=90.432cm^3(2)ADを母線にした円すいの側面と,BCを母線にした円すいの側面と,ABが回転することで出来る円柱の側面の和なので(3×12/5×3.14)×2+12/5×2×3.14×5=120.576cm^2○大問6間違えるとしたらこの問題です。最後の問題で時間も少ないし焦りやすいので,規則性の問題の解き方にどれだけ慣れているかがポイントです。次のように数が並んでいます.ただし,1行目には1から19までの19個の整数が並んでいます。(1)5行目の一番左の数はないですか.(2)19行目の数は何ですか.(3)これらの数全体の中に17の倍数は何個ありますか.[解説](1)書きくだして48になります。このように実際書いてみて,規則性を見いだすように誘導されています。(2)1から5までの整数なら,(1+5)÷2=3を3-1=2回4倍して3×4×4=48同じようにやると1から19までの整数なら,(19+1)÷2=10を10-1=9回4倍して10×4×4×4×4×4×4×4×4×4=2621440(3)赤い矢印のように両端以外の整数を4倍すると2段下の整数になります。1行目の17からは右から3個目で,4倍ずつしたのが縦に3個並びます。2行目の17からは左から8個目で同様にして、4倍ずつしたのが縦に8個並びます。よって17の倍数は3+8=11個とわかります。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。20:31|入試問題分析(算数)|数理教育研究会の畠田です。算数の問題は難しい問題というわけではなく素早い処理が求められる筑駒らしい問題でした。大問2問は書き上げた人と,問題のアプローチの仕方がわかった人でかかった時間と正解率に差が出たかもしれません。大問4がすぐに出来ることを考えると,大問2などに時間をとられてしまって大問4にかける時間がないと点数がとれないので筑駒の過去問で戦略を研究して慣れておくことが重要です。1筑駒の問題は小さい数で書き下して規則性を見つけて,他の数の場合にあてはめるのが基本です。非常に筑駒らしい処理になり,満点を狙いたいところです。1/16,3/16,5/16,7/16,9/16,11/16,13/16,15/16|...のように例えば4群目の最後は全体で2×2×2=8番目で,分母が2×2×2=8で分子は奇数が4個5群目の最後は全体で2×2×2×2=16番目で,分母が2×2×2×2=16で分子は奇数が2×2×2×2=8個となるような群数列です。31の看板は2×2×2×2=16,2×2×2×2×2=32から6群目の中の31-16=15番目より分母は32で分子は15番目の奇数2×15-1=29。したがって29/32kmです。(2)2019の看板は(2が10個の積)=1024,(2が11個の積)=2048より11群目の中の2019-1024=995番目より分母は2048,分子は995番目の奇数2×995-1=1989より1989/2048kmよって東に1989/2048-29/32=133/2048km(3)例えば工事3の図を見ると看板0から8までなら1/8kmずつの間隔で並んでいます。看板0から2048では1/2048kmずつの間隔で並んでいることになるので2019個目の看板は2019-1=2018に注意して0の看板から2018/2028=1009/1024kmのところにあります。これは1024=(2が10個の積)より11群目の中の(1009+1)÷2=505番目です。よって10群目の最後は全体で(2が9個の積)=512番目より全体で512+505=1017番目つまり1017の看板とわかりました。大問2この問題を取り上げようと思います。大問3(1),(2)は基礎的な問題で落とせません。(3)では少し複雑になっていきますが,ちょっと工夫する程度なのであわせたいところです。白はこのとき2×10=20m進むので15で割ると20÷15=1余り5よりAからの距離は5m(2)(1)より赤と白は10秒ごとに一致します。赤と青の進んだ長さの和が15cmになればよいので15÷(3.5+1.3)=25/8よって25/8秒ごとに赤と青は一致。したがって10,20,30,...と25/8,25/8×2,25/8×3,...が最初に一致するのは50なので50秒後。