今回の立体図形の問題をいかに平面図形上に落として処理できるかという力が問われている問題でした。立体図形の問題の中には,「完成図をしっかりとイメージしないと解けない」という問題もありますが,「ぼんやりとしたイメージ+平面図形上でいかに処理をするか」ということを念頭に置いて普段から学習しておかないと,とても取り組めないというような問題が増えつつあります。「平面図形上で処理をする」をキーワードに,立体図形の学習に励んで下さいね。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。16:24|入試問題分析(算数)|さて,今回から灘中学校2日目です。大問4番4桁の整数ABCDに次の1,2,3の「操作」を施して新しい整数を作ります。A×A,B×B,C×C,D×Dをそれぞれ計算する。1でできた4個の数をそれぞれ14で割り,余りを求める。0を14で割ったときの余りは0である。2で求めた余りを順に並べて整数をつくる。右のように,2014に「操作」を施すと4012が作られ,1513に「操作」を施すと11119が作られます。(1)次の表の空欄に数を入れて表を完成させなさい。(2)「操作」を施しても値が変化しないような4桁の整数は全部で何個ありますか。(3)「操作」を施すと値が小さくなるような4桁の整数は全部で何個ありますか。(4)「操作」を施すと値が大きくなるような4桁の整数は全部で何個ありますか。(1)はそのまま計算するだけですね。5,9これを使って,(2)以降を解いてみましょう。(2)変化しないということは,使ってもいいのはAタイプの0,1,7,8です。千の位に0は使えないので,3×4×4×4=192個ですね。(3)小さくなるということは,桁数が増えるような5,9は絶対に使えません。上の位が小さくなってしまえば(つまりBタイプであれば),下の位は桁数が増えさえしなければ(ABCのいずれでも)OKです。3×4×4×1=48個よって,512+192+96+48=848個となります。(4)全ての4桁の数(9×10×10×10=9000個)から変化しないものと小さくなるものを除けば大きくなるものが残ります。9000-192-848=7960個となります。10個の数をバラバラに考えるのではなく,4つのグループに分けるというのがポイントですね。わったときのあまりを扱う問題のときには,よくこのグループ分けの考え方は利用しますので,受験生は覚えておくとよいですよ。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。11:54|入試問題分析(算数)|今回は,大問5を解説します。【大阪星光学院2014年度大問5】ある一定量の水が入っている水槽があります。3において,加えた水の量は□Lです.ニュートン算の問題です。星光を受験しようという受験生なら、ある程度ニュートン算の解き方には習熟していると思います。仕事算的に最初の量を決める解き方や,線分図を描いて解く方法などが考えられますね。この問題に限って言えば,その中でも線分図を描いて解く方がたやすく解答に行きつくのではないかと筆者は考えました。そこで,線分図を使って解説することにします。前提として,1分間にポンプ1つでくみ出す水量を[1],1分間で入る水の量を<1>とします。はじめの量+入った量=くみ出した量,となります。条件2では,入った量=<1>×10=<10>くみ出した量=[1]×3×10=[30]条件3では,入った量=<1>×9+[6.5]=<9>+[6.5]くみ出した量=[1]×4×9=[36]となりますから,この2つを線分図であらわすと,となりますね。これを上下比べると,[0.5]=<1>と分かります。よって,[1]=<2>1分あたりに1本のホースから入る水の量(=<2>)は,ポンプ1つが1分あたりにくみ出す量(=<1>)の,2÷1=2倍です。(2)(1)がクリアできれば,(2)以下は簡単ですね。[30]=<60>を使うと,はじめの水量は,<60>-<10>=<50>です。条件4から,<50>-(<2>×8-<1>)×2=20Lより,<20>=20L,つまり<1>=1Lなので,はじめの水量<50>=50Lです。(3)加えた量は〔6.5〕=<13>なので,13Lとなります。仕事算的に最初の量を決めてから解く方法は,この問題では,数値の設定が難しいですね。この問題のように,解法がいくつか考えられる問題は,自分がいつもやっている解き方と違う解き方にもある程度習熟しておくと,実際の入試問題を前にして視点を変えて考えられる可能性があります。多くの問題を機械的に,スピードを上げてこなしていく練習方法も大切ですが,複数の解き方を1問1問丁寧に理解しながら進めていくことも同じように大切ですね。(道)Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。