図は1辺が6cmの立方体を真横に2cmずつずらして3個積み上げてできた立体です。このとき,次の問いに答えなさい。この立体の表面積は何cm^2ですか。図の3点P,Q,Rを通る平面でこの立体を切ったとき,一番下にあった立方体は2つの立体に分けられます。切り口を解答欄にかきなさい。そのうちの,点Aを含む方の立体の体積は何cm^3ですか。角錐の体積は(底面積)×(高さ)×1/3です。これはささっと取ってしまいたいところです。立方体3個の表面積は6×6×6×3=648cm^3ですが,接着されているところで表面積が減少します。1か所の接着で4×6×2=48cm^2減少しますから,648-48×2=552cm^2が答えです。見えないところの点線をかきこんで,更に切り口をかきこんで・・・とやって,混乱した子が多かったと思われます。この問題は,「平行な面の切り口は平行になっている」ということをしっかりと理解しているかを確認する問題です。一番下の立方体の切り口だけかきこめばよいので,全ての切り口をかきこんでややこしくする必要はありません。Rから前の面に切り口をかきこみましょう。前の面は後ろの面の切り口と平行になっています。後ろの面の切り口はPとQを結べばよいので,12cm:8cm=3:2の直角三角形が浮かび上がりますね。前の面の切り口をかきこむので,3:2=6cm:4cmの直角三角形を作ればよいことになります。実際の切り口は下の図の赤線になります。次に,RとQを結べば,上の面の切り口がわかります。合わせて下の面の切り口もかきこめそう。元の立体でRとQを結ぶと,8cm:6cm=4:3の直角三角形が浮かび上がりますね。上の面は4:3=6cm:4.5cm,下の面は4:3=2cm:1.5cmの直角三角形を作りましょう。最終的にかきこむ切り口はこんな感じですね。(2)ができればあとは簡単。三角すい台の切り口を延長して三角すいを作りましょう。大きい三角すいと先っぽの切り取る三角すいの体積比は(3×3×3):(1×1×1)=27:1ですから,6×4.5÷2×9×1/3×(27-1)/27=39cm^3となります。聞いてしまえばそんなに難しくないが,実際にテストになると点数にならないという感じの問題です。普段の勉強でもそんなことありますよね?授業を聞いて分かった気になって,テストになるとなぜか取れなかった。いうところで1つ1つきちんと「自力で解けるようになるような」勉強をしてきた子が最終的には合格していきますよ。(池)Tweetスポンサーサイト←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。18:59|入試問題分析(算数)|今回は六甲中学校のB日程です。A日程と同様で問題用紙2枚。1枚目が大問6までの計算を除く1問1答式。2枚目がそれぞれ小問2~3問の大問3つ。1枚目の右半分から最後の大問9まで、六甲らしいよく練られた良問が続きます。難解ではないが易しすぎることもなく、灘や甲陽を受験してきた受験生にとっても程よい難易度の問題でしょう。150点満点で、204名の受験者平均は74.5点、合格者92名の平均は98.8点。点数の出方も程よい感じでした。B日程は算数で7割あたりを目指さないといけません。今回はこのうち大問8を取り上げます。運動場に図1のような縦の長さが80m,横の長さが90mの長方形がかいてあり,A,B,C,Dの地点があります。おさむ君はA地点を出発してB地点の方向に,まさと君はC地点を出発してD地点の方向に,それぞれ一定の速さでまっすぐ歩き出します。長方形の辺まで来たら,図2のように辺との角度が同じになるように進む向きを変えます。おさむ君がA地点からB地点まで進むのには30秒かかり,まさと君がC地点からD地点まで進むのには40秒かかります。次の(1),(2)の問いに答えなさい。2人が1回も進む向きを変えることなく出会うには,どちらが何秒早く出発すればよいですか。2人がちょうど2回ずつ進む向きを変えてから出会うには,どちらが何秒早く出発すればよいですか。ABとCDの交点をFとします。