生物の個体数の関係に異常が起こると怖いですね。今回はマメ知識のような入試問題解説でした。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。03:22|マメ知識集|だいぶ間があいてしまいました...(^o^;;今日は軽く素数の話。素数とは,「1とその数自身しか約数を持たない整数」のことです。覚えると1が素数なのかどうかがわかりにくくなるので,素数を「約数が2個の整数」と覚えましょう(つまり,1は素数ではありません。1を素数に入れると素因数分解が1通りに決まらないので,素数に入れるわけにはいかないのですね)。素数については,まだまだ謎が多く,「3と5」や「29と31」のような双子素数(差が2の素数の組)が無限に存在するのかどうかさえ,数学上では未解決の問題なのです。「え?そんなのわかるの??」と思われるかも知れませんが,これは実は案外簡単に示すことができます。答えは「無限に存在する」です。素数が有限個だとしましょう。その有限個の素数を全部かけて1を足した数Aを作ってみます。すると数Aは,どんな素数で割っても1あまる数となってしまいますので,その数未満の素数で素因数分解することができません。数A自体が素数になってしまいます。これは矛盾ですよね?(だって,「すべての素数より大きな素数」が存在することになってしまうのですから)。こんな矛盾が起きたかというと,そもそもの「素数を有限個とする」という仮定が間違っていたからです。素数が有限個とするとおかしなことが起こるわけですから,素数は無限に存在するはずです(このようにある仮定を立ててそこから矛盾を導き出す方法を背理法と言います。論理論証の問題などで,算数でも使いますね。)わかりましたか?(^-^)Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。09:46|入試問題分析(理科)|今回は洛星中学校の入試問題です。始めましょう!!(問題)ちっ素は18世紀に,空気から(ア)と(イ)と(ウ)を取り除いた後に残る気体として発見されました。後に人工的にちっ素を合成する方法が見つかると,空気から上記の気体を取り除いて得られた気体より,人工的につくったちっ素はわずかに軽いことがわかりました。このことから,19世紀の科学者ラムゼーは空気には,ちっ素,(ア),(イ),(ウ)以外の成分が含まれると考えました。次のような実験手順からラムゼーの考えを確かめることができます。空気1000cm3から,乾燥剤を用いて(ア)を取り除く。,(ア)は時刻や場所によって空気中に含まれる量が大きく異なる気体です。ここで用いた空気には体積にして1%の(ア)が含まれていたとします。1で残った気体をさらに水酸化ナトリウムなどのアルカリ性の物質と反応させることにより,そこから(イ)を取り除く。ここで残った気体中ではものを燃やす事ができます。2で残った気体から適当な方法で(ウ)を取り除く。3で残った気体にちっ素を吸収する固体の物質を加え,その中のちっ素を全て取り除く。その結果,3で残った気体の1/80の体積が残りました。4で得られた気体は,当時新しく発見された気体として,アルゴンと名付けられました。問(ア),(イ),(ウ)の気体の名前をそれぞれ答えなさい。(解説)(ア)...1より乾燥剤は水分を吸収するものです。したがって空気中に含まれる水蒸気である事がわかります。(イ)...2より水酸化ナトリウムなどのアルカリ性の物質と反応するものは空気中の二酸化炭素です。(中和反応)(ウ)...2より残った気体中には助燃性の気体が含まれていることがわかります。化学は計算単元と思われがちですが,正しい知識もとても大切です。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。17:43|入試問題分析(算数)|それでは今日は桜蔭中学の算数の問題にいきましょう。I3表に数の書いてあるカードが64枚重ねてあります。1番上のカードに1,2番目のカードに2,......,上から64番目のカードには64とかいてあります。このカードを上から順に1枚ずつとり,裏返しながら左,右,左,右,......と2つの山に分けて重ねていきます。64枚全部終わったら,右の山をそのまま左の山の上に重ねます。この山全体を裏返すと,表に数がかいてあるカードが64枚重なった状態になります。ここまでを1回の操作とします。この操作を1回おこなうと,1番上のカードに1,上から64番目のカードに64がかいてあります。このとき上から20番目のカードにかいてある数は□です。これに引き続きあと1回,つまり全部で2回の操作をおこなうと,上から20番目のカードにかいてあるカードは□です。引き続きあと1回,つまり全部で3回の操作をおこなうと,上から20番目のカードにかいてある数は□です。(ア),(イ),(ウ)のそれぞれの場合について,並び方を順番に書いたりすると大変面倒ですね。