スタッフが,最難関中学の算数・理科の入試問題の解答・分析などを中心にアップしていきます。今年も例年通りでした。受験者数1188人,合格者397人,倍率3.0算数の合格者平均は6割を切っており,ここ数年では一番低くなりました。どの問題も問題文の理解も難しく典型的でもないものがほとんどで全体的にかなり難しかったようです。1...グラフからAとBの速さの差がわかり,速さを組み合わせます。1分から2分の間は差が45cm/分なので停止と毎分45cmの組み合わせしかないなど場合分けしてけます。意外と場合分けが多くなく数学的には簡単ですが,問題文の理解や,どう考えていけばいいか,開成らしい難しさだったと思います。○大問2...問題文はそんなに長くなく、計算は角速度を使うぐらいではありますが,1の移動の開始時と,4の移動の時間を調節しないと解けないので,問題の把握が難しかったと思います。○大問3...今回はこれを扱いたいと思います。○大問4...光が平行なタイプの影の問題です。この問題が一番理解がしやすく,アプローチの仕方もわかりやすかったと思いますが展開図に影を塗るのが間違えそうになるので,処理能力が求められています。大問3あるクラスで,生徒全員から決まった金額を集めることになりました。そこで,学級委員の太郎君と花子さんは集めやすくするために次のようなルールを作りました。使えるお金は1円玉,5円玉,10円玉,50円玉,100円玉,500円玉の6種類の硬貨とする。おつりの無いように持ってくる。硬貨は,1人につき10枚まで持ってくることができる。(1)クラスの生徒40人から28円ずつ集めることにしました。ルールに合うように28円を持ってくる方法は全部で何通りありますか。集まったお金のうち,1円玉を数えたら165枚ありました。このとき,5円玉を1枚も持ってこなかった生徒は何人ですか。(2)このルールについて,太郎君と花子さんは次のようなやり取りをしています。空らん1~8にあてはまる数を答えなさい。「集める硬貨が多くなり過ぎないようなルールを決めたけど,このルールだと集められない金額ってあるよね。]枚の硬貨が必要だから,ルール3を守れないわね。「このような金額ってどれくらいあるのかな。]円だとわかるけど,たくさんありそうね。「49円までの金額を用意するのに必要な最低枚数の表を作ってみたよ。「次に集めるときはルールを考え直してみないといけないね。」(1)(ア)表を書くのがお決まりの処理です。4通り(イ)28円になるには1円玉は3枚か8枚かの二択です。3枚使った人は5円玉を必ず持ってきています。1円玉を8枚使った人は硬貨は残り2枚しか持ってこれないので10円玉2枚に決まり5円玉を持ってきていないのでこの人数を求めたらよいことがわかります。つるかめ算から全員1円玉を3枚使ったとすると1円玉は40×3=120枚になるので1円玉8枚使った人数は(165-120)÷(8-3)=9人(2)1390円をルール1とルール2を守って出来るだけ枚数を少なくするには金額の大きい硬貨を出来るだけ持ってきた場合です。500円玉は使えない100円玉は出来るだけ使って3枚で残り389-100×3=89円50円玉は出来るだけ使って1枚で残り89-50=39円10円玉は出来るだけ使って3枚で残り39-10×3=9円5円玉は出来るだけ使って1枚で残り9-5=4円1円玉は4枚必要で3+1+3+1+4=12枚必要となります。2一番低い金額で枚数を出来るだけ多くするには金額の小さい硬貨を,金額の大きな硬貨で繰り上げにならないように出来るだけ使っていきます。11枚になればよいので1円玉を4枚で残り11-4=7枚5円玉を1枚で残り7-1=6枚10円玉を4枚で残り6-4=2枚50円玉を1枚で残り2-1=1枚100円玉を1枚よって1×4+5×1+10×4+50×1+100×1=199円3456500円玉は1枚まで,100円玉は4枚まで,50円玉は1枚まで,10円玉は4枚まで,5円玉は1枚まで,1円玉は4枚までのルールで数えてください。要領よく解くとすれば49円までなら10円玉4枚と5円玉1枚と1円玉4枚の10×4+5×1+1×4=49円の4+1+4=9枚から選ぶことになりますが選んだ☐円で△枚の硬貨に対して,残りの硬貨は49-☐円で9-△枚になっています。5枚の場合は9-5=4枚の場合と同じ9通り6枚の場合は9-6=3枚の場合と同じ7通り7枚の場合は9-7=2枚の場合と同じ5通り8枚の場合は9-8=1枚の場合と同じ3通りとわかります。70円~49円まではわかっているので50円~99円は50円玉を1枚追加して考えればよいことがわかります。表より一つ追加して10枚をこえるものはありません。同様にして100円~149円は100円玉を1枚追加で表より10枚をこえるものはありません。150円~199円は100円玉1枚と50円玉1枚の2枚追加で10枚をこえるものは表の最低枚数9枚の1通りに対応して1通り200円~249円は100円玉を2枚追加で10枚をこえるものは同様に1通り250円~299円は100円玉2枚と50円玉1枚の3枚追加で10枚をこえるものは表の最低枚数8枚と9枚に対応して1+3=4通り300円は100円玉3枚で大丈夫です。