白はAからB,BからAまでそれぞれ15÷1.5=10秒ずつかかる。0~10,20~30,40~50,...秒では白が往復せずにAを出発しBに到着した瞬間に再びAで点灯した動きと同じです。白がこのA→Bを繰り返す動きしかないとすると15÷(3.5-1.5)=15/2秒ごとに一致25/8,25/8×2,25/8×3,...と15/2,15/2×2,15/2×3,...が最初一致するのは75/2より75/2秒ごとに一致する。実際は0~10,20~30,40~50,...秒の間だけなのでこの場合に最初に一致するのは37.5×5=187.5秒10~20,30~40,50~60,...秒では白が往復せずにBを出発しAに到着した瞬間に再びAで点灯した動きと同じです。白がこのB→Aを繰り返す動きしかないとすると15÷(3.5+1.5)=3秒ごとに一致25/8,25/8×2,25/8×3,...と3,6,9,...が最初一致するのは75より75秒ごとに一致する。実際は10~20,30~40,50~60,...秒の間だけなのでこの場合に最初に一致するのは75秒です。よって75秒とわかりました。このとき赤は3.5×75=262.5m進むのでAからの距離は262.5÷15=17余り7.5から7.5m○大問4(1),(2)は基本的で落とせません。(3)も△ABC+扇形としてしまいそうですが筑駒受けるならばこの程度はミスがないようにとりたいですね。(1)(ア)の操作後のAの位置をA'とするとCA=CA'=AA'で正三角形なので30°+60°+60°=150°(2)(ア)(イ)(ウ)の操作でBAはAを中心に150°回転しAは半径5cm、中心角60°×2=120°度の円弧をえがきます。150°と360°の最小公倍数は150°×12=1800°より(ア)(イ)(ウ)を12回繰り返します。2×5×3.14×120°/360°×12=12.56cm(3)回転させると図のように点Bの回転による弧BB'は線分ABから飛び出すので注意してください。点Cを中心にそれぞれの点を60°回転させましょう。弧BB'と線分ABとの交点をDとするとCB=CD,∠DBC=75°より∠DCB=30°とわかり30°問題なので△ABCの面積と△DBCの面積はわかります。大問2長さが1cmのまっすぐな線をいくつか紙にかいて図形をつくります。紙から鉛筆をはなさずに,この図形上のある1点Aから,すべての線をなぞってAに戻ることを考えます。4本の線でつくった図形1は,Aからすべての線を1回ずつなぞってAに戻れます。このとき,なぞった線の長さは4cmです。,(あ)~(き)の7本の線でつくった図形2は,Aからすべての線を1回ずつなぞってAに戻ることはできませんが,(え)の線を2回なぞれば,他の線を1回ずつなぞってAに戻れます。このとき,なぞった線の長さは8cmです。次の問いに答えなさい。すべての線をなぞってAに戻るまでの間で,Aを何度通ってもよいものとします。(1)(ア)~(コ)の10本の線でつくった図形3には,そのうち2本の線を2回,他の線をちょうど1回ずつなぞってAに戻る,長さ12cmのなぞり方があります。このとき,2回なぞる2本の線の選び方は2通ります。それぞれの選び方で,2回なぞる2本の線はどれですか。2回なぞる2本の線の組み合わせを,(ア)~(コ)の記号で答えなさい。(2)12本の線でつくった図形Aには,そのうち4本の線を2回,他の線をちょうど1回ずつなぞってAに戻る,長さが16cmのなぞり方があります。このとき,2回なぞる4本の線の選び方は何通りありますか。(3)17本の線でつくった図形5には,そのうち5本の線を2回,他の線をちょうど1回ずつなぞってAに戻る,長さが22cmのなぞり方があります。このとき,2回なぞる5本の線の選び方は何通りありますか。[解説]一筆書きの問題です。奇数本交わるところを奇点、偶数本交わるところを偶点とすると一筆書きが出来る条件は○全て偶点であるまたは○奇点が2つで奇点からはじまるです。この問題の場合は,Aからスタートするので全て偶点になればよいことになります。一筆書きの問題のようにきっちり基本的事項は抑えているか,整理の仕方などが問われています。(1)だけは落としてはいけません。(2)と(3)どちらかは正解しておきたいです。(1)奇点(赤色)が4つあるので,ここが偶点になるように2本線を入れて結びます。