スタッフが,最難関中学の算数・理科の入試問題の解答・分析などを中心にアップしていきます。10:56|入試問題分析(算数)|関西の入試に戻ってきました^^;東大寺学園の算数は,前に書いたように,大問数こそ変わらないものの,枚数が4枚と増え,受験生を見かけで圧倒しました。今回はそのうち大問3をみていきましょう。この問題も,これで問題用紙1枚を使っていました。大問3AB=2cm,AD=1cmの長方形ABCDと,対角線の長さEG=FH=2cmの正方形EFGHがあります。ABの真ん中の点をM,CDの真ん中の点をNとします。CとMを通る直線をl,Dを通りlに平行な直線をmとします。【図1】のように正方形EFGHをEFがm上に,GHがl上にあるように動かすとき,次の問いに答えなさい。(1)2つの四角形の重なる部分が五角形になる場合に,重なる部分の面積が最も大きくなるとき,その部分の面積を求めなさい。(2)2つの四角形の重なる部分が三角形になる場合に,重なる部分の面積が最も大きくなるとき,その部分の面積を求めなさい。(3)【図2】は正方形EFGHが点線部分の正方形から太線部分の正方形E'F'G'H'まで移動した図です。AはFG上,NはEH上にあるものとし,F'G'とDAが交わる点をP,F'G'とABが交わる点をQ,E'H'とDCが交わる点をRとします。三角形AQPと四角形NHH'Rの面積が等しくなるとき,三角形AQPの面積を求めなさい。この問題は,正方形が「斜めに」進んでいきますから,図がかきづらく,受験生を悩ませたのではないかと推測できます。いった問題で大切なことは,図が動く様子をしっかりイメージするための作図です。かきづらいですが,何とかがんばって,大ざっぱでいいので,その様子をイメージしておきましょう。変化していくことはつかめますね。この様子がつかめたら,(1),(2)はさほど難しくはありません。下の図のように,六角形になる寸前(FGが点Aに重なったとき)に五角形の面積が最大になります。正方形EFGHから3つの合同な三角形を引けば重なった部分の面積が求められます。下の図のように,点Fが点Dと重なった場合に重なる三角形の部分の面積が最大になります。このとき三角形CDMは底辺2cm,高さ1cmの直角三角形になります。三角形AQPと四角形NHH'Rの面積が等しくなるとき,三角形PASと三角形RNTの面積も等しくなります。すると,三角形QASと長方形THH'Rの面積も等しくなります。(図の☆印)GG'=HH'=2とすると,三角形QASの等辺の長さは2になります。三角形QASと長方形THH'Rを高さ2の等高図形と考えると,面積が等しいので(上底+下底)も等しくなります。三角形QASの(上底+下底)は2なので,長方形THH'Rの(上底+下底)も2,よってTH=1となります。NT=2なので,NR:RC=NT:TH=2:1これよりNR=AP=1×2/3=2/3(cm)よって三角形AQPの面積は,2/3×2/3÷2=2/9(cm^2)さすがに(3)は少し難しく,受験生を戸惑わせる問題だったように思います。,(1)(2)については,正方形の動く様子をしっかりイメージし,落ち着いて丁寧に作図すれば十分対処可能だったのではないでしょうか。(道)Tweetスポンサーサイト←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。12:53|入試問題分析(算数)|今回は武蔵中学校の算数の分析です。2.4去年に引き続き,今年はさらに倍率が下がりました。合格最低点も320点満点中,191→204→146と大幅に下がっており,当然問題の難易度にもよりますが,全体的には通りやすかったと言っていいと思います。問題の分量は大問4題,小問数は13題。いずれも超難問というものではありませんが,合格者平均が46.3/100ということを考えると,3番の水入れで全滅したり,4番の記述で思考が停止したりした子が結構いたと思われます。大問4などでは(1)(2)の記述問題ができなくても(3)や(4),極端なことを言えば(4)だけでも解くことは可能です。貪欲に点数を稼ぎに行くように,普段から心がけなければいけませんね。今回はこの中から2番の問題を取り上げてみます。図のように,正方形ABCDの外側と内側に2つの円P,Qが接しています。この円P,Qをそれぞれ正方形の各辺にそって1周させ,元の位置に戻るまで動かします。円Pの中心が動いてできる線を(ア),円Qの中心が動いてできる線を(イ)とするとき,次の問いに答えなさい。円周率は3.14とします。正方形の図を利用してもかまいません。(式や計算も書きなさい)(1)円Pと円Qの半径がともに5cmのとき,(ア)と(イ)で囲まれる部分の面積が1178.5cm^2になりました。正方形の一辺の長さは何cmですか。(2)次に,正方形の一辺の長さと2つの円P,Qの半径をすべて変えたところ,(ア)と(イ)の長さの差が67.96cmになりました。このとき,円Pの半径は□cm,円Qの半径は△cmです。□,△に当てはまる整数を求めなさい。(1)上図のように,元の正方形の内側と外側に,幅5cmの帯があるイメージです。この斜線部分の面積の合計が1178.5cm^2になればよいわけです。4隅を合わせると,半径5cmの円になるので,5×5×3.14=78.5cm^2ですから,残りの部分が1178.5-78.5=1100cm^2となります。元の正方形の一辺を□cmとすると,□×5の長方形が,元の正方形の外側に4つ,内側に4つありますが,内側は☆の部分が重なっているので,□×5×8=1100+5×5×4=1200cm^2となります。よって,□=30cmですね。(2)(ア)と(イ)の長さの差とは,赤線部分になります。4隅を合わせると半径が□cmの円になり,あとは△cmの直線が8本分ですから,□×2×3.14+△×8=67.96cmとなります。小数部分を考えると,□×2が4,9,14,19,...の可能性がありますが,□は整数なので,4か14のいずれか。□×2=4のとき,△×8=55.4となるので不適。□×2=14のとき,△×8=24となるので,□=7cm,△=3cmとなります。図形の問題は普段から作図をきちんとしなさいと何度も言われていると思いますが,その作図がきちんとできればそれほど難しくないと思われます。時間がかかっても,出された宿題をこなしていく中で作図能力をつけていきましょう。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。競争率は例年通り2.3倍でした。受験者平均も53.6とここ5年ほどの真ん中あたりに落ち着いています。問題の分量は大問6題,小問数は15題。1番の小問群と,定番の3番はしっかり合わせたいところです。あとの4題の中では4番の水入れ問題が取りやすそうですが,グラフをかかないといけないので得手不得手があるかもしれません。いずれにしても,4題については小問を拾えば十分な計算ですね。今回はこの中から6番の問題を取り上げてみます。一辺が6mの正方形の形をしたシートを教室の床の上に平らにひろげ,シートの上に幅1mの板を2枚,シートに垂直になるように立てました。図1は,このシートを上から見た図です。図1のように正方形の各頂点をA,B,C,Dとして,辺ABの真ん中の点をP,辺BC上のBから1mはなれた点をQとします。Pに真一くんが立ち,Qに和子さんが立って,それぞれシートを見るとき,次の各問いに答えなさい。板の高さは真一くんと和子さんの身長よりも高く,板の厚さは考えません。(1)真一くんが見ることができないシートの部分の面積は何m^2ですか。