AFとFBの比,CFとFDの比が分かれば、おさむ君とまさと君がF地点まで行く時間がわかりますね。BとD,EとFを結んで、三角形BDF,DEF,EBFに分けると面積の比が3:3:4となります。AF:FB=3:7,CF:FD=2:3となりますから、おさむ君がAからFまで行くのに30秒×3/(3+7)=9秒まさと君がCからFまで行くのに40秒×2/(2+3)=16秒と分かります。16-9=7より、まさと君が7秒早く出発すればいいですね。反射の問題の応用ですから、鏡の世界で考えるといいでしょう。出会うまでのようすを図にかいてみます。これを、出会った点はそのままに、一直線で交わるように展開してやれば、次のような図ができます。この図をもとに、(1)と同様に出会うまでに何秒かかるかをそれぞれ考えましょう。黄色い三角形の2辺の比は3:7、緑色の三角形の2辺の比は3:2なのでそれぞれの長さを3,7,[3],[2]とすると3+[3]=1907+[2]=220ここから3=56mなので、まさと君が出会うまでの時間は40×56/30=224/3秒[2]=268/3mなので、おさむ君が出会うまでの時間は30÷40×268/3=67秒224/3-67=23/3秒で、まさと君が23/3秒早く出発すればいいということになります。大問9はおうぎ形と長方形を回転させる問題ですが、定石通り片方を固定して考えると、見た目から受ける印象よりもずっと解き易い問題になります。今年の六甲B日程の問題は、大問8にしてもそうですが、いかに見知った問題に結び付けていけるか、というところがポイントだったように思います。ある程度練習量を積むことももちろん大切ですが、普段の練習で「見慣れない問題をなじみの問題に落とし込む」ということを十分意識しておくことが大切ですね。(道)Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。13:04|入試問題分析(算数)|問題用紙2枚に大問9つ。1枚目が大問1の計算問題(2問)以外がほぼ1問1答で大問6まで。2枚目が大問3つ(小問9つ)という形式は、例年と変わりません。1枚目の難易度は例年通り、簡単すぎず難しすぎず、見たことのあるような問題をうまくアレンジして出題しています。受験生の視点からだと、見慣れているような問題だけど、少し難しく感じる、そんな良問がならんでいます。大問7と大問9が、難しくはないが、けっこう手間のかかりそうな問題。逆に大問8は、塾でふつうに扱うベンツ切りの簡単な問題。ギャップが大きいですが、大問9は列車の長さも移動距離も分かっていて、列車の速さもすぐに出るので、「警報機のなり始めるポイント」「警報機のなり終わるポイント」の時間をかき込んでいけば、実はそう難しい問題ではないことが分かります。本番で、この問題を見ると、初めて見る図ということもあり、気持ちが萎えてしまいそうですね。2016年度の合格最低点は400点満点で204点、昨年が206点でしたから大きく変わってはいません。算数は150点満点で、受験者平均が59.7点、合格者平均点は73.8点。5割弱で、合格ということになっています。A日程の目標点は5.5割としておきます。今年の問題で5.5割を取るためには、小問数18問で、10~11問正解する必要があります。1枚目で3個、2枚目大問7と大問9合わせて4個~5個間違える、逆に言えば、残った問題はきちんと正解しないといけません。難しい問題はさっさとパスして、できそうなところを1問1問をていねいにやっていかないといけません。解けそうだ、解けそうにないという見極めも大切です。今回はこの中から1枚目の大問6を解説します。図のように1辺が8cmの正六角形ABCDEFの辺上に点P,Q,R,S,Tがあり,APの長さは3cmです。点Pと点Q,R,S,Tをそれぞれ結ぶと,正六角形の面積が5等分されました。RS,TEの長さはそれぞれ何cmですか。図のように、BAをA側に延長し、EFをF側に延長して交点をGとします。