これに気づいてしまえば、あとは□に入る数を求めてあげるだけ。気づかずに調べていってもできますが、かかる時間はずいぶんと変わってしまいますね。(2){(11-□)×10+(11-□)×(11-□)}×2=(11-□)×(21-□)×2=112=(2×2)×(2×7)×2なので,□=7(3){(□-2)×□+(□-2)×(□-2)}=(□-2)×(□×2-2)×2=224=7×(2×2×2×2)×2なので,□=9式を整理することが得意な人とそうでない人で差が出た問題だと思われます。式でうまく整理できるようになるためには、普段から解き方を丁寧に書き、見やすいノートづくりを心がけなければいけませんね。書いたものの、ほとんどの子はそんなにうまく式を作ることはできないでしょう。□を作った式を作るところまではいかなくても、調べ上げて(2)まではしっかりと合わせる、それぐらいの根性のある子が、最終的には合格していくのだと思います。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。12:03|入試問題分析(算数)|今回は甲陽2日目の5番を扱ってみましょう。この問題を取り上げるかどうか、実は迷いました。取り上げてみることにしました。大問6番A校とB校の水泳部で試合を行いました。すべて個人種目で10種目あり、各種目に両校から3名ずつの選手が出場します。各種目ごとに1位には5点,2位には3点,3位には1点が与えられます。4位以下には点数は与えられません。(1)合計得点が相手校より多くなるには、1位は少なくとも何回必要ですか。(2)各種目ごとの得点で勝敗を決めると両校とも5勝5敗でしたが、合計得点を比べるとA校がB校より6点多く取っていました。A校の1位,2位,3位の回数として考えられるものをすべて求めなさい。(答えは4組とは限りません。)内の記載がありました。(1)1種目で得点は5+3+1=9点発生するので、10種目では9×10=90点となります。90÷2+1=46点取れればよいということになりますね。残りの46-40=6点は1位で取らないといけません。6÷5=1余り1⇒2回というこになります。(2)大きく分けて2つの条件が書かれています。・5勝5敗1位を取れば、その種目の勝ちは確定するので、A校の1位は5回と決まります。これで5×5=25点は確定です。・A校がB校より6点多く取っていました90点を取り合って、6点多くとるということは(90+6)÷2=48点取ればよいわけですから、2位と3位で48-25=23点を取ればよいことになります。3×○+1×△=23(○,△はいずれも10以下)となるので、(○,△)=(7,2)(6,5)(5,8)の3組となりますので、答えは(5回,7回,2回)(5回,6回,5回)(5回,5回,8回)となります。今回は1位が5回と確定することに気づくかどうかがポイントでした。あと、同点の(5回,5回,5回)から3点を増やそうとすると、(5回,7回,2回)を抜かしてしまいそうなところがちょっとだけ罠ですかね。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。12:03|入試問題分析(算数)|今回は甲陽2日目です。1日目の受験者平均49.8に対して、2日目の受験者平均56.3ということからもわかるように、2日目のほうが点数を取りやすかったようです。途中に厳しい問題があったかなかったかの違いでしょう。今回のテストから見える教訓として言えることは、(当たり前のことなのですが)2日間勝負のテストでは1日目の結果を引きずらないことが非常に重要ということです。2日目の方が1日目よりも良い精神状態で受けることができる子はまずいません。相対的に自分の位置は上がることになります。2日目の方が得点しやすかったということは、なおさら今年の入試は最後までわからなかったと言えるのではないでしょうか。実際の問題を見てみましょう。今回は大問の2番を取り上げます。大問2番1から200までの200個の整数があります。(1)それぞれの整数について,各位の数の和を考えます。2なら2,34なら7,156なら12です。これら200個の和をすべて加えた合計を求めなさい。(2)それぞれの整数について,各位の数の積を考えます。2なら2,34なら12,156なら30です。これら200個の積をすべて加えた合計を求めなさい。(1)こちらはよく見る問題ですね。位ごとに出てくる数字の和を考えればOKです。一の位:0~9の十種類の数字が200÷10=20回ずつ出てくるので、(0+1+2+...+9)×20=900十の位:数字がないところも0と考えると一の位と全く同じ。(2)こちらは「九九の表の答えの和を求めなさい」という問題に出会ったことがあるかどうかで差がついたかもしれません。いえ、順番にかけ算の式を作っていけば、なんとなく方針は見えるかと思います。1~10の合計は1+2+3+...+9+0=4511~20の合計も45、21~30の合計は45×2,31~40の合計は45×3,...,91~100の合計は45×9となるので、11~100の和は45×(1+2+3+...+9)=45×45=2025となります。101~200は11~99に1がついただけなので(100~109と200は0が入っているので無視してよい)、やはり2025。