右の図で,点A,B,C,D,Eは正五角形の頂点で,ACの長さは5cmです。A,B,C,D,Eを中心とする円の半径はすべて1cmです。図の太線のように,5個の円にたるまないように糸をかけます。必要な糸の長さは□cmです。糸の太さは考えないものとします。曲線部分と直線部分に分ければいいんだということには皆さん,気がついたかと思います。下の図で,赤曲線部分×5+青直線部分×5と考えてしまった方は青直線部分が出ずに苦しんだことでしょう。青直線が出てしまうと,間違った答えを出して次に進んでしまうという意味では青直線の長さが出ないのはいいことなのかもしれません。(^^;「円の問題では中心から接線に対して垂直に線を下ろす」ということを知っていれば,上の図の間違いが分かりますね。正しくは下の図のようになります。角CADは108-(180-108)=36°ですから,おうぎ形の中心角は360-90×2+36=216度。青い直線の長さはACと等しく,5cm。よって,求める長さは(2×3.14×216/360)×5+5×5=43.84cmとなります。この問題で間違えた人の中には,上の間違った図の方で考えて,直線の長さを無茶な決めつけで出した人もいたでしょう。おうぎ形の中心角がわからずにギブアップした人もいたかもしれません。そんな人たちも,「円の問題では中心から接線に対して垂直に線を下ろす」ということは知っていたはず。困ったときほど,基本に立ちかえってみるようにしましょう。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。23:22|入試問題分析(算数)|さて,前回に引き続き,灘中学校1日目の問題です。右の図の四角形ABCDは,ADとBCが平行な台形です。対角線AC,BDが交わる点をEとおき,辺BC上に点Fをとります。三角形AFEの面積が42cm^2,三角形DECの面積が108cm^2のとき,BFの長さとFCの長さの比を最も簡単な整数の比で表すと,(BFの長さ):(FCの長さ)=□:□になります。台形に対角線が引いてあるので,△ABE=DCE=108cm^2,これはサッと見つけて欲しいところです。すると,ここからは6番で紹介した考え方とそっくり。FがCの位置ならば△AFE=0cm^2(一直線),もしもFがBの位置ならば△AFE=108cm^2ですから,△AFE=42cm^2となるFの位置は,BF:FC=(108-42):(42-0)=66:42=11:7です。固定点として与えられたFを,BC上で自由に動かすというふうに発想を切りかえることができれば,理解しやすいかと思います。これが使えるようになると,解ける問題はぐっと増えますよ。マスターして下さいね。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。18:33|入試問題分析(算数)|今回は灘中の入試分析をしてみましょう。最初に面食らったのは倍率です。ここ5年の倍率の推移は,(H22)2.85⇒(H23)3.13⇒(H24)3.42⇒(H25)3.54⇒(H26)3.85実質倍率にしても(H22)2.44⇒(H23)2.67⇒(H24)2.81⇒(H25)2.81⇒(H26)2.97とほぼ3倍に...年々,取れるところを落とせない,1つのミスも許されないという状況になってきているということが言えるでしょう。当たり前のことなんですがね。小問は例年通り15問ですが,大問数にして11問。見は例年よりじっくりと取り組める感じですが,受験者平均が(H22)55.1⇒(H23)58.3⇒(H24)66.5⇒(H25)45.0⇒(H26)57.2合格者平均が(H22)70.5⇒(H23)71.8⇒(H24)79.4⇒(H25)58.6⇒(H26)73.3ここ5年で,受験者平均と合格者平均の差が最大となりました。教科の特性上,どうしてもこの差が大きくはなるのですが,普段は解けてもテスト中だと心が乱れそうな4番の後に,この日の算数で一番きつい5番の問題があり,最後には計算が大変そうな11番があって見直しをする気力がなくなる...心が弱い子は「持っている力を発揮する」「60分をフルに活かす」ということがしんどい試験だったのでしょう。学力的な面と精神的な面が一定ラインを超えているとそこそことりやすいが,そのラインを切った瞬間にガクッと得点が落ちるようなテストだったのではないでしょうか。大問数は5問ですが,1番,4番,5番は小問数も多く,小刻みな得点がカギになります。受験者平均が(H22)59.3⇒(H23)44.9⇒(H24)71.4⇒(H25)54.9⇒(H26)49.7合格者平均が(H22)73.3⇒(H23)63.8⇒(H24)86.2⇒(H25)70.3⇒(H26)63.9大きく上に抜けるためには大問1,大問2,大問5あたりが最後まで解けるかどうかというところなのでしょうが,差をつけられないためには大問3,大問4のような場合の数で全滅しないことが重要です。