緑のイとケ,青のオとカの2つになります。(2)奇点がE,B,C,Dの4つあるので,ここが偶点になるように4本線を入れます。Bは点Eか点Cか点Dと結ぶことになります。BとE,CとDを結ぶ時,それぞれ青の場合と緑の場合の2通りずつで2×2=4通りBとC,EとDを結ぶ時,それぞれ青の場合と緑の場合の2通りずつで2×2=4通りBとD,CとEを結んだ時の1通りを2重に数えてるので4+4-1=7通り(3)BとG,CとD,EとFを結ぶとき青と緑の2通りずつで2×2=4通りBとC,GとF,DとEを結ぶとき青と緑の2通りずつで2×2=4通りBとE,GとF,CとDを結ぶとき1通りよって4+4+1=9通りになります。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。19:48|入試問題分析(算数)|数理教育研究会の畠田です。前回の続きで灘中学校、2019年度算数2日目大問4,大問5をとりあげます。大問4は高校数学の整数問題で普通に解ける問題ですが誘導に載って解いたとしても,基本的な考え方は素因数分解で,素因数分解の勉強になります。大問5は立体をとらえるときに,高校数学では積分で体積を求めるときに断面を考えてますが,この問題も断面を考えることによって立体をとらえる問題です。類題がこれまで他の学校でも出題されてきましたが,断面の誘導が強く出ていて,断面で立体をとらえる勉強になります。○大問4どの辺の長さも,3cmのように整数に単位cmをつけて表される長方形を「整長方形」ということにします。正方形は整長方形に含めないことにします。cm^2であるとき,aにあてはまる整数は次の説明文のようにして求めることができます。空欄1,2,3に入る適当な数を答えなさい。同じ番号の空欄には同じ数が入ります。cm^2であるとします。辺AB上に点P,辺BC上に点Q,辺CD上に点R,辺DA上に点Sを,直線PRと直線BCが平行で,直線SQと直線DCが平行になるようにとります。]cm^2になります。cm,面積が(a×2)cm^2であるとき,aにあてはまる整数をすべて求めなさい。cm,面積が(a×2+8)cm^2であるとき,aにあてはまる整数をすべて求めなさい。[解説]これは誘導に乗らなくても2辺の長さをx,y(x>y)とすれば(1)はa=2×x+2×yで2×x+2×y=x×yという不定方式をとけばよくなります。甲陽などでもx,yを自然数として2数の和と積が等しいx,yを求めろ(x+y=xyを解け)と言う問題がありましたが,同じように解けば((xが2個分)+(yが2個分))は(xが4個分)より小さいx×yを(xがy個分)と考えると,xは4個未満(3個以下)にならないといけなかったのでy=1,2,3のみ調べればよくなり(x,y)=(6,3)と解けました。数学の知識を使って式変形をすると(x-2)×(y-2)=4とやって4の約数の組みあわせを考えて(x-2,y-2)=(4,1)より(x,y)=(6,3)とすぐに出ます。(2)は4×x+4×y=x×yを解けばよく(x-4)×(y-4)=16と変形して(x-4,y-4)=(16,1),(8,2)より(x,y)=(20,5),(12,6)(3)も4×x+4×y+8=x×yを解けばよく(x-4)×(y-4)=24と変形して(x-4,y-4)=(24,1),(12,2),(8,3),(6,4)と求めていけます。誘導の意図をつかむ時間よりも安定して解けるので,このようにまず泥臭く勉強して解いて点数の最低値を底上げすることも合格するのに大切だと思います。今回は問題の意図に沿って誘導に乗って解く方法を解説したいと思います。cmとすると(a÷2)×☐=aなので☐=2とわかります。正方形TQCRは2×2=4なので(長方形ABCD)=(長方形APTS)+(長方形PBCR)+(長方形SQCD)-(正方形TQCR)よりa=(長方形APTS)+a-4なので長方形APTSの面積は4cm^2とわかります。よって1×4の組み合わせしかないのでa=((1+2)+(4+2))×2=18とわかりました。