よって,45+2025×2=4095となります。200までとされているあたりがかなり親切設計(?)な問題といえますね。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。12:02|入試問題分析(算数)|今回は甲陽1日目の6番を扱ってみましょう。「影の問題は,今年の出題が予想できた問題で,筆者も受験生に「今年は影が出るぞ~」と何度も言ってました。」と書いていましたが、やはり甲陽でも影の問題が出ました。最難関と呼ばれる学校で影の問題の難問が、洛星後期以外ではあまり出ておらず、昨年度に東大寺で出題、このことからも今年の入試で出題されそうだということは予想しやすかったのではないでしょうか。長方形の紙を丸めて作った半径と高さが10cmの円筒が,平らな板の上に置いてあります。同じ板の上に高さ10cmの棒が垂直に立っています。紙の厚さ,棒の太さは考えないものとし,半径10cmの円,1辺10cmの正三角形の面積はそれぞれ314.1cm^2,43.3cm^2とします。(1)太陽の光で棒の影の長さが20cmになっているとき,板に映った円筒の影の面積を求めなさい。(2)太陽の光で棒の影の長さが10cmになっているとき,板に映った円筒の影の面積を求めなさい。今回は太陽光線ということですから横からの図は省略します。(点光源の場合は必ず横からの図をかきましょう。)(1)今回の円筒の高さも棒と同じ10cmですので、影の長さも同じ20cm(図の点線)となります。全ての点線をかくわけにはいかないので4本だけかいていますが、この点線の先を集めると20cmだけずれた円が浮かび上がってきます。この点線が引かれている部分が地面の影になるわけです。(下図)求める面積は半径10cmの半円2つと一辺20cmの正方形の合計ですので、314.1+20×20=714.1cm^2となります。(2)今回は影の長さは10cm(図の点線)となります。今回は点線を8本に増やしてみました。先ほどと同様にこの点線の先を集めると10cmだけずれた円が浮かび上がってきます。この点線が引かれている部分が地面の影になるわけですが、影になる部分は下の図のようになります。求める面積は半径10cmの半円2つと縦20cm,横10cmの長方形の合計から★部分を引かなくてはいけません。★は中心角120度のおうぎ形2つから正三角形を2個引けばよいので、314.1×2/3-43.3×2=122.8cm^2よって、求める面積は314.1+20×10-122.8=391.3cm^2となります。影の問題としては、難易度はそれほど高くないと思いますが、3番の速さの問題で時間を使いすぎてパニックになっていたり、影の問題だからできないという拒否反応が出た子は解けなかったと思います。あと、円の面積を314cm^2とした子も何人かはいるでしょうね...いずれにしても、平常心で、1つ1つの大問を独立した問題として取り組む訓練を普段から積んでおく必要がありますね。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。11:53|入試問題分析(算数)|さて,今回は甲陽1日目の分析をしてみましょう。問題数は大問6問とボリューム的には例年と変化ありませんでしたが,純粋な計算問題が今年は復活しました。テストが始まってこの問題をゆったりとした気持ちで正解すること,さらに,1つの大問の中で,(1)だけでも拾うという作業がきちんとできていれば,実は受験者平均に達する(今年の受験者平均は47.8点)それほど難しくはなかったのでは無いかと思います。入試本番というのは中々そうはうまくいかないもの。今回の問題で最も全滅しやすかった大問はおそらく3番だと思われます。ここでパニックになって後ろに響いてしまうと,本来とれるものも取ることができなかったのではないでしょうか。今回はこの3番の問題を取り上げてみたいと思います。大問3番P君,Q君,R君の3人がA地点を出発してAB間を次のようにして往復します。・P君は歩いて往復します。・Q君はA地点から途中のC地点まで自転車で行き,C地点からB地点まで歩き,B地点からA地点まで走ります。・R君はA地点からB地点まで自転車で行き,B地点からA地点まで走ります。3人がA地点を同時に出発すると,P君はC地点で,B地点から戻ってくるR君と出会い,そのとき,Q君はB地点に着きました。P君はC地点から0.9kmだけ進んだ場所で,B地点から戻ってくるQ君と出会いました。P君,Q君の歩く速さ,Q君,R君の走る速さ,自転車の速さはそれぞれ同じで,走る速さは時速8km,自転車の速さは時速12kmです。(1)歩く速さを求めなさい。(2)AC間とCB間の距離をそれぞれ求めなさい。問題文をまずはそのまま図にすると,上図のようになります。この図のままで,(1)の解決に直結しないのが全滅しやすかったのではないかと推測する理由です。解決の手がかりは下の図の×を描き入れるかです。×が無くとも,2:3はかけるのですが,それがQのC→Bの時間にはなかなか直結しません。CB間ではなく,AB間の時間比が2:3という所に目が行ってしまい,手詰まりになってしまった子もいたのではないでしょうか。×が書き込めればスルスルっと解けそうにも見えますが、ごそごそやって探しているうちに図がぐちゃぐちゃになってしまい、混乱するのが速さの問題のつらいところです。