これは,よくある「トランプのシャッフルの問題」と同様の問題です。ここで,1回目の操作を行ったときに,上から順にカードの番号がどのように変わったかを書いてみましょう。実は,この問題でかけばいいのはこの表一つだけなんです。(ア)上から20番目のカードは,1から数えて20番目の奇数になりますので,2×20-1=39です。1回操作をして20番目にくるカードは,その操作をおこなう前は39番目にあったということがわかりますね。(イ)上に書いたように,2回目の操作をおこなったときに20番目に来るカードは、1回目の操作をおこなった後39番目にあったカードのはずです。1回目の操作をおこなった後に39番目にあったカードは,上の表より「2から数えて39-32=7(番目)の偶数」とわかりますので,2×7=14です。(ウ)(ア),(イ)からの続きで考えると,「3回目の操作後に20番目にくる数=2回目の操作後に39番目にくる数=1回目の操作後に14番目にくる数」となりますので,2×14-1=27です。元の表一つかいておけば、あとは上の赤の矢印のように順番に読んでいけばいいだけなんです。これだと,4回目の操作をおこなったときに上から20番目のカードにかいてある数は53とすぐにわかりますね。Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。10:40|入試問題分析(理科)|今回は西大和学園中の入試問題を扱います。始めましょう!!!!(問題)水に溶かすことのできるホウ酸の最大の重さを調べる方法を考えました。それぞれの重さをはかった値a、b、cをどのように計算すれば、溶かした水の重さと溶けたホウ酸の重さが求められますか。a+bやa-b+cのように式で答えなさい。ア.あらかじめ容器の重さをはかるとa[g]でした。容器に水を入れて重さをはかるとb[g]でした。ホウ酸を少しずつ加えて溶けきれなくなったところで、容器ごと重さをはかるとc[g]でした。イ.多めのホウ酸を用意し重さをはかるとa[g]でした。それを容器内の水に入れて重さをはかり、容器の重さを引くとb[g]でした。溶け残った分のホウ酸をろ過して、ろ紙上のホウ酸をよく乾かしてからろ紙の重さを引くとc[g]でした。ウ.蒸発皿を用意し重さをはかるとa[g]でした。そこに別の容器でホウ酸が溶けきれなくなった溶液を作り、その上ずみ液を取り出し蒸発皿に入れ重さをはかるとb[g]でした。その後、加熱し水を蒸発させて蒸発皿ごと重さをはかるとc[g]でした。(解説)問題文を整理しましょう。容器の重さ+水の重さ=b[g]容器の重さ+水の重さ+溶けたホウ酸の重さ=c[g]したがってこの場合,水の重さは(b-a)[g]で,溶かしたホウ酸の重さは(c-b)[g]となります。イ.はかりとったホウ酸の重さ=a[g]水の重さ+はかりとったホウ酸の重さ=b[g]溶け残りのホウ酸の重さ=c[g]したがってこの場合,水の重さは(b-a)[g]で,溶かしたホウ酸の重さは(a-c)[g]となります。ウ.蒸発皿の重さ=a[g]蒸発皿の重さ+水の重さ+溶けたホウ酸の重さ=b[g]蒸発皿の重さ+溶けたホウ酸の重さ=c[g]したがってこの場合,水の重さは(b-c)[g]で,溶かしたホウ酸の重さは(c-a)[g]となります。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。16:13|入試問題分析(算数)|今日は,麻布中学の今年のこの入試問題にいきましょう。4番1辺の長さが1cmの黒と白の正方形が図のようにしきつめられています。このとき,太線で示された(1)から(3)の各図形の中の,黒の部分(斜線部)の面積と白の部分の面積はどちらがどれだけ大きいですか。同じ場合は「同じ」と答えなさい。四角形GHIJ(1)は,三角形ABCの4等分された部分の面積比が,点Cの側から1:3:5:7になることがわかっていれば楽勝ですね。「黒のほうが1/2平方センチメートル大きい」とわかります。(2)も大変そうに見えますが,この図全体をよく見てみましょう。元の長方形は黒の正方形と白の正方形が24個ずつ入っており,対角線DFによって,点対称な関係にある三角形2つに分けられています。よって,三角形DEFの中の黒の部分の面積と白の部分の面積は,どちらも12平方センチメートルであるはずです。よって,答えは「同じ」です。(3)は,(2)よりもはるかに大変そうに見えます。この問題もやはり(1)と(2)が重要なヒントになっているのです。図の黒の太線で囲んだ部分は,(2)の三角形DEFと同じ図形です。この中の黒の部分の面積と白の部分の面積は等しくなります。あとは,ここから黒と白の面積にどれだけの差がついていくのかを考えましょう。赤の部分ですが,これは(1)の三角形ABCと同じ形です。右下の赤の部分で黒の方が1/2平方センチメートル多く増え,左上の赤の部分で白の方が1/2平方センチメートル多く減るのですから,赤の部分全体の影響で「黒の方が白より1平方センチメートル多くなる(ア)」ことがわかります。