(2)同じように(a÷2)×☐=2×aから☐=4で長方形APTSの面積は4×4=1616=1×16,2×8よりaは((1+4)+(16+4))×2=50と((2+4)+(8+4))×2=36(3)同じように(a÷2)×☐=2×aから☐=4で長方形APTSの面積は4×4+8=24になればよいので24=1×24,2×12,3×8,4×6よりaは((1+4)+(24+4))×2=66,((2+4)+(12+4))×2=44,((3+4)+(8+4))×2=38,((4+4)+(6+4))×2=36とわかりました。○大問5一辺の長さ4cmで中身がつまった2つの立方体A,Bがあります。立方体Cは一辺の長さが12cmで,はじめ,図のように立方体Aの上面は立方体Cの上面のアに,立方体Bの上面は立方体Cの上面のウに重なっています。立方体Aは回転することなく一定方向に進み,下面が立方体Cの下面のイに到着しました。そののち,立方体Bは回転することなく一定方向に進み,下面が立方体Cの下面のエに到着しました。このとき,立方体Aが通過した部分をX,立方体Bが通過した部分をYとして,XとYが重なった部分をZとします。(1)右の図は,立方体Cの下面から9cmの高さにある平面でZを切ったときの真上から見た切り口をかき入れたものです。その平面と面PQRSの交わりを太線で表しています。立方体Cの下面から8cm,7cm,6cmの高さにある平面でZを切ったときの真上から見た切り口を,右の図にならってそれぞれかき入れなさい。解答欄(2)Zのうち,立方体Cの下面から8cmの高さにある平面と10cmの高さにある平面ではさまれた部分の体積を求めなさい。(3)Zのうち,立方体Cの下面から6cmの高さになる平面と8cmの高さにある平面ではさまれた部分の体積を求めなさい。[解説]類題が難関校でよく出ている問題です。灘で出やすい分野、お題です。XとYの共通部分の立体を考えて断面を調べるのではなく,XとYそれぞれの断面を考えてその共通部分を調べる上面と下面の通過部分を考えるしっかり練習しておけばアプローチに迷うことはなかったと思います。(1)XとYを別々に断面を考えてから共通部分をとります。断面において動かす立方体の上面が通ったところ,下面が通ったところを描いて対応する頂点を結べば断面ができます。青がXの断面,赤がYの断面です。青と赤の共通部分が求める断面になります。(2)共通部分をイメージするのではなく断面を元に共通部分の立体をとらえます。高さ8cm,9cmの断面はかいているので10cmの断面を考えてみると高さ10cmは立方体A,Bの最初の位置の下面より上なので,下面が最初の位置であると考えて描けばよく図のようになります。XとYの共通部分は図の黒い線になりますこれら高さが8cm,9cm,10cmの断面図から,黒い点が同じ位置にあることに注意して立体の図を描いてみます。底面積が4×2÷2=4cm^2,平均の高さが(4+4+4)÷3=4cmの断頭三角柱の部分と青い部分の底面積が4×2÷2=4cm^2高さが2cmの三角すいに分けて考えて4×4+4×2÷3=56/3cm^3とわかります。(3)高さ6cm,7cm,8cmの断面の図から考えて黒い点が同じ位置であることに注意すると図のようになります対角線の長さが8cmずつの正方形を底面とした高さ2cmの直方体から底面積が4×2÷2=4cm^2,高さが2cmの青い三角すい3つを取り除いて8×8÷2×2-4×2÷3×3=56cm^3とわかりました。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。18:37|入試問題分析(算数)|数理教育研究会の畠田です。前回の灘中学校、2019年度算数2日目大問1と大問2に続いて大問3をとりあげます。頂点を通った光はどこに到達するか考えて結べばいいだけの問題ではなく,辺を通った光がどう到達するか考えないといけない問題なので,曖昧な理解を明確な理解にレベルアップさせてくれる非常に良い問題です。した論理の組み立てとしては算数に役立つ数学的な空間図形で勉強になります。○大問3右の図のように,板1と板2が垂直に置かれています。板1と板2のつなぎ目の直線をXYとします。板1にかかれた正方形ABCDは一辺の長さが10cmです。直線ADと直線XYは平行で,ABとXYが交わる点をEとすると,AEの長さは10cmです。BFは長さが10cmで,板1に垂直であり,点Fに電球が置かれています。電球の大きさは考えないものとします。(1)一辺の長さが10cmの正方形の板を,板2と平行に,1つの辺がADと重なるように置きます。板は光を通さず,板の厚さは考えないものとします。