(2)真一くんも和子さんも,ともに見ることができないシートの部分の面積は何m^2ですか。(1)Pから2枚の板の両端を通る直線を引きましょう。このように,方眼を作ると解きやすい問題というのはよくありますので,テクニックとして知っておきましょう。今回求めるところは斜線をつけたところの和ですので,いずれも大きな三角形から白い小さな三角形を引いてあげればよいですね。3×3÷2-1×2÷2=3.5m^21×6÷2-1×1÷2=2.5m^23.5+2.5=6m^2となります。(2)(1)の真一くんの場合と同様に,和子さんの方もかきこんであげましょう。2枚の板を同時に考えると,図がごちゃごちゃになりそうなので,1枚ずつ注目していきますね。左上の図の太枠で囲まれたところが和子さんが見ることができない場所です。(1)の斜線部分のうち,太枠で囲まれたところが二人とも見ることができない場所となります。左上の4×4マスだけを取り出したものが右上の図になりますが,斜線部分の形がよく見る図形になっているのが分かりますね。面積は2×4÷2×1/3=4/3m^2となります。次の板に注目してみましょう。先ほどと同様に,(1)の斜線部分のうち,太枠で囲まれたところが二人とも見ることができない場所となります。こちらの方はちょっと複雑ですね。斜線部分が含まれる2マスだけ取り出したものが右上の図になりますが,太線で囲まれた相似に注目すると,相似比は0.5:1=1:2となりますので,斜線部分の三角形の高さは1/2×2/3=1/3mとなります。よって,面積は1×1/3÷2=1/6m^2ですね。今回は2つの面積の和ですから,答えは4/3+1/6=1.5m^2となります。同じ図の中にどんどん線をかきこんでいくと,当然のことながら図は見にくくなっていき,解けるものも解けなくなってきてしまいます。そのようなときに,自分で図を新しく書き出して,フレッシュな状態で考えると色々なことに気付きやすくなりますね。そのためにも普段から図を書くように心がけてください。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。問題の分量は大問4題,小問数は14題。1番の数の問題はしっかり合わせておきたいところです。この手の問題は,取れる子と取れない子が極端に分かれてしまうので,一気に差をつけられてしまう危険性がありますね。2番は定番の点の移動問題ですが,ちょっと面倒ですね。(3)(イ)はちょっとだけ罠があるので,取れなくても仕方がないかもしれません。3番はカタラン数の問題。同じ題材の問題はよく目にするので,問題演習の量で大きく差がついたと思われます。4番は定番の数表問題ですが,サイズが非常に大きいので,テストという限られた時間で落ち着いて解くにはかなりの精神力を要します。普段の勉強をするときから,投げ出したい気持ち,パニックになりそうな気持ちをグッと抑えて,コントロールするということを意識しておくとよいでしょう。今回はこの中から1番の問題を取り上げてみます。大問1番A,B,C,D,E,Fを,それぞれ,0でない1けたの数とします。これらを並べて6桁の数『ABCDEF』を作ります。並んでいる6個の数を3つずつに区切って,3けたの数『ABC』と『DEF』を作り,これらを足すと999でした。次の問いに答えなさい。A,B,C,D,E,Fに同じ数があってもかまいません。(1)6個の数A,B,C,D,E,Fを全部足すといくつになりますか。(2)もとの6桁の数について,並んでいる6個の数を2つずつに区切って,2桁の数『AB』,『CD』,『EF』を作り,これらを全部足すと99になりました。(ア)Aが1,Cが2のとき,もとの6桁の数を答えなさい。(イ)このような6桁の数『ABCDEF』は,(ア)で答えたものを含めて,全部で何個ありますか。(1)まず,筆算で+ABC+DEF+999と書くと,A+D=9,B+E=9,C+F=9ということに気付くかと思います。※2数の足し算は最大でも9+9=18なので,この筆算がくり上がることはありません。よって,A+B+C+D+E+F=(A+D)+(B+E)+(C+F)=9×3=27となります。(2)(1)と同様に,まず筆算を書いてみましょう。+AB+CD+EF+99となります。ここに出てきている6数の合計は(1)より,27になっています。B+D+F=9だとすると,A+C+E=18となってしまうのでこれはありえません。B+D+F=19だとすると,A+C+E=8となり,くり上がりを考えるとこの筆算が成り立つことになります。(ア)A=1より,D=9-1=8,C=2より,F=9-2=7となります。E=8-1-2=5ですから,B=9-5=4となりますので,求める6桁の数は142857となります。間に仕切りの|を2本入れると考えればよいですから,7C2=21個となります。※2本の仕切りのうち,左の仕切りよりもさらに左にある○の個数がA,2本の仕切りにはさまれている○の個数がC,右の仕切りよりもさらに右にある○の個数がEと考えればよいです。後の問題へ弾みをつけるためにも,ここはスムーズに通り抜けて後につないでおきたい問題でした。そのためにも,普段から解説を参考にしたりするときに,あいまいなところを残したまま進まないように心がけてほしいところです。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。12:39|入試問題分析(算数)|今回は桜蔭中学校の算数の分析です。2.0となっており,倍率は一昨年並みとなりました。問題の分量は大問6題,小問数は11題。方針が立たないような超難問は無いですが,ていねいに進めていかないと計算ミスをしたり,混乱したりという問題がほとんどですので,普段から限られた時間の中でも落ち着いて問題に取り組むという意識をしておかなければいけませんね。今回はこの中から5番の問題を取り上げてみます。下の図は長方形の土地を幅3mの道(斜線部分)で5つの長方形の土地に分けたものです。(あ),(い),(う),(え),(お)の部分の面積をそれぞれ[あ],[い],[う],[え],[お]とします。[あ]:[い]:[う]:[え]:[お]=1:2:3:4:5となるとき,(え)の部分の面積を求めなさい。)は本来の文章では○になっています。道の問題は端に寄せてしまうというのが鉄則です。全部寄せてしまうとわけがわからなくなりますので,縦方向の道だけ右端に寄せてしまいましょう。要は,(あ)と(い)をくっつけて1つの長方形に,(う)と(え)と(お)をくっつけて1つの長方形にするわけです。すると,2つの長方形の面積比は(1+2):(3+4+5)=1:4となります。横の長さの比は(300-3):(300-6)=99:98なので,縦の長さの比は(1÷99):(4÷98)=49:198となりますね。下の長方形の縦の長さは(250-3)×198/247=198mとなりますので,(え)の面積は198×294×4/12=19404m^2となります。ちなみに,今回の問題は道を端っこに寄せることができましたが,形によっては寄せてしまうとおかしなことになってしまうケースがあります。下の図をご覧ください。上はOK,真ん中もOKですが,一番下はNGです。どのように判断すればよいかは黒塗りの部分です。上は,見るからに変形前も変形後も重なり部分は一辺1mの正方形になっています。真ん中は,変形前後で形は変わっていますが,変形前は底辺1m,高さ1mの平行四辺形,変形後は縦横1mの正方形なので,面積は変わりません。一番下の図では,重なり部分はどの辺の長さも道の傾き具合で変わってきます。