三角形GAF(☆)は正六角形ABCDEFの1/6四角形APTF(◎)は正六角形ABCDEFの1/5なので三角形GPTは正六角形ABCDEFの1/6+1/5=11/30三角形GPTは三角形GAF(☆)の(GP/GA)×(GT/GF)なので1/6×11/8×(GT/GF)=11/30GT/GF=11/30÷11/8÷1/6=8/5よりTE=8-(8×8/5-8)=3.2cm今年のA問題のセットは、難易度的には例年と大きく変わった様子はありません。算数の受験者平均は昨年と比べて10点以上ダウン、合格者平均にいたっては18点以上のダウンです。1枚目に少々時間を取られたことと、2枚目が実際の難易度より「難しく見えた」ことが要因ではないかと思います。先に書いた通り、取れる、取れないという見極め、取れそうな問題はきちんと取りきるということが大切です。見極めの力は、簡単には身につきませんが、B日程も含めて過去問にしっかりあたり、その中で磨いていきましょう。(道)Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。09:58|入試問題分析(算数)|さて,今回は洛星中学校(後期)を見てみます。問題を解いた感想としては,数年前の「えぐい洛星後期の問題」というのは姿を消しています。子どもたちが正解までたどり着くのは結構しんどいのかなという問題が多いですね。単元の得手不得手,情報整理作業の得手不得手,作図の得手不得手,...皆が受験勉強を進めていく中で,つい逃げたくなるところで,モロに点数差が出るようなテストになっているように感じます。(1)の計算はできて当然。(2)の繁分数は練習量が少ないので,これまで出会ったときに逃げなかったかどうかです。(1)も問題そのものの難易度よりも,正解にたどり着くまでの道のりが長くて苦戦した子が多いかと思われます。(2)はフローチャートが描ければ余裕。正解したいところです。ニュートン算としては難易度は高くないですが,嫌いな人が多い単元です。(1)(ア)の作図は×にされている子が多いんじゃないかなぁ......。普段,ノートで作図するときに,どれくらいマス目を意識しているかが問われます。(1)(イ)や(2)も作図能力を鍛えていない子にはかなりきつかったのではないでしょうか。ちなみに,作図ができてしまえば,この手の問題としては十分正解できる難易度です。これも苦手な人が多い流水算。数値設定は「秒」があるのが鬱陶しいだけで,比較的親切設計です。正解率はそれほど伸びないんだろうなぁ,と予想。長いので,雑な整理をする子にはきついのですが,これも難易度としてはそれほどでもない感じ。見てみると,大問1と2で簡単な方をしっかり押さえ,大問3~6で得意な単元を中心に半分取る,これで受験者平均の4割5分は越えますね。できれば6割には持っていきたいところです。今回は大問5を見てみましょう。川の上流にA地点,下流にB地点があります。図1のように,船Pの先頭がAを通過してから,川を下り最後尾がBを通過するまで,26分15秒かかります。図2のように,Pの先頭がBを通過してから,川を上り最後尾がAを通過するまで,35分かかります。(1)船Pの静水での速さは,川の流れの速さの何倍ですか。図3のように,Pの最後尾がBを通過してから,川を上り先頭がAを通過するまで,30分20秒かかります。(2)AB間の距離は,船Pの長さの何倍ですか。図4のように,船Pの先頭がAを通過し川を下り始めたのと同時に,船Qの先頭がBを通過し川を上り始めました。図5のように,PとQの先頭が出会いました。Qの長さおよび静水での速さは,Pと同じとします。(3)2つの船が出発してから先頭が出会うまで何分かかりましたか。2つの船の先頭が出会ったときにPはエンジンを停止し,川の流れで流されて下流へ進みました。その後,図6のように,Qの最後尾がAを通過したとき,Pの先頭はBまで540mの地点にいました。(4)AB間の距離は何mですか。「AB間+船の長さ」の距離を,図1では105/4分で,図2では35分で移動しています。速さの比は逆比ですから,下りの速さ:上りの速さ=4:3,流速や静水時の速さのことも考えて,上り=[6]m/分,静水時[7]m/分,下り=[8]m/分,流速=[1]m/分としておくとよいですね。