(2)底辺の長さが10cmで高さが10cmの二等辺三角形の板を,板2と平行に,底辺がADと重なるように置きます。板1と板2にできる二等辺三角形の板の影を,例にならって右ページの上の図にかきいれなさい。解答欄(3)一辺の長さが10cmの正方形を底面とし,高さが10cmである四角すいの石像を,底面が正方形ABCDと重なるように置きます。この四角すいのA,B,C,D以外の頂点をOとすると,OA,OB,OC,ODの長さはすべて等しくなっています。この四角すいの石像の影が板1と板2にできます。(ア)板1と板2にできる四角すいの石像の影を,(2)の例にならって右の図に書きいれなさい。解答欄(イ)板1と板2にできる四角すいの石像の影の面積の和を求めなさい。正方形ABCDは含めません。[解説](1)は図のように真上から見た図でFとA,FとDを結んで直線を引いてXYとの交点E,E'をとり,AとDとEとE'と板2のFの影の2点の各点を結べばよく図のようになります。これで面積は20×20-10×10÷2=350cm^2と出せます。(2)と(3)では板1や2に垂直または平行ではない辺が出てくるので,影はどう求めればいいかできるもう少しはっきりさせる必要があります。そこで辺による影が影の境界になるのでその辺の両端の点と点Fの3点を通る平面を考えて,その平面と板1や,その平面と板2の交線(平面が交わって出来る直線)が影の境界になります。(2)二等辺三角形の頂点Gとして辺GAによる影は,3点F,G,Aを通る平面との交線になると考えます。すると直線FGと板1は平行なので板1にできる境界は点Aを通り直線FGと平行な直線上になります。同じように考えて辺GD側による境界も,点Dを通り直線FGと平行な直線上になります。板2の方は板1に出来た影の境界とXY上の交点と,光が点Gを通って板2に到達した点をそれぞれ結んでこのようにできあがります。(3)同じように辺OAによる影は,3点F,O,Aを通る平面との交線になると考えます。すると直線FOと板1は平行なので板1にできる境界は点Aを通り直線FOと平行な直線上になります。板2の方も同様にしてこのようにできあがります。面積はマス目14個分より5×5×14=350cm^2とわかります。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。14:30|入試問題分析(算数)|数理教育研究会の畠田です。算数2日目の特徴は1日目と同じで平均点がここ10年でも一番低いことです。受験者平均,合格者平均の差はそんなに大きいわけでもありませんでした。大問の数が4から5に増えました。受験者平均(H24)71.4,(H25)54.9,(H26)49.7,(H27)52.7,(H28)50.8,(H29)48.4,(H30)54.8,(H31)44.5合格者平均(H24)86.2,(H25)70.3,(H26)63.9,(H27)64.6,(H28)61.2,(H29)62.4,(U30)69.2,(H31)56.8ただし問題の内容としては去年にかなり近く,近年の試験を中心に傾向を分析し対策をすればそれだけ成果が出やすかったと思います。今年も高校数学の考え方が背景にある問題がほとんどです。大問5は積分の体積の問題で使う断面を考えて体積を求めるこれは高校数学を勉強すればよいという極端な話ではなく,過去問などの算数の問題を通してどのような数学的背景があるか考察,研究しましょう。そのためには何度か解いてみたり,類題や他の難関校の問題などもたくさん練習するなど対策の仕方はシンプルです。14桁の整数Aは百の位の数字が0です。Aの十の位の数字と一の位の数字を入れ替えて4桁の整数Bを作ります。4018と4081のようにAもBも7の倍数となるようなAは全部で何個ありますか。次のヒントを参考にして答えなさい。4018と4081の2個も含め,AとBが等しい倍も含めます。ヒント4081-4018=63=9×(8-1)4082-4028=54=9×(8-2)1000=7×143-1[解説]前回の灘1日目の大問4でも解説したように高校数学で並ぶ合同式の考え方を勉強していると安定して解けます。ヒントが合同式の考え方に誘導しています。