よって,変形前後で面積まで変わってしまいますので,このような寄せ方をしてはいけません。算数の先生でも結構このあたりを勘違いされる方がおられたりしますので,気をつけましょう。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。12:36|入試問題分析(算数)|今回は麻布中学校の算数の分析です。問題の分量は大問6題,小問数は15題。各40点)で,最高点は147点(7割ちょい),合格最低点は98点(5割弱)という結果でした。得点の取り方としては,1番,3番をしっかり取って,4番と5番は(1)だけで十分。6番でどれだけ取れるか勝負といった感じでしょうか。今回はこの中から5番の問題を取り上げてみます。図1のような立体を三角すいといい,その体積は(底面積)×(高さ)÷3で求められます。以下の問いに答えなさい。(1)図2において,三角すいABCD,三角すいABQR,三角すいPBQRの体積の比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。(2)図3の三角形EFGの形をした紙を使って2つの三角すいを作ります。図4の点線を折り目として頂点E,F,Gを一致させるように折って作った三角すいの体積を[ア]cm^3,図5のように4つの三角形に切り離し,同じ長さの辺を重ね合わせて作った三角すいの体積を[イ]cm^3とします。[ア]と[イ]の体積の比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。(1)は正解しておかなければいけません。三角すいABCDの体積を【1】としたときに,他の2つがどうなるかを考えましょう。いずれも三角すいの隣辺比を使って出すことができます。三角すいABQRは【1】×3/6×3/5×6/6=【3/10】,三角すいPBQRは【1】×3/6×3/5×4/6=【1/5】ですから,【1】:【3/10】:【1/5】=10:3:2となります。(2)こちらの方はかなり難易度は高いですね。図3の三角形を4枚組みあわせてできる三角すいをベースとして考えましょう。てっぺんの頂点にアルファベットを振っていますが,それぞれの角が図3の三角形のどの頂点と同じ大きさになっているかを表したものです。下の一番左の図で,体積を『1』としておきましょうか。図4を見ると,Eをはさむ2辺が10cmと11cm,Fをはさむ辺が9cmと11cm,Gをはさむ辺が9cmと10cmなので,下の真ん中の図のようになります。よって,体積は『1』×11/22×10/20×9/18=『1/8』ですね。図5を見ると,Eをはさむ2辺が10cmと8cm,Fをはさむ辺が12cmと8cm,Gをはさむ辺が10cmと12cmなので,下の一番右の図のようになります。よって,体積は『1』×8/22×10/20×12/18=『4/33』ですね。求める体積の比は『1/8』:『4/33』=33:32となります。今回の問題のセットを考えると,(2)まで取れる必要はないでしょうが,同じ三角形を4枚組みあわせれば三角すいを作ることができるということは知っておいて損はないですね。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。15:36|入試問題分析(算数)|今回は,数理教育研究会の道幸が担当します。首都圏では,昨年「中学受験バブル崩壊」と言われ,軒並み受験生を減らしました。慶應義塾中等部でも,昨年は志願者数で男子は約100名,女子は約50名減。今年はどうだったかというと,上に書いたように,男子は昨年比-62人(志願者数),多少難易度が下がったというところです。女子は昨年比+10人(志願者)。それにしても,関西の学校と比較すると競争率は高く,難関です。算数について話を進めます。大問6題,総設問数は20問です。前にも書きましたが,高難度の問題があまり出題されず,少しひねった典型問題の演習量で合否が決まる,つまり,典型問題の処理速度(1問2~2.5分)と精度の高さが求められる入試ですね。毎年そうですが,最後の方の大問は,やや難度が高く,なかなか手ごわいのではないかと思います。今年でいえば,大問6と大問7ですね。ここでは,大問7を取り上げましょう。大問7図のような底辺の長さが8cm,高さが5cmの直角三角形Aがあります。この直角三角形Aの底辺の長さを右方向に,高さを上方向にそれぞれ整数で何倍かした新しい直角三角形Bをつくります。次の□に適当な数を入れなさい。面積が1440cm^2となる直角三角形Bは全部で□種類です。直角三角形Bが18種類できるとき,その面積が最も小さいものは□cm^2です。Aをたて方向に△倍,横方向に□倍すると,Bは5×△×8×□÷2=1440となります。ここから,△×□=1440×2÷8÷5=72と分かりますから,△と□は72の約数であることが分かります。△と□の組み合わせを(△,□)と書くと(1,72),(2,36),(3,24),(4,18),(6,12),(8,9),(9,8),(12,6),(18,4),(24,3),(36,2),(72,1)の12組(=72の約数の個数)できます。したがって,12種類です。以上のように考えると,直角三角形Bが18種類できるということは,△×□の約数の個数が18個あればよいということが分かります。約数の個数は,素数の積で表したときに出てくる(各素数の個数+1)の積でした。,(3+1)×(2+1)=12で12個となります。...エアでできる最小の数は2^17=131072イでできる最小の数は3×2^8=768ウでできる最小の数は3^2×2^5=288エでできる最小の数は5×3^2×2^2=180よって,最小の△×□=180となり,5×△×8×□÷2=5×8×180÷2=3600となりますね。約数の個数の求め方が分かっていても,すぐに解答に行きつけない,練習を要する問題で,受験生はけっこう苦戦したのではないでしょうか。最後の問題ができなくても合否に大きな影響はなかったと考えられます。(ただし,そこまでの問題で確実に得点できていないと話になりませんが・・・)Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。15:29|入試問題分析(算数)|すみません!洛星後期を書いていたのですが,記事を公開するのを忘れていました!今回は洛星中学校(後期)の算数の分析です。問題の分量は算数1が大問5題,小問数は9題。例年のように算数1は落とせない(=落とすと確実に他の人と差がついてしまう)問題が並びました。4番、5番で小問2個以内、悪くても3個の失点に抑えたいところです。算数2が大問4題,小問数は18題。算数2の1番の円すいの移動問題は,灘あたりで題材になりそうかなと我々の間では話に出ていたのですが,ここで出てしまいました。1番は似たようなものをやったことがあるかどうかで差がついたかもしれません。2番3番は見かけほど難しくありません。長い文章や複雑な解答欄を見ただけで拒否反応を示した子はいると思われます。ハートの強さが試されましたね(^^;今回は4番の数列の問題を取り上げてみましょう。この列【A】はある数と次の数の積を2で割ったものがその次の数となるようにできています。,「1番目の数5」と「2番目の数8」の積を2で割ったものが「3番目の数20」になっています。次の問いに答えなさい。(1)この列【A】の6番目,7番目の数は,一の位から数えて何個0が続きますか。(2)この列【A】の13番目の数は,一の位から数えて何個0が続きますか。