スタッフが,最難関中学の算数・理科の入試問題の解答・分析などを中心にアップしていきます。18:19|入試問題分析(算数)|今日も引き続き灘中学校の算数(第1日)からです。これも前回予告したこの問題です。図1,図2の展開図を組み立ててできる立体をそれぞれA,Bとします。立体A,Bはどの辺の長さも10cmです。立体Aの体積は立体Bの体積の□倍です。図2はおなじみ正八面体の展開図です。灘でよく出る「立体の展開図」の問題で,まず考えてみてほしいのは「正多面体(主には立方体)からの切断によってそのような立体(の各面)ができないか」ということです。ここでは,正四面体の切断から考えてみましょう。正八面体は,正四面体を下図のように切断するとできますね。これと謎の立体「図1」との関係をつかみたいわけですが,ひし形の面があることに注目すると,下図のような切断でできることはすぐにピンとくるでしょう。あとは相似比1:2の正四面体の体積比を使えば,答えは5/4(倍)とわかりますね。あ,ちなみにすべての辺の長さが等しい正四面体と四角すいの体積比がどうなるかは知ってますよね?わからない人は上から2つ目の図を使って考えてみましょう。(この中にそのような四角すいができているのは見えますか?)答えは1:2ですね。(四角すいを2つ並べた隙間に正四面体をはめ込む図でも考えられますね)さぁ,では灘中学校の第1日はここまでにしておきましょう。がんばっていきましょう。うちの愛犬も,ぬっくぬくの布団の中で固く目を閉じながら応援している,とのことです。(寝てばっかり...。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。14:18|入試問題分析(理科)|今回も灘中入試問題です。問2(問題)ある昆虫の成長速度は気温に左右されており,成長していくのに最低限必要な「限界速度」があります。ふ化した後の「一日の平均気温」と「限界温度」の温度差を毎日たし続けて,ある値をこえるとその翌日に成虫になることがわかっています。実験器具中で,一定の設定温度で昆虫を育てました。表1はいくつかの設定温度で育てた場合の,ふ化してから成虫になるのに必要な日数を示しています。この結果からおおよそ次の関係式が成り立つ事がわかりました。この昆虫の「限界温度」を求めなさい。問題文に従って解いていきましょう!!まず,設定温度が17°Cのとき,必要な日数は上の式にあてはめると,1/(0.005×17-0.05)=200/7日となります。同様に,設定温度が22°Cのとき,必要な日数は上の式にあてはめると,1/(0.005×22-0.05)=50/3日となります。(表中の必要な日数は近似値となってることがわかります。)この事から,限界温度を1°Cとすると,200/7日×(17°C-1°C)=50/3日×(22°C-1°C)となり,1°C=10°Cと算出されます。よって,答えは10°Cとなります。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。01:45|入試問題分析(算数)|今日も引き続き灘中学校の算数(第1日)からです。今年は,第1日の図形の問題も比較的簡単でした。久しぶりに軌跡の問題(11番)が出たので(移動する線分上のある点が動いた範囲を考えるというタイプでは平成7年以来?),戸惑った受験生もいたかも知れません。8番は,合同な三角形をずらしながら重ねていく典型的な問題ですし(案外こういう問題でミスをしたりしますが...),9番は,補助線を一本引いて,等しい角度をかいていけばすぐ解けますし(以下にその図を描きます),10番は,面積比と辺の長さの比の関係を使えば簡単に解ける問題です。苦戦するとすれば,11番の軌跡の問題か,13番の立体の展開図の問題(これも後日取り上げます)といったところでしょうか。先に予告した問題を見てみましょう。合同な2つの三角形を右の図のように置きます。このとき,ABの長さは□cmです。等しい角度をかきこんでいけば,(「30°,60°,直角」の直角三角形があるのはすぐわかりますよね?)すぐに下図のような相似な図形が見つかりますので,あとは楽勝。4×2/3+(4-3)×1/2=19/6(cm)ですね。上図の補助線は,ABの長さを求めることを考えれば自然に引けるものでしょう。辺の長さに関する情報はたくさんあるので,角度に関する情報を書き込むだけで解法の道筋は見えてきますね。灘中学校の第1日の算数はもう少し続けます。(画像は,内容と一切関係ございません。