答えは,7÷1=7倍となります。同じ上りである図2と図3を比べてみましょう。移動した距離の違いは「船の長さ×2」,かかった時間の違いは「4分40秒」,つまり,船の長さの移動に2分20秒かかります。AB間の距離を移動するのにかかる時間は35分-7/3分=98/3分なので,(98/3)÷(7/3)=14倍が答えです。この時点で,船の長さ=[6]×7/3=[14],AB間の距離=[14]×14=[196]としておくと,先がとても楽になります。[196]÷([6]+[8])=14分。単なる出会いの問題です。図6は出発してから35分後の状態ですから,Pは14分下った後,35-14=21分流されたことになり,[8]×14+[1]×21=[133]進んでいます。,[196]-[133]=[63]が540mにあたるので,540×196/63=1680mが答えですね。問題の見た目に対して,解説は随分シンプルに見えますが,おそらく(2)のところで書いた,船の長さとAB間の距離を決めてしまう作業をしていない子が(3)(4)で混乱しやすくなると思われます。速さ得意!流水算得意!って子は自分ができる形で解いてもらって全然かまわないのですが,ちょっと苦手だなという子や,具体的な距離がわかっていないと正解率がぐっと下がる子は,速さの比と時間から,距離も同じ種類の比で表しておくというような作業を意識してやっておくと取り組みやすくなりますよ。(池)Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。15:38|入試問題分析(算数)|さて,今回は洛星中学校(前期)を見てみます。昨年は受験者平均が42点(120点満点の3割5分)というとんでもない状況でしたが,今年はかなり問題の難易度も下がり,まともな点数になったのではないでしょうか。※この記事を書いている時点ではそのあたりの数字がHPに掲載されておりません。(1)(2)はケアレスミスさえしなければ大丈夫。(3)は考え違いをしてしまうと抜け出すのに苦労するかもしれません。(2)もよほど立体が苦手でない限りはいけるでしょう。(3)は合否を分けるあたりの問題ですが,問題の系統としては真新しいものなわけではないです。(1)は書き出して合わせればOK,(2)は根性で書き出す子がいるかな...,(3)は取れなくてもまぁよいでしょう。見てみると,得点率5割をはさんで結構上下にぶれそうな感じですね。今回は大問4を見てみましょう。図1のような,底面の円の半径が5cm,高さが6cmの円柱があります。図1の円柱に,青色の糸をAからDまで側面を半周し長さが最も短くなるように巻きつけます。次に,黄色の糸をDからAまで側面を半周し長さが最も短くなるように巻きつけます。すると図2のようになりました。このとき,側面のうち2色の糸より下の部分の面積を求めなさい。図2の状態の円柱に,さらに赤色の糸をAからCまで側面を1周し長さが最も短くなるように巻きつけます。このとき,側面のうち3色の糸で囲まれている部分の面積を求めなさい。(2)の状態から糸をすべてはずします。図1の円柱に,緑色の糸をAからDまで側面を半周し長さが最も短くなるように巻きつけます。次に,紫色の糸をBからCまで側面を半周し長さが最も短く,緑色の糸と交わらないように巻きつけます。最後に,黒色の糸をAからCまで側面を2周し長さが最も短くなるように巻きつけます。このとき,側面のうち3色の糸で囲まれている部分の面積を求めなさい。受験生であれば,「立体・糸巻き・最短距離」と聞いたら,0.1秒後に展開図をかきはじめなければなりません。今回は円柱の側面に巻きつけていますので,側面の展開図だけかきましょう。上図のようになりますので,10×3.14×6÷2=30×3.14=94.2cm^2となります。(1)の図にAからCまで赤色の糸を書きこんでみましょう。Dは長方形の横の辺の中点なので,DC’:AA’=1:2。△DC’Xと△A’AXの相似比は1:2ですから,DX:XA=1:2となります。求める面積は(1)の答えの1/3ですね。