(3)列【B】の6番目,7番目の数は,それぞれ2で何回割りきれますか。10番目15番目の数は,それぞれ2で何回割りきれますか。(1)これは実際に書き出してみましょう。7番目は5個となります。(2)【A】の0の個数を並べてかいてみましょう。0,0,1,1,2,3,5,...何か気づきましたか?そう,3番目の数から見るとフィボナッチ数列になっていますね。これは当然のことで,前の2つの数を掛け合わせているわけですから,0の個数もその合計になります。よって,0,0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...となりますので,89個です。(3)先ほどは【A】に出てくる数が10で何回割り切れるかを表したものでした。今回は2で何回割り切れるかを考えます。10で割り切れる回数というのは2×5で何回割り切れるかということなので,先ほどやったことをまとめるついでに,【A】に出てくる数が,2や5を素因数として何個持っているかを表にしてみましょう。5の個数は(2)の所でも書いたようにフィボナッチ数列になっていますね。2の個数は,【A】は前の2数をかけて2で割るので,前の2数の和-1となります。今回は【B】の数が2で何回割り切れるかを聞かれていますから,上の表の2の個数よりも少なくなっているはずです。どれだけ少なくなっているかというと,実は5の個数分だけ少なくなります。?5の個数=取り除いた0の個数,つまり【A】から【B】にするときにそれだけの回数だけ10(=2×5)で割ったことになりますので,2で割れる回数は5の個数だけ減ることになりますね。よって,表の差の欄にかかれている,6番目,7番目,10番目,15番目の,5,7,27,289が求める答えです。ちなみに,最後の数列も4番目の数から見ると,前の2数の和-1になっていますね。ある程度書き出したら,その先は規則性に気づかないと解けないという問題は数多くありますので,そのようなところにも普段から意識を持って取り組んで下さいね。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。15:50|入試問題分析(算数)|さて,そろそろ関西から飛び出してしまいましょう。開成中学校の入試問題に目を向けてみます。問題の分量は大問3題、小問数は13題。去年の合格者平均がぐっと落ちたこともあり,今年は難易度が下がりましたね。(85点満点で去年の合格者平均が55.7,今年の合格者平均が68.3となっています。)1番の小問群も(1)~(4)が取りやすく,大問2,3も特別複雑だということはないので,大問2,3で小問2個落とすぐらいでおさめたいところですね。今回はこの中から3番の問題を取り上げてみます。水槽Aは三角柱の形で,底面は一番長い辺の長さが8mの直角二等辺三角形で,高さは9mです。水槽Bは四角柱の形で,底面は2辺の長さが8mと5mの長方形で,高さは9mです。水槽A,Bは,たて9m,横8mの長方形の面で隣り合っています。下図のように水槽A,Bの隣り合っている面を取り外して,横8mで高さが変えられる長方形の仕切りを入れました。初めは2つの水槽は空で,仕切りは9mの高さまで上げられています。有る時刻から水槽Aに1分あたり10m^3の水を注水口から入れます。それと同時刻に,仕切りは高さが1分あたり50cmの速さで下がり始め,その高さが0mになったら停止します。水槽A,Bが水でいっぱいになったら水を入れるのをやめます。このとき以下の問いに答えなさい。仕切りや面に厚みはないものとし,仕切りからあふれた水槽の水はただちに隣の水槽に移るものとします。(1)水槽Aから水槽Bへ水があふれ出すのは,水を入れ始めてから何分後でしょうか。(2)水槽Aと水槽Bの水面の高さが初めて等しくなるのは,水を入れ始めてから何分後でしょうか。(3)水を入れ始めてからの時間と水槽Aの水面の高さの関係を表すグラフを解答欄にかきなさい。計算で出てくる数字もあまりきれいではないので,非常にいやらしいのですが,何が起こっているのかをしっかりと把握できれば,グラフを利用して非常に簡単に解くことができますよ。水槽の中でどのようなことが起こるのかをしっかりと理解しましょう。1まず,水槽Aの水面が0mから上昇していく。そのとき,仕切り板の上端はどんどん下がってくる。2水槽Aの水面と仕切り板の上端が出会う。この後,水槽Aから水槽Bには水が流れ込み,水槽Bの水面が上昇して行くのと同時に,仕切り板の上端が下がっていくのに合わせて水槽Aの水面は下降していく。3水槽Aの水面,仕切り板の上端,水槽Bの水面が一致する。この後,水槽Aと水槽Bの水面は同じ速さで上昇し,その水面下に仕切り板の上端はどんどん沈んでいく。大きく分けてこの3つの動きに分かれます。水槽Aだけに水が入っているときの上昇と,仕切り板の上端の下降,水槽A,Bに水が入っているときの上昇の3種類の速さだけおさえてしまえばOKですね。これらをグラフに表してみましょう。水槽Aだけに水が入っているときの上昇です。底面積が8×4÷2=16m^2の所に10m^3ずつ水を注ぐので,10÷16=5/8(m/分)ずつ上昇します。(赤のグラフ)次に仕切り板の上端の下降です。これは問題文にあるように9mの高さから,0.5m/分ずつ下降します。(青のグラフ)最後に水槽A,Bに水が入っているときの上昇です。底面積が16+8×5=56m^2の所に10m^3ずつ水を注ぐので,10÷56=5/28(m/分)ずつ上昇します。上記の3になってしまえば,初めから仕切りがない場合とまったく同じ動きになるので,原点から直線を引いてしまいましょう。(緑のグラフ)結局(3)のグラフは上の実線部分を残してあげればよいことになります。このグラフを利用して(1)(2)も解いてしまいましょう。(1)(5/8):(0.5)=5:4なので,赤線と青線の交点は18分を4:5に分けたところになります。よって,18×4/9=8分後ですね。(2)(5/28):(0.5)=5:14なので,緑線と青線の交点は18分を14:5に分けたところになります。5/19分後となります。底面積と水量を使って解くこともできますが,わざわざグラフをかきなさいと問題に出ているときはグラフを利用すると楽なことが多いというのも覚えておくとよいですね。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。15:16|入試問題分析(算数)|今回は六甲Bを取り上げます。例年と比べると,若干取り組み易い問題が並んだ気がします。いずれもまだ未公表ですが,ひょっとして例年より少し高いのかなという感じはします。今回は2枚目にある大問7を見てみましょう。大問7A地点の真東にB地点があり,ロボットアがA地点に,ロボットイがB地点にあります。電源を入れると,ロボットは入力されたデータの通りに動きます。始めに入力されているデータは下の表の通りです。2台のロボットが同じ地点に来ると,ロボットは向き・速さのデータを相手と交換します。A,Bいずれかの地点にロボットが来ると,そのロボットの向きのデータのみが反対向きになります。2台のロボットの電源を同時に入れたところ,しばらくして2台が出会い,データを交換してそれぞれ来た道を引き返しました。その後2台はA,B地点でそれぞれ向きを変え,2台が次に出会ったのは初めて出会ってから21分後でした。次の(1)~(3)の問いに答えなさい。A地点とB地点の間の距離は何mですか。2台のロボットが初めて出会ったのは電源を入れてから何分後ですか。2台のロボットがB地点に初めて同時に来るのは,電源を入れてから何分後ですか。