スタッフが,最難関中学の算数・理科の入試問題の解答・分析などを中心にアップしていきます。21:00|入試問題分析(算数)|東大寺の問題分析をします。去年も結構なボリュームで,単に枚数が増えただけでなく,問題の難易度レベルもかなり上がったという印象でしたが,今年は時間も60分に増えて,さらにパワーアップしたという印象です。実際解いてみると,難易度の高い問題がこれでもかと並んでいて,さすがの東大寺受験生も苦しめられたのではないかと思います。受験者平均は43.1点。受験生の得点分布をみても,6割取れていたのが受験生約900人中100名ほど。いう問題に対しては,押さえるべき問題を確実に得点にできるか,ミスはないかという視点を冷静に持てるかどうかも非常に大切でしょう。大問1,大問2は絶対にと言っていいほど外せません。残る大問3つは取れるところを徹底的に取りに行く。問題としての難易度はかなり高いですが,小問を一つでも二つでもきちっと取っておきましょう。下の図のような三角形ABCと半径1cmの円Pがあります。円Pを三角形ABCの辺にそって離れることなくその内側を一周させると,三衛形ABCの内部で円Pが通らなかった部分は,頂点A,B,Cの近くと中央の三角形DEFの,合わせて4つあり,その面積は全部で47.86cm^2でした。次に,円Pを三角形DEFの辺にそって離れることなくその外側を一周させたところ,三角形ABCの内部で円Pが通らなかった部分の面積は全部で53.44cm^2でした。このとき,次の問いに答えなさい。円周率は3.14とします。(1)1三角形ABCの内側を一周させたときに,円Pが通らなかった4つの部分のうち,頂点Aの近くの部分を,解答欄の図に斜線で表しなさい。2三角形DEFの外側を一周させたときに,円Pが通らなかった4つの部分のうち,頂点Aの近くの部分を,解答欄の図に斜線で表しなさい。(2)三角形DEFの面積を求めなさい。(3)三角形ABCのまわりの長さは,三角形DEFのまわりの長さに比べてどれだけ長いですか。(1)解答欄は,1も2も次のようになっています。1の図ではAGHの部分,2の図ではAJKの部分が答えの斜線部分です。ところで,図には円の中心や頂点Dから三角形ABCの辺まで垂線をひいていますが,これはできれば一緒に記入しておいた方が良いと思います。(記号は後の解説で使うために記入しました。解答図で,四角形AGIHと四角形AJDKは相似で,辺の比はGI:JD=1cm:2cm=1:2です。したがって,面積比は1×1:2×2=1:4となります。いうことは円の通過しないすみっこ(それぞれ3か所あります)の面積の比も1:4となります。...キですから,カキを比べて,[3]=53.44-47.86=5.58cm^2より,[1]=1.86cm^2よって,三角形DEF=47.86-1.86=46cm^2です。(3)では,円Pを三角形DEFの辺にそって離れることなくその外側を一周させた方の図で考えます。次の図を見てください。図の太線部分の長さの合計が,求める三角形の周囲の長さの差です。網目をつけた3つの四角形ア,イ,ウを合わせると,太線部分が周囲になる三角形ができ,その中に半径2cmの円がぴったりと入ります。(これの円を「内接円」と呼びます。́とします)の面積は,円Pを三角形DEFの辺にそって離れることなく外側を一周させたときの,三角形ABCの内部で円Pが通らなかったすみっこの部分の面積(ク)と,半径2cmの円の面積(ケ)の合計です。́は20cm^2ですね。東大寺の算数の問題は,従来,易しい→難しい→易しい→難しい→...を繰り返してきたようなところがありますが,昨年かなり難易度が高かったにもかかわらず,今年はそれに輪をかけて難問ぞろいとなりました。実は,これは意外なことではなく,学校説明会で,時間が60分になることと併せてすでに説明されてていたことです。来年,本校の受験を考えている人は,どのように対応したらいいのでしょうか。東大寺の算数の方向が変わらなければ、今年度の出題のような難問対応力を徹底的に鍛えていくということも考えられます。