今回は大問2が時間を取られたであろう問題だったので,後ろで時間不足になった子にとっては非常に辛い試験だったと思われます。時間不足になるとどうしても場合の数の書き出し方などが雑になりますからね。実際の問題を見てみましょう。右の図のように,面積が18cm^2の正六角形ABCDEFの内部に点Gをとり,6つの頂点とGをそれぞれ直線で結びます。3点B,G,Eと,3点D,G,Fがそれぞれ一直線上にあるときは三角形ABGの面積は□cm^2です。3点C,G,Eと,3点D,G,Fがそれぞれ一直線上にあるときは三角形ABGの面積は□cm^2です。1問目:まずは,きちんと作図をしましょう。作図ができない人はこの時点でアウトです。3点B,G,Eと,3点D,G,Fがそれぞれ一直線上ということですから,直線BEと直線DFの交点がGとなります。上の図からもわかるように,台形ABEFの3/(2+3+1)=1/2ですから,18×1/2×1/2=4.5cm^2となります。2問目:こちらも先ほどと同じように作図しましょう。GがFの場所にあれば全体の1/6(つまり3cm^2)ですし,GがDの場所にあれば全体の1/3(つまり6cm^2)で分かりやすいのですが,実際のGは中途半端な位置です。このようなときは,FG:GDの長さの比が分かれば簡単。AEとDFの交点をHとすると,FH=HG=GDですから,FG:GD=2:1,よって,3+(6-3)×2/3=5cm^2となります。ABGと三角形DEGの和が正六角形の1/3(つまり6cm^2)になるということを利用してもよいですね。1の場合,三角形DEGの面積は三角形DEFの半分なので,18÷6÷2=1.5cm^2よって,6-1.5=4.5cm^2と出せます。中学入試ではよく取り上げられる題材です。三角形ABF=全体の1/6三角形BDA=全体の1/3などは見た瞬間に答えられるようにしておいた上で,それをどのように使っていくかということを普段の学習から意識していくようにしましょう。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。第1弾は大阪星光学院。言わずと知れた大阪の私学の名門です。同校ホームページ(http://www.osakaseiko.ac.jp/exam/exam2.htm)に今年度の入試結果が掲載されています。受験者数は24年度入試からここ3年,685人,703人,726人と徐々に増加していていますが,合格者数は326人,268人,302人となっており,実質競争率は,2.1倍→2.6倍→2.4倍と推移しています。昨年と比較して若干競争率は下がっていますが,難関であることは変わりありません。教科別にみると,算数・社会は昨年と比べて受験者平均,合格者平均とも上がっていて,逆に国語と理科は下がっています。国語は15点前後,理科は10点前後の大幅なダウン。この結果,合格最低点は昨年の271点から244点に大きく下がりました。ちなみに,大阪星光では合格者選抜方法として,(ア)4科合計,(イ)3科(算国理)合計×1.25,(ウ)3科(算国社)合計×1.25,の3つから一番いいものを採用して決めるという方式をとっています。(合格最低点は244点)何と、単純に考えると、社会をとるのとそうでないのとでは20点以上の開きがあります。今年は,社会の選択が合否を分けた感がありますね。結果を左右すると言われる算数ですが,今年も受験者平均(73.1点)と合格者平均(90.4点)の差は大きく,やはり算数の出来不出来は入試の結果に大きく影響したようです。ところが,難易度はというと,はっきり言ってしまえば,「簡単」でした。大阪星光を目指す受験生が普段練習している問題の方がずっと難しい。赤本で過去問を7,8年遡ってみても今年の問題は一番簡単に思えます。問題形式は例年通りで,問題用紙2枚,解答書き込み式。問題数は大問5問,小問17問の構成です。小問1題7点前後でしょうか。大問1は,計算をはじめ,独立した小問5問,大問2は分数の数列。2枚目は,大問3が図形の平行移動,大問4が立方体(サイコロ)の積み重ね,最後が大問5でニュートン算となっています。このうち,受験生が手間取りそうな問題は,大問1の(5)の平面図形と最後の大問5のニュートン算ぐらいでしょうか。大問3もややこしそうに見えますが,(3)の1つ目の□まではそれほど難しくはありませんし,(3)の2つ目の□も無茶な問題ではありません。それでは,今回は大問1の(5)の平面図形の問題を解説します。【問題】右の図において,BD:DC=4:3で,AD=4cmです。このとき,AB=□cmです。4:3をどう使うか,20度と80度にどんな意味があるのか。何を手掛かりにしていいのか戸惑う問題ですね。そこで,DからACに平行な補助線を引いて,ABとの交点をEとしてみましょう。すると,角CAD=角EDA=80°となります。