普段から、どのように整理すればぐちゃぐちゃになりにくいかということを意識しながら問題に取り組むことが非常に大切ですね。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。16:08|入試問題分析(算数)|今回も道幸が担当します。影の問題は,今年の出題が予想できた問題で,筆者も受験生に「今年は影が出るぞ~」と何度も言ってました。過去に出題された影の問題は,平成20年度の大問2「机に置いた直角三角形を上に折り曲げてできる影を考える問題」,平成15年度の小問「立方体の影の問題」,平成8年度の大問6「地面に立てた三角形や正方形の影を考える問題」などがあります。大問で出題される影の問題はいずれも一筋縄ではいかない,結構難しい問題でした。過去の問題のように,平面の影を考えさせる問題か,それとも昨年の東大寺のような立体の影を考えさせる問題か...。出題されたのがこの問題。右の図のように,平らな地面に立つ壁から4m離れた位置Aに5mの高さのポールが立っていて,そのポールに一辺の長さ1mの正方形の看板が壁に平行に取り付けてあります。看板の高さはポールに沿って変えることができます。壁から7m離れた位置Bに街灯Cがあり,Cの高さは地面から5mです。ここで,直線ABは壁に垂直で,壁,ポール,街灯は地面に垂直に立っているものとします。(1)看板の下の辺が地面についているとき,街灯Cによって地面にできる看板の影の面積は□m^2です。(2)看板の下の辺が地面から□mより高い位置にあるとき,街灯Cによる看板の影が壁にできます。(3)看板の下の辺が地面から2mの高さにあるとき,街灯Cによって,壁には□m^2の看板の影ができます。定石通り,真横から見た図をかき,その下に真上から見た図をかいてみましょう。これも真横から見た図で。正方形の上端の影が壁にちょうど届く図をかけばよいのです。真横から見た図に真上から見た図を組み合わせて考えるといいでしょう。エ=1+2-イ=1+2-20/7=1/7(m)したがってオは1/7×7/3=1/3(m)カは1×7/3=7/3(m)求める部分(正方形の影のうち壁にできた影)は,たて1/3m,横7/3mの長方形になりますから,1/3×7/3=7/9(m^2)さすがに(3)は少し難しくなりますが,(1)(2)は十分射程内。過去に出題された影の問題と比べても得点しやすい問題であったように思います。(道)Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。今回は,問題用紙2枚目の最初の問題である,大問3を見てみましょう。以前はこのタイプの速さの問題が,星光ではよくみられましたが,最近ではあまり見かけなくなりました。落ち着いて状況図を描けば,ヒントがきちんと見つかるでしょう。大問3番X,Y,Zの3人が直線コースで競走をしました。Xがスタートした後にYがスタートし,その時間差の2/3の後にZがスタートしました。コースの途中のA地点で3人が横一線に並びました。A地点から204m先のB地点はコースの中間地点です。ZがB地点の先36mを通過した瞬間,XはB地点の手前24mを通過しました。XがB地点を通過したのは,YがB地点を通過してから6秒後でした。Zは自分が出発してから90秒後にゴールに到着しました。3人の速さはそれぞれ一定であったとして,次の問いに答えなさい。XとZの速さの比を最も簡単な整数の比で表すとどうなりますか。式と答えを書きなさい。XとYの速さの比を最も簡単な整数の比で表すと□:□です。コースの全長は□mです。X,Y,Zの進む様子を状況図にまとめると次のようになります。このとき,同一時刻には同じ記号を使うことが大切です。「時間差の2/3」という表現は目新しいので,少し注意が必要です。図にかいたように,Xの進んだ距離の比が3:2になることに気づくかどうか。Xの○~△と△~●の距離の比は,進んだ時間の比が3:2なので,3:2となります。(図には[3]と[2]で距離を表しています。XとZの速さの比は同じ時間に進む距離の比なので,図のアとイの比になります。(1)の3:4をXの●~□を{3},Zの●~□を{4}として考えると,{1}=[5]になるので{3}=[15],{4}=[20]となりますから,これを図に記入すると次のようになります。Xの□~♡は204mなのでYの□~♡は204×20/17=240(m)240-204=36(m)をYは6秒で進むので36÷6=6(m/秒)...Yの秒速したがってzの秒速は6×17/20×4/3=6.8(m/秒)コースの全長は,6.8×90=612(m)限られた時間内で,問題を読みこなし,整理し図にまとめるというのはなかなか大変です。落ち着いて処理できるかどうかは,星光の入試問題全体に言えることですが,とても大切ですね。この問題に関して言えば,ダイヤグラムでの処理が可能ですが,日ごろダイヤグラムをかき慣れていなければ,ここで扱ったように状況図で徹底的に攻めてみる方がよいでしょう。Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。プロフィールAuthor:エデュパスタッフFC2ブログへようこそ!数理教育研究会スタッフによるブログです。