入試は3教科または4教科の戦いです。本校では,理科よりも社会の点数が出やすい入試であることは周知の事実です。難問対応力を磨くのに時間を割き過ぎることは得策ではないでしょう。国語や社会といった文系の教科でも確実に得点できる力を養いながら,算数では,難しいと思ってもとれるところをしっかり押さえる(今年でいえば55点くらい)という方針も十分考えられますね。(蛇足ですが,今年の例では,国70算45理45社70取っていれば,合計230点で合格最低点228点を超えます。)(道)Tweetスポンサーサイト←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。19:53|入試問題分析(算数)|前回に引き続き,灘中学校1日目の問題です。大問5番(1)右の図1のように,長方形ABCDがあります。点Eは辺ADを1:3の比に分けています。点Fは辺BCのまん中の点です。図の斜線部分で示した,三角形AFDと三角形BCEの共通部分の面積は,長方形ABCDの面積の何倍ですか。(2)右ページの図2は,1辺の長さが15cmの立方体です。辺AE,BF,CG,DHには1cm刻みで0から15までの目もりがついています。面ABCD上の点Pは対角線ACを1:3の比に分けています。面EFGH上の点Qは対角線EGのまん中の点です。四角すいP-EFGHと四角すいQ-ABCDの共通部分を立体Vとします。(ア)次の目もりのついた4つの点を通る平面でVを切ると,切り口は正方形になります。その1辺の長さは何cmですか。空欄に数を入れなさい。1の目もり......1辺の長さが1cmの正方形5の目もり......1辺の長さが□cmの正方形7の目もり......1辺の長さが□cmの正方形9の目もり......1辺の長さが□cmの正方形(イ)Vの体積を求めなさい。(1)三角形EBCや三角形FADから不要部分を引いてもよいですが,今回はEFで2つに分けて,それぞれの面積を考えます。赤の相似に目をやると,相似比は1:2ですから,EG:GBも1:2となります。三角形EBFは長方形全体の1/4ですから,三角形EGF=1/4×1/3=1/12ですね。同様に,青の相似に目をやると,相似比は3:2ですから,EH:HCも3:2,三角形EFCは長方形全体の1/4ですから,三角形EHF=1/4×3/5=3/20となります。よって,求める部分の面積は1/12+3/20=7/30となります。(2)(ア)「切り口は正方形になります。」の一文は受験生には非常にありがたいです。この一文がなければ,(2)にチャレンジすることができない子がかなりの数になったと思われます。立方体の四頂点を結んだ長方形AEGCを下の図のように書き出してみましょう。(1)の図と全く同じ図であることがわかりますね。立方体の高さが15cmですから,AP,PC,EQ,QGのいずれも15の倍数になるようにしておけば計算が楽になりそうです。今回考える四角すいの共通部分というのが(1)の斜線部分と同じ,四角形PIQJということになります。この平面図で表される横方向の長さが切断面の正方形の対角線を表します。AC(=<60>)が対角線の場合は,一辺が15cmの正方形になります。1の目もりで切ったときの正方形の対角線は(あ)のところで,<60>×1/15=<4>ですから,一辺の長さは15×<4>/<60>=1cmとなるわけです。問題文とつじつまが合っていることが確認できますね。5の目もりで切ったときの正方形の対角線は(い)のところで,<60>×5/15=<20>ですから,一辺の長さは15×<20>/<60>=5cmです。9の目もりで切ったときの正方形の対角線は(え)のところで,<60>×6/15=<24>ですから,一辺の長さは15×<24>/<60>=6cmです。7の目もりで切ったときの正方形の対角線は(う)のところですが,これは(い)と(え)のちょうど間なので,(<20>+<24>)÷2=<22>,正方形の一辺も(5+6)÷2=5.5cmと出せますね。