よって1+1+4=6通りとわかります。8同様にして300円~349円...4通り350円~399円...9通り400円~449円...9通り450円~499円...16通り500円~549円...0通り550円~599円...1通り600円~649円...1通り650円~699円...4通り700円~749円...4通り750円~799円...9通り800円~849円...9通り850円~899円...16通り900円~949円...16通り950円~999円...25通り1000円...0通りよって(1+4+9+16)×4-16+25=129通りこの問題は小さい数字で実験をしてみて規則性を発見するのに良い練習の問題です。開成でよく出るタイプのアプローチなのでしっかり練習していきましょう。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。2日目の問題をとりあげたいと思います。1...(1)は計算問題です。(イ)は(ア)を利用しろ言わんばかりです。(2)は9倍がほとんどの数が桁が大きくなったりなど、絞りやすいのできっちり合わせたいところです。大問2...ベン図を描いて例えば3つもらった人をAとあらわすと他のところは全てAであらわせます。算数的な解法としては三つ出来るだけ重なった場合や,重ならなかった場合を考えればよいです。難しいわけではありませんが、ごり押しでできるので合わせておきたいところです。大問3...距離が同じ場合は時間は速さの逆比になるということを使います。追いこしは差の速さを考えたいので,いったんT-U間を距離2倍で考えても良いと思います。T-U間の処理が少し複雑になるだけで旅人算の難易度としては低いので点数をとりましょう。大問4...1×2×3×...×2020は下から0がいくつありますか?という問題と同じです。5で何回割り切れるかということをやっているという意味を考察しておく必要があります。大問5...フラフープの問題です。今年は灘でもフラフープの問題が出ました。練習して類題をやった状態に持っていきましょう。大問6...今回はこれを解説します。大問6底面の半径が3cm,高さが14cmの円柱があります。この円柱の下側の底面の円周上の点Aから,点Aの真上にある上側の底面の円周上の点Bまで,側面に糸をたるまないように巻き付けます。今,点Aから点Bまで,青い糸を上から見て時計回りにちょうど3周,赤い糸を上から見て反時計回りにちょうど4周,それぞれ巻き付けました。(1)青い糸と赤い糸は何回交わりますか。2点A,Bは除きます。(2)2点A,Bを除く,青い糸と赤い糸が交わった点に,高さの低い方から順に1,2,3,...と番号をつけます。1と3,2と4,3と5,...と,ひとつとばしの番号の点と点を,それぞれ側面上でもっとも短く,たるまないように青い糸で結びます。次に赤い糸をはずします。最後に側面上で青い糸で囲まれた部分に青い色をぬります。このとき色をぬった部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。[解説](1)青い糸と赤い糸の交点を次のように読みかえします。足裏に青いインクをつけたアリと,足裏に赤いインクをつけたアリを考えてインクの跡が糸と考えます。真上から見ると,青アリと赤アリは同じ地点から同時に青アリは時計回りに3周,赤アリは反時計回りに4周進んで、この2匹のアリが出会った点が交点に対応します。よって出会った回数は3+4-1=6回(2)このような糸の問題は展開するのがよくあるアプローチです。青い糸はABを3等分した点を結んでいけばよいことになりますね。この上から赤い糸を描いても考察してもいいですが,青アリと赤アリの出会あったから次の出会いまでの時間は一定です。いうことは青い糸と赤い糸の交点は青い糸を6+1=7等分することになります。青い糸の1周分の長さを[7]とすると交点は図のようになります。cm^2よって紫の面積は緑の中のを2倍して(3.14×28×9/14)×2=113.04cm^2この問題は似たような問題で使った解法は使えないか練習していくことで、アプローチが出来るようになっていくと思います。普段から試行をしてみて練習をしましょう。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。高めの倍率となりました。1...(1)は計算問題。どちらもかなり基本的でした。大問2...(1)正方形はお決まり。長方形は縦の辺になる2本,横の辺になる2本の選び方です。今回はこの(2)を扱いたいと思います。大問3...正三角形と比の問題でよく練習してきたと思います。(2)は少し複雑になりますが答えをしっかりあわせたいところです。大問4...変態メーターの問題です。(1)は辞書式順列で数学でもよく出題されます。