三角形ADEの残る角度を計算すると180-(20+80)=80(度)ですから,角DEA=80度となり,三角形ADEは二等辺三角形であることが分かります。したがって,AD=AE=4cm。ACとEDは平行ですから,BD:DC=BE:EA=4:3ですね。AB=4×7/3=28/3(cm)となって,求められました。学校から与えられた図をもとに作図しても,二等辺三角形には見えませんね。入試問題では図がわざと不正確にかかれていることも多いので,その図をもとに考える場合は注意しないといけません。長年,大阪星光の受験結果を見てきて,いつも思うことがあります。算数の実力もあり,過去問をさせてもいつも8割程度は普通にできている受験生が,本番の入試で40~50点程度しか取れないことがよくあります。大阪星光には限らないのでしょうが,入試の会場には「魔物」でも潜んでいて,その呪いにやられたのかと思わず考えてしまいます。受験生たちには,実力を如何なく発揮して勝負してもらいたいですし,そのために,魔物に負けない強い精神力も鍛えていかないといけないのではないかということです。(道)Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。みんなそれぞれに希望と不安を抱きつつ,日々を過ごしていることだと思います。関東では1月受験がすでに始まっています。そんな中から,ちょっと1問見てみましょう。大問5番(3)ある店で買い物をすると,現金で払った金額の5%がポイントとしてもらえます。金額の5%が小数となるときは,小数点以下を切り捨ててポイントにします。このポイントは次の日から1ポイントを1円として使うことができます。星子さんは,この店のポイントを850ポイント持っていました。ある日,星子さんが9800円のデジタルカメラと1050円のカメラケースを買いに行ったところ,2日後にすべてのポイントが使えなくなることを知りました。そこで,その日はデジタルカメラだけを買い,次の日にポイントだけでカメラケースを買い,ポイントを使い切ることを考えました。このとき,次の問いに答えなさい。消費税は考えないものとします。(3)次の日にポイントだけでカメラケースを買い,ポイントを使い切るためには,星子さんは何ポイントを使ってデジタルカメラを買えばよいですか。実は(1)のところで「ポイントを使わずに買うと次回に何ポイント使えますか」という設問があります。今回獲得するポイントが9800×0.05(=9800÷20)=490ポイント,前回からの繰り越しポイントが850ポイントあるので,合計で490+850=1340ポイント使えるということになります。次回使えるポイントをここから1340-1050=290ポイント減らせばよいですね。★デジタルカメラを買う時点でポイントをどれだけ使えばよいかということですが,使うポイントが,★1ポイント~20ポイントの場合,今回獲得するポイントは1ポイント減ります。★21ポイント~40ポイントの場合,今回獲得するポイントは2ポイント減ります。★41ポイント~60ポイントの場合,今回獲得するポイントは3ポイント減ります。・その上で,繰り越しポイントも今回使ったポイント分減りますので,今回使ったポイントを□ポイントとすると,□÷20+□=290となればよいわけです。⇒261ポイント~280ポイントのところだなぁということがわかります。この範囲の場合,今回獲得するポイントは14ポイント減りますから,繰り越しポイントを290-14=276ポイント減らせばよいですね。デジタルカメラを買う時点で276ポイント使えばよいということです。先日の岡山中学のところで取り上げた問題とよく似たジャンルの問題ですが,この手の問題では境目のところをどのように扱えばいいのかということで試験中に混乱する子が多いと思われます。そのようなときほど,ていねいに書いて調べてみるということ(今回なら★のところ)が大切になります。書く分,時間を取られて不安に感じることがあるかもしれませんが,これで正しいという確信の無いまま答えを出して,次の問題に進んだ方が精神的にもよくない状態だと思いませんか?勘違いを防ぎ,先の問題により良い精神状態で挑むためにも,自分で「微妙だなぁ」というところほどきちんと書き出して確かめてみるという作業をして下さい。*********最後に,明日に向けて。試験の前日に,「俺は(私は)入試に向けて何一つやり残したことはないと自信を持って手を上げられる人は手を挙げてごらん」と言ったときに,堂々と手を挙げられた子は一人もいませんでした。自分が不安なときほど周りの人が賢そうに見えるものですが,実はほとんどの人が自分と同じような不安を抱えています。自分だけが不安なんじゃない。自分だけが焦っているんじゃない。テスト中に集中力が切れそうになっても,踏ん張ってスイッチを入れなおしてください。自分の中の弱い気持ちに勝つことが入試で勝つことへの最短距離です。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。