わかった!統計学に入門した方と共に学ぶ、統計学入門サイトです。データをひとことで表すシェアする0013「身長が毎年○○%ずつ伸びている」、「貯金が毎年○○%ずつ伸びている」といった年の平均伸び率を計算するときには、各データを足してデータ数で割るという算術平均は用いません。変化率などのデータには、幾何平均を用います。具体的にどんなときに、どんなふうに計算すればいいのか、疑問があるかと思います。この記事では、幾何平均の意味、計算式について、そして実際に例をあげて計算方法を解説します。幾何平均とは、各データの値を全てかけ合わせて、データ数の累乗根をとって得られたものです。上記したように、変化率で表されるデータの場合に用いる代表値は、幾何平均が望ましいです(幾何平均は、相乗平均ともいいます)。変化率というのは、掛け算で変化していくものです。貯金が年率5%で値が大きくなったら、1.05を掛けた値になりますよね。翌年に年率7%で値が大きくなったら、最初の貯金額に1.05を掛けたものに、さらに1.07を掛けた金額になります。このときの変化率の年平均を求めるとなると、幾何平均をつかうのが正しいです。mean)は、データ数がn個あったら、n個のデータを掛け合わせて、そのn乗根をとることで得られる値です。x_n}$$aとbの2個のデータだけで考えてみましょう。aとbを掛け合わせた値の二乗根が幾何平均です。b}$$aとbとcの3個のデータで考えてみると、aとbとcを掛け合わせた値の三乗根が幾何平均です。c}$$それでは、例をあげて幾何平均をつかった計算をしていきます。使い方ここに起業して3年経過した伸び盛りのベンチャー企業があります。開業から3年までの売上の変化を見てみましょう。前年から160%の伸び2年目、3年目と売り上げを順調に伸ばしているようですね。2年目、3年目の平均伸び率はいくつになるでしょうか?算術平均で計算してみる(間違い)伸び率は、250%(2.5)と、160%(1.60)です。単純に各データの数値を足してデータ数で割る方法である算術平均は、$$(2.5+1.6)\div2=2.05$$となります。年間の平均伸び率は205%(2.05)なのでしょうか。初年の売上高である1000万円に、205%(2.05)を2回掛け合わせると3年目売上高の4000万円の数値と一致するはずです・・・$$1000万円×2.05×2.05\\=4202.5万円$$計算された値は4202.5万円で、実際の売上高は4000万円。異なる値になってしまいました。単純に各データの数値を足してデータ数で割る方法(算術平均)では、正しい平均伸び率が計算されないようですね。伸び率の計算は幾何平均を使う平均伸び率を正しく表すのは、幾何平均です。計算式は下記のようになります。1.6}=\sqrt{4}=2$$この2年間の年間平均伸び率は2倍、つまり200%になりました。これが伸び率の年平均です。1年に200%伸びて、さらに次の1年に200%伸びたことになりますから、初年度の売り上げ1000万円に、2.00(200%)を2回かけると、3年目の売上である4000万円の値になるはずです。$$1000万円×2×2=4000万円$$実際の売上と同じ4000万円になりました。長い期間での幾何平均とみてみるとどうなるでしょう。5年間の平均伸び率を幾何平均で計算する別の会社の売上変化を見てみましょう。起業して6年、売り上げを伸ばし続けている会社です。125%初年度からの5年間の伸び率を計算すると、各年度のデータを掛け合わせて、データ数の5乗根でルートをとると、$$\sqrt[5]{1.25\times1.6\times2.0\times1.5\times1.25}\\=1.49628...$$平均すると1年間に売上が1.49628...倍になっているわけです。年平均の伸び率1.49628を、初年の売上2000万円に5回かけると、6年目の売上1億5000万円になるはずです。$$2000万×1.49628^5\\=1億5000万円$$一致しました。ところで、最初の売上と6年目の売上だけを見れば、7.5倍に増えています。5年間で2000万円の売上が1億5000万円になっているのですから、売上は5年間で7.5倍になっていますね。$$15000万円\div2000万円=7.5$$この7.5という数字は、各年度の伸び率を掛け合わせた数字と一緒になっています。$$1.25×1.6×2.0×1.5×1.25\\=7.5$$5年の間、各年の伸び率を掛け合わせていって7.5倍になったのですから、7.5の五乗根をとれば、1年平均に戻してやることができます。7.5の五乗根が、年平均伸び率になるわけです。$$\sqrt[5]{7.5}=1.49628$$年平均が1.49628の伸び率です。初年は2000万円の売上で、5年後の売上は1.49628を5回掛け算した7.5倍の売上高=1億5000万円です。まとめこのように、5年間の伸び率の年平均を計算する場合、各年の伸び率をかけ、$$1.25×1.6×2.0×1.5×1.25$$その累乗根をとれば、伸び率の年平均となります。$$\sqrt[5]{1.25\times1.6\times2.0\times1.5\times1.25}\\=1.49628...$$データがa、b、c、d、eの5個あったら、5個のデータを掛け合わせて、その五乗根をとるということ。e}$$データ数がn個あったら、n個のデータを掛け合わせて、そのn乗根をとります。x_n}$$伸び率など比率(%)で表わすデータは、平均を出す場合には幾何平均を使用します。エクセルでの幾何平均の計算方法は、下記の記事を参考にしてください。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。viewsヒストグラムの見方。社会人になってから統計学と出会いました。統計学を知らないところから学びをスタートしたので、当初は統計学の理論を本で読んでも、なんのこっちゃわかりませんでした。学び続けるなかで、自分が「わかった!」と理解できたことを書き残し、サイトにまとめています。お仕事でデータを扱う方であれば(多くの方がそうだと思いますが)、統計学を学ぶことは仕事に活きてくるはずです。山を登るように一緒に学んでいきましょう。