(2)は各桁ごとにその桁が何回あらわれたか計算でよく練習させられてきたと思います。大問5...旅人算の問題ですが華麗なテクニックで解くタイプではなく,文章を正確に読み取りダイアグラムなどで把握することが問われた問題でした。大問6...切断の応用問題です。やることは切断の問題と同じです。大問2次の(1),(2)の図は同じ大きさの正方形を並べたものです。この図の中に正方形,長方形(正方形をふくむ)は,それぞれ何個ありますか。長方形は(6×5)/(2×1)=15,15×15=225個(2)・正方形の個数(1)で数えた正方形のうち左下のマスと右下のマスを使ったものを取り除きます。・長方形の個数(1)で数えた長方形のうち左下のマスと右下のマスを使ったものを取り除きます。典型の問題から少し工夫している問題です。このような典型から崩された問題は、実際に数え上げようとしてみることでアプローチの仕方が見つかっていくと思います。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。17:52|入試問題分析(算数)|畠田です。去年よりさがりましたが例年並です。例年通りと言ったところです。今年の問題も具体的にやってみてから規則性を発見する筑駒のよくある問題でしたが,数学の方程式を使うと楽な問題も多かったと思います。1...一次不定方程式の問題です。表を使って解くなど(1),(2)は瞬殺できたと思いますが(3)はX,Y,Zを3個ずつ足して50の倍数にするなど時間内に解くには工夫があった方が良いです。大問2...試していくうちに,異なる3つの数では各桁に2回ずつ出るので合計数は(各桁の数)×222,2つ同じ数で1つ異なるの数では(各桁の数)×111と法則性に気付いていきます。その法則性は数学的にもわかりやすくいので大して問題になりませんが(3)の整理の仕方が十の位と一の位の数の組み合わせで100マスを考えるかなど,この処理に筑駒らしさがあったように思います。大問3...タクシーの料金といういかにも算数らしい問題ですが,距離に関する料金は切り上げ,時間に関する料金は切り捨てを混ぜてきて複雑になっています。大問4...(イ)=(ア)+(差),(ウ)=(ア)+(差)×2,(エ)=(ア)+(差)×3。(ア)+(イ)+(ウ)+(エ)=1×2の方程式でごり押しでわかってしまいます。今回はこの(3)をあつかいたいと思います。大問4図1のように,長方形ABCDにおいて,辺ABの長さ2m,辺ADの長さが1mです。この長方形の内側に点Pを,4つの三角形PAB,PBC,PCD,PDAの面積がすべて異なるようにとりあす。4つの三角形を,面積の小さい順に(ア),(イ),(ウ)、(エ)としたところ,三角形PABが(ア)となり,(ア)と(イ),(イ)と(ウ),(ウ)と(エ)の面積の差がすべて等しくなりました。次の問いに答えなさい。(1)(ア)の面積が1/6m^2のとき,(エ)の面積を求めなさい。(2)点Pが図2の位置にあるとき,三角形PDAが(イ)です。図2で,点Qは辺AD上,点Rは直線PQ上にあり,PQとADは垂直です。斜線で示した図形DRAPの面積は,(ア)と(イ)の面積の差に等しく,1/6m^2です。このとき,QRの長さを求めなさい。(3)点Pとして考えられるすべての位置を解答欄の長方形ABCDの内側にかきなさい。,(ア),(イ),(ウ),(エ)の面積はすべて異なるので,図3の点線部分は答えに含まれません。[解説](3)まず△PAB+△PDCと△PAD+△PBCはどちらも平行四辺形の半分の面積1×2÷2=1m^2です。よって△PAB=(ア)が最小なので△PDCが最大となり(エ)とわかります。(イ)と(ウ)はそれぞれ△PADと△PBCのどちらかとなります。このような軌跡の問題は極端な場合を考えると軌跡が予想できます。(ア)を最大にすると(ア)=(イ)=(ウ)=(エ)なので点Pは長方形ABCDの対角線の交点である中心になります。(ア)と(イ),(イ)と(ウ),(ウ)と(エ)の面積の差をAとするとそして(ア)を最小にした面積が0の場合は面積が(イ)=A,(ウ)=A×2,(エ)=A×3となればよいです。実際にA=(長方形)÷6=1/3となればできます。このとき(イ):(ウ)=1:2より点Pは辺AB上を1:2または2:1の点となります。長方形の中心と、この2つの点をそれぞれ直線で繋ぐと答えはわかります。本当に直線で良いのかどうかを考えると点Pを辺ADに平行に辺ABに向かって[1]進めると(ア)の面積は[1]×2÷2=[1]減り,(エ)の面積は[1]増えます。よって(ア)と(エ)の差は[2]増えます。(イ)=(ア)+A,(ウ)=(ア)+A×2,(エ)=(ア)+A×3よりAは[2]÷3=[2/3]増えます。(イ)は(ア)が[1]減り,Aが[2/3]増えるから(イ)は[1]-[2/3]=[1/3]減ります。△PADが(イ)とすると辺ADを底辺とすると高さは[1/3]×2÷1=[2/3]減ります。いうことは点PはABに向かってADに平行に[1]動かすと,ABに平行にADに向かって[2/3]動かせばよくなります。