ある旅人算っぽいのですが,大きな違いは,ロボット同士が出会うたびに互いのデータを交換し,その新しいデータに沿って歩き続けるという,いかにもPC世代を過ぎてスマホ・タブレット世代が喜びそうな設定になっている点でしょうか。順に見ていきましょう。出会ってデータの交換をした後,再び出会うまでの時間が21分。図の□~●に注目します。データ交換をしたロボットの動きを考えるので,例えばロボットアだけに注目して解こうとすると,とんでもなく面倒な問題なのですが,この問題の面白いところは,ある1点に気付いてしまうととてもあっさりとできてしまうという点です。ためしに,ロボットアとイの動く様子をダイヤグラムにしてみると次のようになりますね。ロボットアとかイとかを個別に追いかけるのではなく,分速16mのロボット,分速14mのロボットの動きを,速さ別に追いかけると,単純な旅人算になっていることが分かります。22.5分,67.5分,112.5分,157.5分,...以上より,B地点に初めて同時に来るのは,電源を入れてから157.5分後であることが分かります。今回の六甲Bの問題は,1枚目が比較的平易で取り組みやすく,受験生も実力が発揮しやすかったのではないかと思います。(道)Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。16:35|入試問題分析(算数)|前回に引き続き,神戸女学院中等部の算数の分析です。今回はこの中から7番の問題を取り上げてみます。箱の中に1から5までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っています。この箱の中からカードを1枚ずつ順に3回取り出します。取り出したカードは元に戻さないものとします。次に,1回目と2回目にとりだしたカードに書かれた数字の和を十の位とし,2回目と3回目に取り出したカードに書かれた数字の和を一の位とする整数を作ります。1回目に5のカード,2回目に1のカード,3回目に2のカードを取り出したとき,1回目と2回目に取り出したカードの数字の和は5+1=6,2回目と3回目に取り出した数字の和は1+2=3ですから,作られる整数は63となります。このとき,カードの取り出し方を(5,1,2)と書くことにします。(1)作られた整数が奇数となるようなカードの取り出し方は何通りありますか。(2)作られた整数が3の倍数となるようなカードの取り出し方は何通りありますか。(3)作られた整数が37となるカードの取り出し方は(1,2,5)の1通りで,45となるカードの取り出し方は,(1,3,2)(3,1,4)の2通りです。作られた整数が70以上になり,その整数を作るカードの取り出し方が3通りある整数をすべて求めなさい。(1)取り出した3枚のカードを(A,B,C)とすると,Bが偶数でCが奇数,または,Bが奇数でCが偶数になればOKです。A3×2×3=18通りとなるので,18×2=36通りですね。(2)剰余系を使ってもいいのですが,数字が限られているので逆にややこしくなるかもしれません。よって,ここではそのまま書き出していきます。3の倍数ということは,十の位と一の位を足して3の倍数になればよいということです。(A+B)+(B+C)=A+B×2+Cが3の倍数ということですね。今回はB×2のところを基準として場合分けしてみましょう。4通りとなるので,4×4=8=24通りです。(3)この問題に関しては,80台と90台はまず省くことができます。?例えば80台を考えてみましょう。A+B=8になる(A,B)の組み合わせは(3,5)と(5,3)しかありません。87を作る場合を考えてみると,(3,5)に対してC=2,(5,3)に対してC=4とそれぞれ1通りに決まるので,(A,B)を決める時点で3通り以上ないとお話にならないわけです。よって,80台は全滅。90台も(A,B)の組み合わせは(4,5)と(5,4)しかないのでダメですね。70台だけを考えればよいことになります。(A,B)の組み合わせは(2,5)と(3,4)と(4,3)と(5,2)の4通り。この中から3通りが生き残ればよいわけです。Cに入る数を表にして書き上げると次のようになります。3通りが生き残るのは75と76の場合ですね。やって記事にしてしまうとなんてことなさそうなのですが,まぁ,テストという限られた時間の中ではなかなか正解にはたどり着かないでしょう。(2)は剰余系を使うと混乱しそうだし,書き出すと抜けそうだしで正解率はかなり低いと思われます。今年の受験生にはしんどいテストだったなぁという感想です。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。09:39|入試問題分析(算数)|今回は神戸女学院中等部の算数の分析です。問題の分量は大問7題,小問数は15題。これだけを見るとほぼ例年通りです。内容に目を向けてみると「これは...」という感じです。順番に一言コメントをつけていきますね。【1番】いきなり速さの問題。普段なら2枚目に出てきそうなレベルの問題です。【2番】西大和の4番で取り上げた,カードをきる問題です。知っている子はあっさりとできますが,知らない子はもうここで平常心ではいられないでしょう。【3番】難易度的にはそれほどでもないが,テストという限られた時間内で出されると計算ミスなどで無駄に時間を取られそう。ここまでに心が折れていればなおさら。【4番】どの分数かというのは答えられたとしても,何番目というところで間違えたり,正解するまでには罠がいっぱい。ここまで見ただけで,1枚目全滅なんてことも結構ありそう...【5番】同じ系統の問題は見たことがあるはずだが,結構大変...【6番】これが多分今回の問題では一番きつい。(1)からひらめかなければおしまい...【7番】(1)が合えばよしか?(2)を飛ばして(3)に取り組めれば,(3)が取れるかも。書いてみて分かるように,今回のテストは非常にきつかった。過去最高レベルの難易度ではないでしょうか。例年の算数で上位20%に入れるようなレベルの子なら,算数で驚くほどの差をつけることができるでしょうが,下の方で団子レース状態になっているものと思われます。今回はこの中から5番の問題を取り上げてみます。図のように一辺の長さが1cmの正六角形ABCDEFがあります。この正六角形の辺上を点Pは1秒ごとに1cm→2cm→1cm→2cm→...と左回りに,点Qは1秒ごとに1cm→2cm→3cm→2cm→1cm→2cm→...と右回りに速さを規則的に変えながら,頂点Aから同時に移動を始めます。1秒後には点Pは頂点B,点Qは頂点F上にあり,2秒後には,点P,Qが頂点Dで初めて出会うことになります。(1)点P,Qが2回目に頂点上で出会うのは出発してから何秒後ですか。出会うのはどの頂点上ですか。(2)出発後,点Qが正六角形上を25周する間に,点P,Qは何回頂点上で出会いますか。この手の問題は地道に各頂点に到着する時刻を調べていかなくてはいけません。点Pと点Qが逆回りであることに注意してくださいね。(1)青文字のところが頂点で重なっているところになります。2回目の重なりは3.5秒後に頂点Fで重なっていますね。(2)上の表は12秒までしかかいていません。いうと,12秒でどちらもAに戻ってきて,この後は同じ動きを繰り返すからです。この表からQが4周する間に6回頂点で出会うということが分かります。となり,最後の1周で1回頂点で出会うことになりますから,6×6+1=37回ということになります。頂点上で重なるのが整数秒後ではないところもあるので,全部調べないといけない。