22:00|算数雑談|2014は素因数分解すると、2×19×53ですね。2014は素因数分解すると、2×19×53ですね。大事なことだから、2回言いました。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。18:24|入試問題分析(算数)|皆様,新年明けましておめでとうございます。今年もよろしくお願いいたします。まで1週間ちょっととなりました。それに向けて前受験が大阪を中心に行われ,緊張感が高まっていることだと思います。今回は,その中から岡山中学校の入試問題を取り上げてみましょう。消費税の計算では1円未満は切り捨てになります。消費税率5%の場合,税抜きで50円の商品の税込価格は,52.5の小数以下を切り捨てて52円となります。そのため,19円以下の商品には消費税分は加算されず,20円の商品は税込み価格21円となるため,税込み価格20円の商品は存在しません。次の問いに答えなさい。(1)消費税率5%の場合,1円以上100円以下で税込み価格が存在しない金額を20円以外にすべて答えなさい。(2)消費税率8%の場合,1円以上1000円以下で税込み価格が存在しない金額は何個ありますか。(1)1997年4月1日,世の中の消費税は3%から5%に引き上げられました。その前後の入試でこの手の問題が非常に多く出題されましたので,各塾の教材でも取り上げられているかと思います。例に示されているように,消費税分の金額が変わるところがポイントですね。税抜き価格が1円~19円の場合,消費税分は1円に満たないため,税込み価格も1円~19円となります。税抜き価格が20円~39円の場合,消費税分は1円なので,税込み価格は21円~40円となります。税抜き価格が40円~59円の場合,消費税分は2円なので,税込み価格は42円~61円となります。税抜き価格が60円~79円の場合,消費税分は3円なので,税込み価格は63円~82円となります。税抜き価格が80円~99円の場合,消費税分は4円なので,税込み価格は84円~103円となります。100円以下の金額のうち,税込み価格として存在しない金額は20円,41円,62円,83円です。難しい問題にも応用が利くように,21の倍数-1円,あるいは21×□-1円と表せるようにしておきましょう。(2)今回,この問題を取り上げたのは,当然こちらを見ておきたいからです。2014年4月1日,世の中の消費税は5%から8%に引き上げられますので,今年,あるいは来年の入試でこの手の問題が出される可能性は非常に高いですね。各塾の教材(通常授業の教材はほぼ改編されていないでしょうから,学校別特訓の教材)への反映が間に合っているかは怪しいところがありますので,ここで初めて8%の問題を目にしたという人はものすごくラッキーかもしれません。(自画自賛^^;)(1)の誘導がありますので,それと同様に,消費税分の金額が変わるところに注目します。税抜き価格が1円~12円の場合,消費税分は1円に満たないため,税込み価格も1円~12円となります。税抜き価格が13円~24円の場合,消費税分は1円なので,税込み価格は14円~25円となります。税抜き価格が25円~37円の場合,消費税分は2円なので,税込み価格は27円~39円となります。税抜き価格が38円~49円の場合,消費税分は3円なので,税込み価格は41円~52円となります。税抜き価格が50円~62円の場合,消費税分は4円なので,税込み価格は54円~66円となります。税抜き価格が63円~74円の場合,消費税分は5円なので,税込み価格は68円~79円となります。税抜き価格が75円~87円の場合,消費税分は6円なので,税込み価格は81円~93円となります。税抜き価格が88円~99円の場合,消費税分は7円なので,税込み価格は95円~106円となります。税込み価格として存在しない金額は,13円,26円,40円,53円,67円,80円,94円,107円,...です。先ほどは等差数列になっていたのに,今度は等差数列になっていないところがちょっと難易度の高いところです。私は親切なので色分けしてみました。青だけ,あるいは緑だけに注目すると,いずれも27円おきになっていることがおわかりいただけますでしょうか。青は27×□-14円,緑は27×□-1円と表すことができます。いずれも□に1~37が入る場合に1000円以下の金額となりますから,37×2=74個ですね。応用を利かせた問題としては,5%と8%を組み合わせるような問題も考えられます。いずれにしても,等差数列になっていることを元に情報を整理して考えるようにして下さいね。ここのページを見た方に幸運が訪れますように。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。プロフィールAuthor:エデュパスタッフFC2ブログへようこそ!数理教育研究会スタッフによるブログです。