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。16:10|入試問題分析(理科)|今回も灘中の入試問題からです。同じ直径のプラスチックの筒に,導線(エナメル線)を巻いて電磁石A,B,Cを作りました。プラスチックの筒の,直径,導線の種類は同じものとします。Aは,長さ10cmの筒に均一に導線が1000回巻かれています。Bは,長さ10cmの筒に均一に導線が2000回巻かれています。Cは,長さ20cmの筒に均一に導線が2000回巻かれています。電磁石の強さは(筒の長さ1cmあたりの導線の巻かれた回数)×(導線を流れる電流)となるものとして,以下の問いに整数または分数で答えなさい。図1のように電磁石A,B,Cをつなぎました。電磁石Bの強さはAの何倍ですか。電磁石Cの強さはAの何倍ですか。図2のように電磁石をつなぎました。すると電磁石A,Bの強さは等しくなりました。これはA,Bの導線の長さが異なるので,そこを流れる電流も異なるためです。このとき,電磁石Bを流れる電流は,Aを流れる電流の何倍ですか。図3のように電磁石A,B,Cを電池につなぎました。電磁石Aの強さはCの何倍ですか。電磁石Bの強さはCの何倍ですか。電磁石A,B,Cが直列につながれていますので,各電磁石を流れる電流の大きさはすべて同じとなります。その電流の大きさを1AとするとA:B:Cの磁力の強さの比は,1A×1000回/10cm:1A×2000回/10cm:1A×2000回/20cm=1:2:1となります。よって問1の答えは2倍。1cmあたりの巻き数の比はA:B=1000回/1cm:2000回/10cm=1:2であり,電磁石A,Bの磁力の大きさが同じなので筒の長さ流れる電流の大きさの比はA:B=2:1となります。問3よりエナメル線の巻き数の比が電磁石の抵抗の比であると考えられますので,A:B:Cの抵抗の比は1:2:2となります。したがってCを流れる電流の大きさを1AとするとAを流れる電流の大きさは2A,Bを流れる電流の大きさは1A+2A=3Aとなります。よって電磁石A,B,Cの磁力の大きさの比はA:B:C=2A×1000回/10cm:3A×2000回/10cm:1A×2000回/20cm=2:6:1となります。よって問4の答えは2倍。問5の答えは6倍となります。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。18:30|入試問題分析(算数)|私の呑気な犬ブログが,いつの間にやら怒涛の理科ブログで押しやられていました(^o^;;ということで,気を引き締めて算数も入試分析突入です。「今年は第1日・第2日とも簡単だったなぁ」と思っていたら,平均点も大変なことになっていましたね(^o^;;第1日の受験者平均が66.5点(合格者平均は79.4点(!)),第2日の受験者平均が71.4点(!!)(合格者平均は86.2点(!!!))。これだけ点数が上の方で固まってくると,一問のミスが致命傷になったと言えるでしょう。難問奇問をテクニカルに解き崩すのも楽しいことではありますが,このレベルのものを正確かつ迅速に処理していく能力も必須ですね。問題を見てみましょう。大問6番10枚のカードが横一列に並んでいます。カードには1枚につき1つの数が書かれていて,次の規則(ア),(イ)をみたしています。左端のカードには1が,左から2枚目のカードには3が書かれています。左から3枚目以降のカードには,そのカードより左にあるカードに書かれているすべての数の積に2を加えた数が書かれています。左から3枚目のカードには,1×3+2=5なので,5が書かれています。左から4枚目のカードには,1×3×5+2=17なので,17が書かれています。このとき,右端のカードに書かれている数から1を引いた数は,2で□回まで割り切ることができます。一見するとややこしく見えますが,最後の「2で□回まで割り切ることができます」の部分に注目しつついくつか書いて調べてみると,実は,答えはすぐに見つかります。2で割り切れる回数は4回1枚目を除くと,2で割り切れる回数が2倍ずつになっていくのがわかると思います。よって答えは1×2×2×2×2×2×2×2×2=256(回)以上。おしまいです(^o^;;でも,「本当にこの後もその規則が続くのか??」と疑う人のために,もうちょっとだけ詳しい説明を。若干の予備知識が必要です。一つは「面積図」,一つは「1+2^1+2^2+2^3+...+2^N=2^(N+1)-1」(ここで,「2^3」は「2の3乗」,つまり2×2×2=8の計算を表すものとします。