これを考えることにより何が便利になるのかというとN+M≡(NをPで割った余り)+(MをPで割った余り)N-M≡(NをPで割った余り)-(MをPで割った余り)N×M≡(NをPで割った余り)×(MをPで割った余り)のように足し算,引き算,掛け算をしたものの余りを考えるときは,それぞれの整数の余りで足し算,引き算,掛け算をして考えればいいところです。4081-4018=63=9×(8-1)4082-4028=54=9×(8-2)の使い方はAとBは7で割った余りが等しくないといけません。このことをA-B=(7の倍数)で扱います。AとBが7で割り切れなければならないのを,まずはAとBを7で割った余りが等しい,つまりA-Bが7の倍数って考え方に至るには合同式の考え方を練習したかどうかが大きく差が出てしまいます。ヒントから(AとBの差)=9×(下2桁の二つの数の差4)なので,AとBが7で割った余りが等しくなるには下2桁の二つの数の差が0も含めて7の倍数であればよくなり00,11,22,33,44,55,66,77,88,99,07,18,29の場合しかないことがわかります。次に4桁の整数が7の倍数でないといけませんがヒントの1000=7×143-1は1000は7で割ると1不足する(余り6になる)数として扱います。千の位をNとするとN×1000は1×N=N不足する数として扱えばよくなります。すると4桁の整数1000×N+(下2桁)は(7で割るとN不足)+(下2桁を7で割った余り)として扱えばよく,これが7で割り切れるようになればよくなります。(Nを7で割った余り)=(下2桁を7で割った余り)となればよくなります。下2桁は7で割ると余り0は00,07,70,77の4つ余り1は22,99,29,92の4つ余り2は44の1つ余り3は66の1つ余り4は11,88,18,81の4つ余り5は33の1つ余り6は55の1つ千の位Nを7で割ると余り1は1,8の2つ余り2は2,9の2つ残りは全部1つです。4桁の整数の個数は4×1+4×2+1×2+1×1+4×1+1×1+1×1=21個とわかりました。○大問21から52までの数が書かれたカードが,左から数が小さい順に次のように並んでいます。[41]これらのカードを次の手順で並べ替えます。2の倍数が書かれたカードが左にあるものから順にすべて取り出し,取り出した順に左から並べます。その並びの右側に,取り出していないカードを順番を変えずにすべて並べます。このとき次の(A)のような並びになりました。[51](A)の状態のカードについて,3の倍数が書かれたカードを左にあるものから順にすべて取り出して同様の手順で並び替えました。そのときの状態を(B)とします。(B)の状態のカードについて(1)左から1番目,2番目,3番目にあるカードに書かれた数を答えなさい。(2)[1]は左から何番目にありますか。(B)の状態のカードについて,4の倍数が書かれたカードを左にあるものから順にすべて取り出して同様の手順で並べ替え,次に5の倍数が書かれたカードを左にあるものから順にすべて取り出して同様の手順で並び替え,さらに6の倍数が書かれたカードを左にあるものから順にすべて取り出して同様の手順で並び替え,最後に7の倍数が書かれたカードを左にあるものから順にすべて取り出して同様の手順で並び替えました。(3)左から1番目,2番目,3番目にあるカードに書かれた数を答えなさい。(4)[31]は左から何番目にありますか。(5)左から31番目にあるカードに書かれた数を答えなさい。[解説]群数列のような問題です。グループ(群)にわけて考えて1、まずどのグループに入るか2、そのグループの中で何番目かが基本的な方針になります。(1)まずは具体的にやってみましょう1,2,3,4,...,522の倍数を取り出すと(A)2,4,6,...,52,1,3,5,...,513の倍数を取り出すと(B)6,12,18,...,3,9,15,...,2,4,8,...,1,5,7,...となります。(2)(B)は[3の倍数または2の倍数][3の倍数でないかつ2の倍数でない]とグループ分けできる順番になっていて1は[3の倍数でないかつ2の倍数でない]のグループの一番左です。[3の倍数または2の倍数]のグループの個数を考えて52÷6=8余り4,52÷3=17余り1,52÷2=26より17+26-8=35個よって35+1=36番目です。(3)グループに分類して,どのグループに入っていて,その中で何番目か細かく見ます。