ロト6(ロトシックス)当せん確率の計算2017/03/06川村先生&野﨑先生のロトナン確率講座いきなりですが問題です。【問題1】1~43の数字から6個の数字を選ぶロト6。組み合わせは全部で何通りあるでしょうか?はじめに皆さん、はじめまして。大学で確率論を教えています川村と申します。今回より確率の”初学者”向けにコラムを執筆していきたいと思います。初学者と書きましたが、皆さんも中学校の数学から少しずつ学んでいるはずです...。覚えてないよ!と言う方に、本コラムでは、ロトナンバーズに関係がある部分を解説していきたいと思います。ロトナン確率講座は、私と野﨑の二人で進めていきます。確率の基礎とロトの確率講座を川村が、期待値の基礎とナンバーズの確率講座を野﨑が担当します。答えは、6,096,454通りです。ロト6の当せん確率を求めるのには、難しい数学は必要ありません。実は、確率の基本は「数え上げ」です。すべての場合を網羅的に調べ、当せんが出る場合の数を数えればよいのです。前出のようにロト6のすべての組み合わせは6,096,454通りあり、非常に数が大きく、数え上げるのが大変です。そこで、規則性を知って、効率的に数えようと言うのが確率論です。実際に数え上げてみましょう。ロト6の場合は1~43と数が多いので、わかりやすく1~5までに減らしましょう。この5個の数字から3個の数字を取り出すことを考えます。【問題2】(3個を選ぶ:順番は気にしない場合)1~5の数字から3個の数字を選ぶ組み合わせは全部で何通りあるでしょうか?3個ずつの班を作っていきますよ。以上【問題2】の答えは10通りになります。「1、3、2」などは「1、2、3」と同じ班を表しますから、2回数えることはしません。重複しないように数え上げるために、小さい順(昇順)に数字は並べておくといいでしょう。この数え上げは、下の図のような樹形図を書くとわかりやすいです。それでは、次に並べる順番を気にして何通りあるかを考えてみます。ここでは次の問題を考えます。【問題3】(3桁の整数を作る:並べる順番を気にする場合)1〜5の数字が書かれたカードを3個並べ、3桁の整数を作ると何通りの整数が作れるでしょうか?ただし、同じ数字は1回しか使えないとします。この場合、「123」と「132」は別の整数ですから、さきほどのように「1、3、2」と「1、2、3」を同じとすることはできません。大変ですが、樹形図にしてみましょう。樹形図にした場合以下のようになります。■樹形図ふー大変ですね。実は、樹形図を使わなくても簡単に解くことができます。百の位にくる数は1〜5の5通りあります。次の十の位にくる数字は、百の位で使った数字を除く4通りあります。同様に、一の位は3通りあります。したがって、全部で5×4×3=60通りあります。樹形図で数えた場合と同じですね。規則性から数式にする(順番を気にする場合)さきほどの【問題3】「3桁の整数を作る」より、「5個の数字を3個並べる」場合は、5×4×3となるように「5から始まり、1つずつ小さい数にして、3回掛け算すればよい」と言う規則があることが分かります。(n-2),...と1つずつ小さい数にして、r個掛け算した個数通りある。言う規則が成り立ちます。×(5-1)×(5-3+1)=5×4×3=60となります。最初の【問題2】「5個の数字から3個を選ぶ」と【問題3】「3桁の整数を作る」の違いは何でしょうか?それは、並べる順番を気にするか?気にしないか?です。順番を気にせず班を決めるような場合は10通り、並べる順番を気にする場合は60通りとなりました。(n-r+1)となります。順番を気にしない場合はどうなのか?というと、もちろん便利な数式がちゃんとあります。その前に、順番を気にしない場合と気にする場合の関係を見てみましょう。順番を気にする【問題3】「3桁の整数を作る」の一般形を考えてみましょう。【問題4】(一般形:並べる順番を気にする場合)1〜nまでの数字が書かれた玉が1個ずつ入っている袋から、r個の玉を取り出し、順番に並べる並べ方は何通りあるでしょうか?ただし、同じ数字は1個しかありません。この【問題4】の実際の手順を考えると(1)1~nまでの数字が書かれた玉が入った袋からr個の玉を選ぶ。(2)選んだr個の球を横一列に並べる。これは(1)→(2)の順に行えば良いですね。仮に(1)の場合の数をC通りとします。これが知りたい数です。(2)は順番を気にする並べ方ですから【規則1】を使います。当てはめてみると、「r個の数字からr個取り出して順番に並べる」こと、つまりn=rの場合となります。(r-1)(r-2)...×2×1と表現できます。(*)通りとわかります。(n-r+1)でした。これは式(*)と同じ数になるはずです。(r-1)(r-2)...×2×1という関係が成り立ちます。(コンビネーション/組み合わせ)のCを用いて、nCrで表されます。1番最初に樹形図を描いた【問題2】「5個の数字から3個の数字を取り出す全組み合わせ」は、5C3=5×4×3/3×2×1=10通りと計算できます。樹形図で数え上げたときと同じになりました。数学の記号を見ると難しく感じる人がいると思いますが、本当は組み合せの計算が簡単になっています。今までは、数え上げていましたが、これからは取り敢えず、「n個の数字からr個を選ぶ組み合せ」を見たら、計算せず、nCr通りと書いておけばよいのです。この値がいくつかを知りたくなったら、本コラムの計算式(☆)に当てはめてみればよいのです。簡単でしょう?慣れるために、例題をやってみましょう。組み合わせに何通りあるかが分かったら、確率を計算することは簡単です。全体の場合の数で求められます。10枚のクジの内1枚にアタリが含まれている場合、アタリを引く確率は、1/10であることはすぐに分かりますね?前述の組み合わせの計算で学んだことは、この式の「全体の場合の数」を求めてきたことになります。ロト6の確率を抽せん例で考えてみましょう。1〜43の数から6個の数字が選ばれる組み合わせは、【問題1】より全部で6,096,454通りありました。これが分母の「全体の場合の数」になります。2等以降もこの数は変わりません。「当せんの個数」は1等、2等などで変わってきます。