1枚目のカード(1),2枚目のカード(3),3枚目のカード(5)から4枚目のカードを作ることを考えましょう。1枚目の1はかけても同じですので除外しておきますと,3=2^1+15=2^2+1ですので,この2数のかけ算は面積図では下図のような長方形の面積を求めることと等しくなります。これが1+2^1+2^2+2^3となるわけですが,先に書いたように,1+2^1+2^2+2^3+...+2^N=2^(N+1)-1(これも長方形の面積を使って図形的に説明できます(式でもできます))となるので,この長方形の面積は2^4-1となり,4枚目のカードに書かれる数は,2^4+1(=17)となります。5枚目に書かれる数は?3枚目の数までの積が2^4-1で,4枚目の数が2^4+1です。ここでさっき書いた,「和と差の積は二乗の差」,つまり(a+b)×(a-b)=a^2-b^2という知識を使ってみましょう(これも,面積図を使うと比較的簡単に説明できます。)すると,4枚目までの積は,(2^4-1)×(2^4+1)=(2^4)^2-1^2=2^8-1となりますので,5枚目に書かれる数字は2^8+1(=257)となります。よって,16回となっていくわけですね。(この後も延々続くことの厳密な証明には,高校数学で習う「数学的帰納法」が必要ですね。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。16:02|入試問題分析(理科)|今回もH24の灘中の問題です。水平な台の上に置いたときの長さが20cmで,重さ10gのばねがあります。このばねは100gの力で引っ張られると自然長から5cmのびます。自然長からののびは,ばねが引っ張られる力に比例します。いま,このばねを図1のように天井からつるすと自然長から0.25cmだけのびました。こののびは,ばね自身に重さがあるからですが,ばね自身の重さを考えるかわりに下に10gのおもりをつるしたと考えても5cm×10/100=0.5cmとなり,0.25cmにはなりません。そこで,0.25cmとなることを説明するために,「ばねをいくつかの部分に分け,各部分はそれより下につるされているばねの重さによってのびる」と考えることにします。このばねを自然長5cmで重さ2.5gのばね4個に分割して考えてみます。これらのばねの1つ1つは100gの力で引っ張ると自然長から5/4cmのびるばねとなります。以下の文中の(あ)~(う)にあてはまる数を,整数または分数で答えなさい。「分割されたばねを図2のように1~4とすると,ばね1はその下にばね2~4の3個の合計7.5gがつるされているので,1ののびは5/4×7.5/100=3/32cmとなります。(ばね1ののびに,ばね1自身の重さは影響しないものとします)。ばね2はその下にばね2個がつるされているので,2ののびは(あ)cmです。ばね3はその下にばねが1個つるされているので,3ののびは(い)cmです。ばね4はそれより下に何もつるされておらず,ばね4自身の重さも影響しないので,のびは0cmとなります。以上より,ばね1~4ののびを合計すると(う)cmとなりました。こんどは,このばねを自然長4cmで重さ2gのばね5~9の5個に分割して考えてみます(図3)。以下の文中の(え)~(か)にあてはまる数を,整数または分数で答えなさい。「これらの5個のばねの1つ1つは100gの力で引っ張ると自然長から(え)cmのびるばねとなります。ばね5には,その下にばね4個がつるされているので,のびは(か)cmです。ばねを分割する数を多くしていくと,のびの合計が0.25cmに近づいていくことがわかります。このばねを100個に分割して考えてみます。分割した100個のばねののびを合計すると何cmとなりますか。問題文に書かれてある通り,ばねを4等分したうちの一本のばねの重さは10g×1/4=2.5gとなります。100gの力がかかると5/4cmのびるばねとなります。ばねを5等分したうちの一本のばねの重さは10g×1/5=2.0gとなります。100gの力がかかると5/5cm=1cmのびるばねとなります。ばねを100等分したうちの一本のばねの重さは10g×1/100=1/10gとなります。100gの力がかかると5/100cm=1/20cmのびるばねとなります。このばねに1/10gの力がかかると,1/20000cmのびるので,すべてののびの合計は1/20000cm+2/20000cm+3/20000cm+...