1:2/3=3:2より対角線の中心から下に3進めて左に2進む直線と,下に3進めて右に2進む直線ということがわかりました。数学的にやるとすると(ア)の高さをy,(イ)の高さをxとすると(ア)=2×y÷2=y,(イ)=1×x÷2=x/2で(イ)-(ア)=x/2-yなので(ウ)=x/2+(x/2-y)=x-y(エ)=x-y+(x/2-y)=x×3/2-y×2(ア)+(エ)=1×2÷2からy+x×3/2-y×2=1よりy=x×3/2-1となります。文字の扱いに慣れている人はこれでごり押しでやっても大丈夫だと思います。この問題は極端な場合を考えて答えをまず予想するということ,動かしてみて変化を考えることなどアプローチの仕方が勉強になります。算数的に綺麗に解けなくてもごり押しで解くことも大切です。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。12:34|入試問題分析(算数)|畠田です。2日目と1日目と同じでここ数年で一番平均点が高くなりました。なると平均点55.4点に対して合格者平均71.2点と差が16点ほどあり,1日目と同じく算数は大きく差がついたと思われます。問題も全体的にどこかの類題であることが多く、計算が簡単な問題が多かったので、きっちり練習してきた人はズバズバ解けたかもしれません。1...旅人算ですが,関東の学校で多いダイアグラムで処理する問題です。おもいっきり誘導されているので間違えずに正確に早く解きたいところです。大問2...マイナンバーのチェックディジット、検査数字を元ネタに作られた問題ですがこれは昨年の渋谷教育学園渋谷でも出題されています。やったことなくても難しくはありませんが、やったことあった人の方が落ち着いて対処できて有利だったと思います。大問3...時計ではありますがN進法の応用問題で、練習してきた人も多いと思います。大問4...輪の通過範囲の問題です。勉強している人は類題をやったことある状態で受けられたと思います。大問5...(1)は断面が正六角形の切り方を考える。(2)はA,B,Gを通る平面と直線PQとの交点を面BFFCから見て考える。渋幕でもよく見られる難易度は高めですが切断の典型パターンが使えるので練習しておきたいところです。(3)を解説したいと思います。大問5右の図は,1辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHです。Pは辺ABの真ん中の点,Qは辺FGの真ん中の点,Rは辺GHの真ん中の点です。この立方体を3点P,Q,Rを通る平面で切ったとき,この平面は辺ADの真ん中の点Sを通ります。(1)四角すいC-PQRSの体積を求めなさい。(2)3点A,B,Gを通る平面で四角すいC-PQRSを2つの立体に分けたとき,点Qを含む方の立体の体積を求めなさい。[解説](3)切り口の面積が四角形BFHDの何倍かを求めさせられます。いうことは,この四角形BFHDがある平面上にある面を底面と考えて,Cを頂点とするすい体を考えてみます。四角すいC-JKLIと,四角すいC-BFHDは高さが共通になり,底面積の比から体積が求めることができます。このことを使うとやりやすいのではないかと予想ができます。それではまず点Jと点Iは線分BDのどの位置になっているかを調べましょう。図2のように面ABCDを考えます。するとJB:JD=BP:DC=1:2。同様にBI:DI=2:1なのでBJ:JI:ID=1:1:1とわかります。次に点Kと点Lは線分PQ,線分SRのどの位置になっているかを調べてみようと思います。図3のように真上から見たら図を考えます。するとそれぞれの中点になっています。線分KLは線分BDの半分の長さであることもわかります。これらのことから図4のように比をおけて台形÷四角形BFHD={(4+6)×1÷2}÷(2×12)=5/24倍と計算できます。体積は四角すいC-JKLIを考えると残りの部分の四角すいC-KQRLは四角すいC-PQRSの体積54cm^3の半分なので四角すいC-JKLIと四角すいC-KQRLに分けて考えると良さそうです。四角すいC-JKLIの体積は,まず四角すいC-BFHDの体積を求めて5/24倍します。(四角すいC-BFHD)=(三角柱BCD-GHF)-(三角すいC-FGH)=(立方体ABCD-EFGH)÷2-(三角すいC-FGH)=6×6×6÷2-6×6÷2×6÷3=72よって求める面積は72×5/24+54÷2=42cm^3とわかりました。この問題はすい体の体積を底面積の比を使ったり,平面に落として考えたりなど切断のパターンの練習になります。渋幕など類題も多いのでしっかり解いて考察しておけば努力が反映さて、合格に近づきます。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。プロフィールAuthor:エデュパスタッフFC2ブログへようこそ!数理教育研究会スタッフによるブログです。