左に並ぶものは[7の倍数]のグループなので7,14,21,28,35,42,49が並んでいます。このうち6の倍数の42が一番左にあることになります。その次に5の倍数の35,その次に4の倍数の28の順番に並んでいることになります。(4)31は素数なので一番右の[7,6,5,4,3,2の倍数でない]のグループのところに入ります。このグループに入る数を書き下すと素因数が7より大きい素数だけで出来た数(11×11=121の時点で52をこえるので結局11以上の素数)と1になります。1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47この順番のまま並ぶことになるので31は右から5番目つまり左から52-5+1=48番目とわかります。(5)左から31番目と言うことは右から52-31+1=22番目です。右から数えた方が早いかもしれません。右のグループ[7,6,5,4,3,2の倍数でない]は(4)より12個それより一つ左にあるグループ[2の倍数かつ7,6,5,4,3の倍数でない]は2×1,2×11,2×13,2×17,2×19,2×23の6個この時点で12+6=18個です。一つ左にあるグループ[3の倍数かつ7,6,5,4の倍数でない]は3×1,3×3,3×9,3×11,3×13,3×17の6個で順番もこのままです。この二義から22-18=4番目の3×9=27となります。1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47となります。この問題の場合は細かく全て順番を知ることでなく,まず大きくグループ分けするという大局的な見方を練習しているか問われてると思います。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。13:34|入試問題分析(算数)|数理教育研究会の畠田和幸です今回は灘中学、算数1日目の大問7をとりあげたいと思います。N回目の出会いの問題に見えますが,出会いの度に折り返すし,速さも遅くなります。『和と差を考えてみる』に注目するという勉強になる良い問題と思います。大問7A地点とB地点を結ぶ道を,太郎君はAからBへ,次郎君はBからAへ向かって,それぞれ一定の速さで同時に走り始めました。2人の間の距離は3分間に1kmの割合で縮まりました。途中,2人はC地点で出会うとすぐに折り返し,速さをそれぞれ時速1kmだけおとして,来た道を戻りました。2人はそれぞれA,Bに到着してすぐに折り返し,Cよりも130mだけAに近いD地点で再び出会いました。Dで出会った2人はまたすぐに折り返し,速さをさらにそれぞれ時速1kmだけおとして,来た道を戻りました。]mだけAに近いE地点で出会いました。走り始めてから最初の出会いまではAB一つ分ですが二人ともC地点から太郎はAに次郎はBに向かって同時にスタートして折り返してきて1回目の出会いになったと考えれば太郎と次郎の進んだ長さの和がAB二つ分になるので扱いやすくなります。距離が一定なので(○~△),(△~☐),(☐~●)の時間の比は1000/3:900/3:800/3=10:9:8なので速さの比は9×8:8×10:10×9=36:40:45となります。太郎と次郎は1km/時ずつ遅くなっても,差はかわりません。いうことは太郎と次郎の進んだ距離の差は時間に比例します。☐~●:EE'2つ分それぞれ時間に比例するので36:40:45になります。よって差の半分である図の青い線の部分も36:40:45になるのでそれぞれの長さを[36],[40],[45]とおくとCM=[36÷2]=[18]CD=[40]-[36]=[4]ED=[45]-[40]-[4]=[1]よってCD:ED=4:1よりED=130÷4=32.5mとわかりました。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。18:03|入試問題分析(算数)|数理教育研究会の畠田和幸です今回は灘中学、算数1日目の大問4をとりあげたいと思います。大問4では表面上は高校数学で習う合同式を道具として使わなかったとしても根本的な考え方,解法の原理は合同式になります。灘でもよく出題され,合同式の考え方に慣れていれば大きく有利になるのでぜひ考え方を勉強してください。