辺上の出会いを入れても10秒~11秒のところで1回あるだけなのですが,きつい問題が並んでいる中で,頭が疲れているときに,なかなかしんどい問題だったのではないかと思います。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。10:45|入試問題分析(算数)|今回は六甲中学校(A日程)の算数の分析です。問題の分量は大問9題,小問数は17題。難易度も5番の図形がちょっと六甲志望の子にはしんどいかもというくらいで,その他の問題は非常にバランスがとれた,生徒の実力を上手に測ることができるテストだったように思います。今回はその中から9番の問題を取り上げてみます。太郎君と花子さんがスキー場に行きました。このスキー場のあるコースには速さのちがう2つのリフトAとBがあります。上りはリフトを使って上がり,下りはスキーで下ります。花子さんが上から下まで下るのに太郎君の2倍の時間がかかります。下からリフトを使って上がり,スキーで下ることを合わせて1セットと数えることにします。太郎君がAを使うと,5セットに1時間10分かかります。花子さんがAを使い,太郎君がBを使うと,1セットにかかる時間は同じです。太郎君が3セットにAを使い,6セットにBを使うと,全部で2時間30分かかります。休けいもリフトを待つ時間もないものとして,次の(1)~(3)の問いに答えなさい。(1)下から上まで上がるのに,AとBとではそれぞれ何分かかりますか。(2)花子さんは13セットに4時間10分かかりました。このうちAを使ったのは何セットですか。(3)太郎君が上から下り始めてから3分後に花子さんが下り始めました。太郎君はAだけを使い,花子さんはBだけを使います。太郎君が初めて花子さんを追い越すのは,太郎君が下り始めてから何分後ですか。問題文が長い時こそ,まずは情報整理をしっかりとやりましょう。今回出てくる時間はリフトA,リフトB,太郎下り,花子下りの4種類。これを使って式を立てていきましょう。(1)太郎の下りの時間を1,花子の下りの時間を2とします。リフトB=リフトA+1分この時点で,リフトBが14分というのは分かります。1=4分よって,リフトAは14-4=10分となります。ちなみに,太郎下りは4分,花子下りは8分ですね。(2)花子がスキーで下りている時間は8×13=104分ですので,リフトに乗っている時間は250-104=146分です。リフトA(10分)とリフトB(14分)を13回組み合わせて,146分にするのですから,鶴亀算ですね。全てリフトBならば14×13=182分ですので,リフトAは(182-146)÷(14-10)=9セットで使ったことになります。(3)太郎が下るのは0~4分,14~18分,28~32分,...です。花子が下るのは3~11分,25~33分,...です。追い越すということは両方とも下っている時間でないといけませんから,青字の所で追い越していることになります。太郎君は3分後に下り始めて,1分前に下り終わっていますから,3/4の所で追い抜いたことになりますね。28+(32-28)×3/4=31分後ということになります。長い文章題になればなるほど,情報の整理がとても大切になります。問題文に書いてあることのうち,分かっている情報は何か,分からない情報は何か。問われているものは何か,それを出すために必要な情報は何か。絡まった糸をほどくように,1つ1つ丁寧に整理していきましょう。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。16:49|入試問題分析(算数)|今回は西大和学園中学校の算数の分析です。問題の分量は大問4題,小問数は20題。難易度は去年と大きくは変わらない感じでした。解き方を知っている子は大問4はあっさり全問正解し、3番などに時間をたっぷり回せたと思われます。今回は3番か4番かで迷いましたが、色々考えた末4番を取り上げます。カードをきる問題、ここでマスターしてしまいましょう。大問4番1~36までの数字が書かれた36枚のカードがあります。はじめ、上から1,2,3,4,...,34,35,36となるように(カードに書かれた数字が上から小さい順になるように)36枚のカードを重ねました。これを次の1,2の手順によってまぜていきます。上下18枚ずつの2組に分けます。下の組の上から2枚目、......、上の組の上から18枚目、下の組の上から18枚目、となるようにカードを交互にはさみこんでいきます。この1,2の手順をまとめて「カードをきる」とよぶことにします。以下の文の「元の位置」とは、「そのカードが、はじめにあった順番(上から数えた順番)と同じ順番の位置」のことを表します。何回かカードをきって、36枚のカードをまぜるとき、次の問いに答えなさい。(1)数字の8が書かれたカードが初めて元の位置に戻るのは、初めの状態からカードを何回きったときですか。(2)全てのカードが初めてそれぞれの元の位置に戻るのは、初めの状態からカードを何回きったときですか。(3)はじめの状態から20回カードをきった後、元の位置にあるカードは何枚ですか。この操作によって何が起こるかというと、上半分は奇数番目に、下半分は偶数番目に移動するということです。式にして表すと、上から□番目のカードは、1~18番目にあるときは□×2-1番目に、19~36番目にあるときは(□-18)×2番目に移動します。(22-18)×2=8きった回数は矢印の個数なので、4回(2)どのように移動するか、それぞれのカードについて調べてみましょう。(式は省略します)1は1から動きません。2→3→5→9→17→33→30→24→12→23→10→19→2となりますから、これらのカード(2,3,5,9,10,12,17,23,24,30,33)は12回で戻ります。4→7→13→25→14→27→18→35→34→32→28→20→4で、これらのカード(4,7,13,14,18,20,25,28,32,34,35)も12回で戻ります。6→11→21→6で、これらのカード(6,11,21)は3回で戻ります。8→15→29→22→8で、これらのカード(8,15,22,29)は4回で戻ります。16→31→26→16で、これらのカード(16,26,31)は3回で戻ります。36は36から動きません。よって、12,3,4の最小公倍数である12回です。(3)(2)で調べた回数が20の約数になっていればOKです。1,8,15,29,22,36の6枚が条件を満たします。今回は2等分ですが、例えばこれが3等分であれば3の倍数+1番目,3の倍数+2番目,3の倍数番目という風に考えればよいですね。単純なきり方をする問題は完璧にしておきたいところです。ちなみに、今年の神戸女学院の2番でも、これと全く同じ題材の問題が出題されました。他の受験生が知っていることを知らないと、こういうところでとてつもなく大きな差になってしまうというリスクがありますので、やはり系統だったカリキュラムに乗って学習を進めるということは非常に大切ですね。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。2013年度入試の合格最低点は266.7/400。これは昨年の237.3/400と比較すると20点ぐらい高くなったのですが,例年並みになったと言えるでしょう。算数の受験者平均は55.8/100。昨年の57.6/100と比較すると,若干低くなりました。他の教科の受験者平均は、国語67.5/100,理科64/100,社会71/100266.7-(67.5+64+71)=64.2となり、算数で7割取れば合格の可能性が高くなることが分かります。