94.2÷3=31.4cm^2となります。赤い線を左上がりに書きこんでも,下のような左右対称の図になるだけなので,答えは変わりません。緑色の糸と紫色の糸の書きこみ方は1通り(左右対称のものもありますが,それは無視してよいでしょう。)ですが,ここに黒の糸をかきこむのですが,右上がりに書きこむか左上がりに書きこむかの2通りの書きこみ方があります。右上がりに書きこんだ図を見てみましょう。点線FBの長さはEA’の長さの半分で1.5cmですから,FB:EC’=1:2。△FBXと△EC’Xの相似比は1:2ですから,BX:XC’=1:2となります。同様に,DY:YA=1:2ですので,網がけ部分は平行四辺形ABC’Dの(2+2)/(1+2+1+2)=2/3倍,15.7×6×2/3=62.8cm^2が答えですね。次に左上がりの図を見てみましょう。オの部分が3色の糸で囲まれているのはすぐにわかるかと思いますが,ウやエの部分も実は3色の糸で囲まれています。(右のウとエを,長方形の左側に点線のようにもっていくと分かりやすいですね。)△AEIと△ACHは相似で,相似比が1:2,面積比が1:4なので,ウ=1,エ=3としましょう。ア+イ+ウもア+ウ+エも長方形の1/4なので,イ=エ=3となり,△CHDと△CGC’も相似で,相似比が1:2,面積比が1:4,よって,ア=1とできます。長方形全体の面積は(1+3+1)×4=20,オの面積は20-(1+3)×4=4,色のついた部分の面積は6×10×3.14×12/20=36×3.14=113.04cm^2となります。※最後の面積比を出すところは,洛星を受ける子であれば何度も見てきている図ですから,様々な解法でサッサと解けるようにしておきたいところです。(1)(2)くらいまでは合わせておかないと物足りない感じでしょうかね。(3)は答えが2通り出るので,しんどい方で考えた子はちょっとかわいそうだったと思います。いずれにしても,立体の問題は平面上での考え方にもっていくというのはよくある出題ですので,しっかりと練習しておきましょう。(池)Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。医志コースができて3回目の入試、まずは応募人数と競争率から。(2.4倍)ですが、これは医志コース、英数IIコース、英数Iコースを合算したもので、例えば昨年度だと、定員35名の医志コースを第一志望とする受験生は、全体の7割にあたる424名でしたから、その倍率は何と12倍!医志コースを希望する受験生にとっては、非常に狭き門となっているのが現状です。肝心の算数の入試問題の話です。大問は8つで小問が20問。計算2問2は多少工夫が必要ですが、きちんと押さえたい問題。3割合2は鶴亀算がセットですが、落ち着いて処理すれば大丈夫。直角三角形型の相似を利用する問題ですが、受験生にとってはやり慣れた問題でしょう。これは押さえたい所ですが、2はやや難解に感じるかも。簡単な方法がありますが、それは別の機会に。円周上の点の移動ですが、何か所かの点で停止する分、ていねいに解いていかないといけません。手間のかかる問題です。4問3個のさいころを振ってルールに従って得点を考える問題。ていねいな場合分けが決め手です。3問12は、規則さえ分かれば力ずくでも何とかなりそう。3は少し工夫が必要です。2問2の立体を回転させて体積を求める問題が、難しく感じられるかもしれませんが、実は、それほどでもありません。段ごとの平面を回転させてみましょう。これらの問題で、医志コースで8割、英数IIで7割、英数Iで6割が合格の目安と考えられます。今回は大問6の場合の数を取り上げます。赤白青の3個のさいころがあります。これらのさいころを投げて,次のように得点を決めます。3個の目の数がすべて異なるときは,いちばん大きい目の数を得点とする。2個の目の数が同じで,残り1個の目の数がそれと異なるときは,同じ目の数の2倍を得点とする。3個の目の数がすべて同じときは,その目の数の3倍を得点とする。「赤の目が4,白の目が4,青の目が5」ならば8点です。〕にあてはまる数を入れなさい。