次に青の部分ですが,ここで白は増えた分,そのまま減りますので,プラスマイナスゼロになります。最後に緑の部分ですが,ここで黒は2平方センチメートル減り,白は1.5平方センチメートル減りますので,緑の部分の影響で「黒の方が白よりも0.5平方センチメートル少なくなる(イ)」ことがわかります。以上の(ア)(イ)より,「黒のほうが(1-0.5=)0.5平方センチメートル大きい」とわかります。入試では,小問の(1)や(2)を確実にとっていくこと,そして,小問の誘導にうまくのっていくことが大事です!Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。15:49|入試問題分析(理科)|今回は駒場東邦中学校の入試問題です。理科のマメ知識としても,知っていて欲しいこの問題を取り扱います。始めましょう!!(問題)大きな地震が起きると大地がずれて,食い違いが生じたり,山や崖がくずれたり,土砂が流れ出たりします。橋やビル,家が壊れたり倒れたりします。その他に大地にはどんな変化が起きる事がありますか。上の下線部のことがら以外の例を一つ答えなさい。(解説)液状化現象について液状化現象とは、地震のときに地下水位の高い砂地盤が、振動により液体状になる現象のことをいいます。これにより比重の大きい構造物が埋もれ、倒れたり、地中の比重の軽い構造物が浮き上がったりする現象が起きます。液状化現象により、建物(アパートなど)は傾き、土管やマンホールなど地中に埋めてあるものが地面に浮き上がってきます。海岸の波打ち際や、雨が降ったあとのグラウンドで、足踏みをすると地面がどんどん柔らかくなっていくことがありませんか?これも一種の液状化現象と言えます。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。18:23|入試問題分析(算数)|今回算数は,今年の麻布中学の入試問題を取り上げましょう。大問で5問,思考力を問う面白い問題が多かったと思います。小問の誘導にどう上手に乗っていくかが大きなポイントとなります。円形の時計があります。その文字盤には,円周を60等分した「分」を表す目盛りがあります。次の時刻のうち,短針,長針がともに目盛りを指している場合をすべて選び,番号で答えなさい。午前10時12分さらに,一定の速さで回転する第3の針(秒針ではない)を考えます。この針の回転の中心と向きは,時計の針と同じです。次の問いに答えなさい。午前のある時刻に,第3の針がある目盛りを指していました。このとき,第3の針から,短針は反時計回りに12番目の目盛りを,長針は時計回りに12番目の目盛りをそれぞれ指していました。この時刻は午前何時何分ですか。その後,12時間以内のある時刻に,第3の針がある目盛りを指していました。このとき,第3の針から,短針は時計回りに12番目の目盛りを,長針は反時計回りに12番目の目盛りをそれぞれ指しいました。この時刻は何時何分ですか。(2)の時刻から(3)の時刻の間に第3の針が短針を10回追い越したとすると,第3の針が1回転するのにかかる時間は何分何秒ですか。この小問が,(2),(3)を解く大きなヒントになります。円周を60等分した目盛りなのですから,長針が目盛りをちょうど指すのは「分」が「(整数)分」でさえあればよいことがわかります。短針の場合,1目盛りが1時間の5分の1になるのですから,短針が目盛りをちょうど指すのは,「分」が「(12×□)分(□は0から4の整数)」であればよいことがわかります。長針が短針から24目盛り分,つまり144度離れているわけですが,それだけだとこの答えは複数存在することになります。大事なのは,長針も短針も「目盛りを指している」ということ。これを,「えっと,0時から1時の間で長針が短針より144度進んでいるのは○分だからこの場合はダメで,1時から2時の間で長針が短針より144度進んでいるのは...」とやっていくのは,よほど規則性を上手につかまないとなかなか大変ですよね...。そこで,(1)を上手に活かしましょう!(1)で短針が目盛りを指すのは,「分」が「(12×□)分(□は0から4の整数)」であることがわかっているのですから,調べればいいのは「分」が0分,12分,24分,36分,48分の場合だけです。円周を12等分している「時間を表す目盛り」から,長針・短針が何度進んでいるかに注目して調べていくと,(2)の場合,あてはまるのは午前4時48分のときだけです。ちなみに,(3)の答えは,午前7時12分です。(4)のポイントは,(2)の状態から(3)の状態になるまでに,第3の針が短針より何度多く動いたかに注目することです。ちなみに答えは13分20秒です。Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。プロフィールAuthor:エデュパスタッフFC2ブログへようこそ!数理教育研究会スタッフによるブログです。