これは、算数以外の3教科で足を引っ張る教科がない場合ですから、たとえば国語で55しか取れないとなると、266.7-(55+64+71)=76.7となり、75点取っても苦しくなります。東大寺は今どき珍しい,4教科均等配点の学校ですから,教科のバランスは非常に大切ですね。ちなみに3教科で受験する(判定してもらう)場合は266.7×3/4-(67.5+64)=68.525となり、算数70ではギリギリライン。75は欲しいところです。その算数ですが、例年問題用紙2~3枚のところが、今年は4枚と、量が一気に増えた印象。受験者平均が、2013年度は昨年度より若干下がっているのは、この問題量に圧倒されたのでしょうか...大問は5問、小問数は16問で、これは例年並みです。大問1→大問4→大問3→大問2→大問5(むろん、これには異論があると思いますが)の順。(と書いてたら,チェックの途中で、2→3→5だ!!と早速の異論もあり^_^;まぁ,筆者としては大問3の(1)(2)は取れるので、そちらを優先した訳です・・・)70÷100/16から12問以上の正答が要求されますから、今年の問題の配列などを考えると,結構きつい気がします。その中から大問2を見てみましょう。次の問いに答えなさい。3けたの整数Nに対し,その各位の数の和をSと表します。N=784のとき,S=7+8+4=19となります。N-Sの一の位が5になったとすれば,Nとして考えられる整数は全部で何個ありますか。ア×イというかけ算で,アとイにそれぞれ1から31までの整数を入れます。このとき全部で31×31=961個のかけ算ができますが,その答えの一の位の数が等しいかけ算を1つのグループにして,答えの一の位が0であるグループから答えの一の位が9であるグループまで合計10個のグループに分けます。3×12,24×19,12×3はすべて答えの一の位が6ですから,3つのかけ算3×12,24×19,12×3はすべて同じグループに入ります。このとき,グループに入っているかけ算の個数が奇数個になっているのは答えの一の位の数が何のグループですか。その一の位の数をすべて答えなさい。3×12と12×3のようにかけ算の順序が逆になっているものは,2個の異なるかけ算として数えます。3桁の整数Nの100の位の数をA,10の位の数をB,1の位の数をCとしましょう。Nの各位の数の和SはA+B+CN-S=(100×A+10×B+1×C)-(A+B+C)=99×A+9×B=9×(11×A+1×B)この1の位が5なので,11×A+1×Bの1の位が5になります。Aは1以上9以下の整数,Bは0以上9以下の整数ですよ。(9,6)の9通りあり,Cはそれぞれ0から9の10通り入れられるので,10×9=90(個)ですね。961個全てを調べることは不可能なので,工夫しましょう。a×bの答えを調べてみましょう。aとbが異なる数の場合,a×b=b×aなので一の位は等しくなります。異なる2数の積の一の位の数は0~9までどれも偶数個ずつあることになります。aとbが等しい数の場合,つまり平方数の場合は,一の位の数が1つずつしか出てきませんから,1×1から31×31まで,31個の平方数のうち,積の一の位の数が奇数個になるものを探せばよいことになります。1×1から31×31までを調べると,一の位の数は,1が7個,4が6個,5が3個,6が6個,9が6個,0が3個となりますから,一の位が奇数個になっているのは0,1,5のグループということになりますね。(2)など,言われてみればその通りなのですが,なかなか自分で思いつくのは難しく,961個調べることもできませんから,試験中立ち往生しそうな問題ですね。飛ばして,点数にできそうなところに進みたいところです。ここの算数の問題は,年々難しくなっているような・・・(道)Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。17:55|入試問題分析(算数)|ここ5年間の2日目の合格者平均/受験者平均は21年度62.4/49.2,22年度73.3/59.3,23年度63.8/44.9,24年度86.2/71.4,25年度70.3/54.9と学校側から発表されています。今年度は,易しかった昨年度の問題よりは平均点は下がりましたが,それでもやや高めで,受験者層を考えると,問題の難易度もそれほど高くないものが並びました。1日目が例年と比べても厳しい問題でしたから,算数を少し苦手とする受験生は2日目で救われたかもしれません。その中で今回は大問2を取り上げます。この学校を受験する生徒が解く場合の数の問題としては,基本レベルの問題でしょう。大問2番2013は4個の連続する数字0,1,2,3を並べ替えてできる数です。4213も4個の連続する数字1,2,3,4を並べ替えてできる数です。このように,4個の連続する数字を並べ替えてできる4桁の数について考えます。3で割り切れるものは全部で何個ありますか。千の位,百の位,十の位の数を左から順に並べてできる3けたの数を3で割ったときの余りと,一の位の数を3で割ったときの余りが等しいものは全部で何個ありますか。4個の連続する数字の組み合わせは,次の7組です。...☆このうち,3で割り切れるものは,各位の数の和が3の倍数になる,0123(ア),3456(イ),6789(ウ)の3組です。(1)の☆印の7組のそれぞれの数を,3で割ったあまりに書き直してみると,順に0120,1201,2012,0120,1201,2012,0120となります。(そのままの数字で考えてもそれほど手間はかからないので,かまわないのですが...)このうち例えば,0120になる場合について考えてみることにしましょう。0120を前の3桁012と一の位0に分ける(これを012/0と書くことにします)と,0+1+2=3なので,前の3桁は3で割り切れ,後ろの一の位は0なので同じく3で割り切れることが分かります。前の3桁の012の並び方は,3×2×1=6(通り)。前の0と後ろの0の数字が入れかわることを考えると,0120のタイプでは,条件にあてはまる整数が6×2=12(個)できます。010/2の場合は,0+1+0=1なので3で割ると余りは1,一の位は2なので3で割ると2余るので不適。以上より,0120のタイプは12×3=36(個)できるはずですが,☆印先頭の0120の最初の0は千の位になることができないのでこの場合だけ2×2×1=4(個)になります。したがって,0120のタイプでは,4+6+12×2=34(個)できることになります。同様に,1201のパターンは011/2の場合が適するので,それぞれ6個あり,6×2=12(個)2012のパターンは,022/1の場合が適するので,それぞれ6個あり,6×2=12(個)条件にあてはまる4桁の整数は,34+12+12=58(個)になります。書いてみたのですが,正直今年の灘の2日目は,1日目ほどパンチの効いた問題がなく,残念なような,ホッとするような,モヤモヤが残ってしまいました^_^;(道)Tweet←数理教育研究会へのHPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。16:53|入試問題分析(算数)|今回は四天王寺中学校の算数の分析です。問題の分量は大問7題,小問数は18題。今年も広い範囲から標準的なレベルの問題が出されました。何よりも特徴的だったのは7番で影の問題が出題されたことです。四天王寺で出されたことで、ここよりも難易度の下がる中堅校でも影の問題が出題されるという流れが出てくる可能性があります。