+98/20000cm+99/20000cm=99/400cmとなります。この問題も文章に従って解き進めれば必ず正解を得られる事のできる問題です。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。16:27|入試問題分析(理科)|今回は前回の問題の続きの解説を行いたいと思います。はじめの問題文は前回のブログを参照してください。実験2の条件を次の(1)~(3)のように変えた場合,図1のグラフはどのようになりますか。それぞれの場合について,そのグラフをかきなさい。グラフの折れ曲がり点および端の点は,右のように横軸と縦軸の値がわかるように書きなさい。式となりますので,・混合液中のA液が0cm3から(60cm3-22.5cm3)×2/3=25cm3までは水素が90cm3発生。・混合液中のA液が25cm3から40cm3までは一定の割合で水素の発生量が減少し,A液が40cm3で水素の発生量が0cm3。・混合液中のA液が40cm3から(60cm3-15cm3)×2/3+15cm3=45cm3までは一定の割合で水素の発生量が増加し,A液が45cm3で水素の発生量90cm3発生。・A液が45cm3から60cm3までは水素の発生量が90cm3。したがって答えは下のようなグラフとなります。B液60cm3+アルミニウム8/3粒→水素120cm3がちょうどの式A液60cm3+アルミニウム4粒→水素180cm3がちょうどの式となりますので,・混合液中のA液が0cm3から40cm3までは水素の発生量が120cm3から0cm3まで一定の割合で減少。・水素の発生量が40cm3から60cm3までは水素の発生量が0cm3から180cm3まで一定の割合で増加。したがって答えは下のようなグラフとなります。A液48cm3+C液12cm3→完全中和A液30cm3+アルミニウム2粒→水素90cm3がちょうどの式C液22.5cm3+アルミニウム2粒→水素90cm3がちょうどの式となりますので,・A液が0cm3から(60cm3-22.5cm3)×4/5=30cm3までは水素の体積が90cm3発生。・A液が30cm3から48cm3までは,水素の発生量が90cm3から0cm3まで一定の割合で減少。・A液が48cm3から(60cm3-30cm3)×4/5+30cm3=54cm3までは水素の発生量が0cm3から90cm3まで一定の割合で増加。・A液が54cm3~60cm3までは水素の発生量は90cm3発生。したがって,答えは下のようなグラフになります。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。15:19|入試問題分析(理科)|今回もH24の灘中入試問題の解説を行いたいと思います。水酸化ナトリウム水溶液(A液),塩酸(B液),B液の2倍の濃さの塩酸(C液),同じ重さのアルミニウムの粒をたくさん用意して,次の実験を行いました。下の問いに答えなさい。A液60cm3とB液60cm3を別々にとり,それぞれにアルミニウム2粒を入れたところ,どちらの場合も水素が90cm3発生し,アルミニウムはすべて溶けました。A液の体積とB液の体積の合計が60cm3になるように,A液とB液をさまざまな割合で混ぜた液(混合液とよびます)を用意し,それぞれにアルミニウム2粒を入れたときに発生した水素の体積を調べたところ,図1のようなグラフになりました(横軸は混合液をつくるときに用いたA液の体積,縦軸は発生した水素の体積を表します。A液とB液の体積の合計が60cm3になるようにある割合で混ぜ,そのBTB液を加えると緑色になりました。このときに用いたA液の体積は何cm3ですか。A液とC液を,体積の合計が60cm3になるようにある割合で混ぜ,その液にBTB液を加えると緑色になりました。このときに用いたA液の体積は何cm3ですか。アルミニウムは塩酸にも水酸化ナトリウム水溶液にも溶けて水素を発生します。従って,塩酸と水酸化ナトリウム水溶液の混合液がちょうど中和反応したときのみ水素の発生が起こりません。図1より水酸化ナトリウム水溶液A40cm3+塩酸B20cm3のときにアルミニウムを加えても水素の発生が0cm3となっていますので,この場合が完全中和となります。塩酸B液中に含まれる塩化水素の量は,塩酸C10cm3に含まれる塩化水素の量と同じですので,水酸化ナトリウム水溶液A40cm3+塩酸C10cm3のときに完全中和である事がわかります。したがってA:C=4:1で完全中和ですので,答えは60cm3×4/5=48cm3となります。