(来年すぐにというわけではないですし、問題の難易度も下がるでしょうが。今回の四天王寺の入試では一番大きな出来事だったのではないでしょうか。今回は6番の問題を取り上げてみます。下の図のように、スタートが「新大阪」で、ゴールが「東京」であるすごろくがあります。さいころを投げて、出た目の数だけ進みます。ゴールまでの残りのマスの数よりも、さいころのでた目の数の方が大きい場合は、大きい分だけ「東京」から引き返すものとします。次に2の目が出るとゴールします。さいころの目が1,3の順に出るのと、3,1の順に出るのは異なる目の出方とします。1スタートしてからゴールするまでに、さいころを投げる回数がいちばん少なくなるような目の出方は何通りありますか。2「名古屋」と「静岡」の両方に止まり、スタートしてからゴールするまでにさいころを投げる回数が、ちょうど4回であるような目の出方は何通りありますか。3「名古屋」に止まり、スタートしてからゴールするまでにさいころを投げる回数が、ちょうど4回であるような目の出方は何通りありますか。1これはよくある書き出し問題ですね。スタートからゴールまで数えると14マス進まないといけませんので、3回でゴールするのが最少です。3回で14になる組み合わせは(6,6,2)(6,5,3)(6,4,4)(5,5,4)で、出る順番を考えると(6,5,3)は3×2×1=6通り、他は3通りなので、6+3×3=15通りとなります。2駅間距離を調べると、「新大阪」~4~「名古屋」~4~「静岡」~6~「東京」となっています。2回投げる場合1+3,2+2,3+1の3通り・名古屋、静岡間で2回投げる場合1+3,2+2,3+1の3通り・静岡、東京間で2回投げる場合1+5,2+4,3+3,4+2,5+1の5通りよって、3×2+5=11通りですね。3「新大阪」~4~「名古屋」~10~「東京」となっていますので、名古屋から東京までを1回で行くのは不可能です。目の出方は当然1通りです。他は3通りなので、6×3+3×3=27通りですが、これで終わってはいけません。問題文の水色の部分をここまで全く使っていませんよね。これをここで初めて使います。6,6,2と出た場合に3回で10マス進むことになるわけです。これをすべて書きだすと、(6,6,2)(6,5,1)(5,6,1)の3通りが考えられますので、9+27+3=39通りが答えとなります。四天王寺らしい、場合の数の問題でしたね。普段から、あっさりと計算で出せる方法に目を奪われることなく、泥臭く書き出す訓練をしっかりと積んでおきましょう。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。18:16|入試問題分析(算数)|※一度公開した記事を誤って削除してしまったので,再度書き直しました。T)今回は洛星中学校(前期)の算数の分析です。問題の分量は大問6題,小問数は19題。例年と分量はそれほど変わりませんが,問題の難易度としては非常にいいものが並びました。洛星を受験する生徒たちの力よりもちょっと難しいくらいの問題で,受験生の力の差をはかるのに非常にバランスのいい問題の組み合わせだったと思われます。今回はこの中から6番の問題を取り上げてみましょう。大問6番3つの正方形の紙を重ねたところ,図1のようになりました。図1の角はすべて直角です。(1)正方形の紙が3枚とも重なっている部分の面積を求めなさい。(2)正方形の紙が2枚以上重なっている部分の面積を求めなさい。立方体を使って図2のように地面に穴を空けます。穴をあけるときは立方体を図2のように地表まで地面にうめ,取り出すものとします。3種類の立方体を1つずつ順番に使って穴をあけたところ,できた穴を上から見ると図1のようになりました。(3)この穴の容積を求めなさい。今回取り上げるこの問題は,解説を見てしまうとそれほど難しくないなと思われるかもしれません。いざ自分で解くとなると,図がゴチャゴチャになってしまい,混乱して解けなかったという子がかなり発生する問題だと思われます。下の図を,自分が解いたときの図と見比べてみてくださいね。3枚の正方形の線を書きこみましょう。今回聞かれているのは(1)(2)とも重なっている部分の面積なので,図の中に最低限の必要な長さと面積を書きこみましょう。(面積は下の図では□で囲んでいます。)ここまでくれば答えを出すだけ。(1)3枚重なっている所は28cm^2です。(2)2枚,あるいは3枚重なっている所は,14+12+28+44=98cm^2です。(3)上の図の各部分がそれぞれどれくらいの深さになっているかが分かればよいですね。一辺13cmの正方形の所はそのまま深さは13cmです。一辺12cmの正方形の所のうち,28cm^2の所と12cm^2の所は先ほど13cmの深さということになっていますので,それ以外のところが深さ12cmとなります。一辺10cmの正方形のところのうち,残っているのは14cm^2のところだけ。ここの深さが10cmとなります。よって,求める容積は,13×13×13+(44+60)×12+14×10=3585cm^2となります。図1に書きこんだ内容が,ずいぶんシンプルにまとまっていると思いませんか?問題を解くときに,何も思いつかなければわかる値をドンドン書きこんでいくということは必要なのですが,あまり書きこみ過ぎると,逆にごちゃごちゃになってしまって,ピントがぼやけてしまうということも起こり得ます。問題を解くにあたって,どのような方針で解くのかをまずは決めて,情報を絞って書きこむようにすると今まで気づきにくかったようなことに気づくかもしれませんね。HPはこちら※お電話・お問い合わせフォームでのご連絡、お待ちしております。分析をしてみましょう。問題数は大問8問と小問30問。例年通りの1問5点の均等配点です。今年は計算問題+独立小問(例年の1番2番)にあたる問題数8問と少なく、さらに計算だけで見れば5問と70分テストになった最初の年(H18年)から見ても最少となりました。速さの問題(7番)も例年通り非常にきつく、さらには大問5番,6番,8番と全部正解するのが難しい問題が並び、かなり精神的にも削られる入試になったのではないかと思われます。結局のところは取れるところをしっかり取れという、極めて当然のところに至るわけなのですが、70分という長丁場ですから、パニックになった気持ちや途切れた集中力をいかに取り戻すかという精神力がより問われるのが洛南算数の大きな特徴です。今回は6番の問題を取り上げてみましょう。正方形のマス目すべてに黒石が置いてあります。ここから,例のように縦,横,斜めに2個を同時に選んで白石にかえ,2個にはさまれた石も白色にかえる操作を1回行います。このとき,次のア~エに当てはまる数を答えなさい。(1)5×5のマス目において,1白石が3個になる選び方は全部で[ア]通りあります。2白石が4個になる選び方は全部で[イ]通りあります。(2)10×10のマス目において,白石が[ウ]個となる選び方は全部で112通りあります。,[ウ]は3以上の整数とします。(3)[エ]×[エ]のマス目において,白石が3個となる選び方は全部で224通りあります。(1)1上の図は、それぞれの矢印上で何通りの選び方ができるかを表しています。縦と横が3×5=15通りずつ,斜めが1+2+3+2+1=3×3=9通りずつなので,合計で(3×5+3×3)×2=3×8×2=48通りとなります。2同様に考えると、縦と横が2×5=10通りずつ,斜めが1+2+1=2×2=4通りずつなので,合計で(2×5+2×2)×2=2×7×2=28通りとなります。ここまでで、規則性に気づいてしまいたいところです。