数学の偏差値を上げて合格を目指す高校数学を中心に数検1級などの数学を解説。今回はイェンゼンの不等式を紹介していきます。難しいので難関大学を受験する人だけでいいでしょう。(1)は意外とよく問われます。中堅大学でも(1)まではほしいところです。問題2イェンゼンの不等式とは下の例題の(2)の式のことです。問題1と問題2では証明方法が異なるだけで同じことです。最初のf”(x)の不等号の向きによってイェンゼンの不等式の不等号の向きも変わりますがだからといって証明方法は変わりません。(つまり例題2(2)は例題1の解法でも解けるし例題1(2)は例題2の解法でも解けます)問題1関数f(x)はf”(x)>0を満たす。(1)任意の実数a,bと0<t<1に対し次が成り立つことを示せ。このときすべての実数xiに対して次が成り立つことを示せ。【(右辺)-(左辺)をaの関数とみる解法】g(a)=(右辺)-(左辺)=tf(a)+(1-t)f(b)-f(ta+(1-t)b)とおく。\end{array}\)ゆえにg(a)≧0等号成立はa=bのときです。【(右辺)-(左辺)をtの関数とみる解法】a=bのとき明らかに等号が成立。(0<t<1)を示す。g(1)=f(a)-f(a)=0g'(0)≦0と仮定すると2よりg(t)は単調減少なのでg(0)=0ならばg(1)<0。よってg'(0)≧0。g'(1)≧0と仮定すると2よりg(t)は単調増加であるが同様に矛盾。2よりg'(t)の増減表は以下の通り。x>γでg'(x)<0よってg(t)の増減表は下の通りである。n=1のときa1=1よりf(x1)≦f(x1)は明らか。n=sで成立すると仮定する。\)=(右辺)よってn=s+1でも成立するから任意のnに対して成立する。問題2関数f(x)はf”(x)<0を満たす。\)に対し、次が成り立つことを示せ。このときすべての実数xiに対して次が成り立つことを示せ。\)(3)次の相加相乗平均の関係が成り立つことを示せ。\)答え(1)g(x)=(右辺)-(左辺)=f'(α)(x-α)+f(α)-f(x)とおく。g'(x)=f'(α)-f'(x)g”(x)=-f”(x)>0よりg'(x)は単調増加。g'(α)=0よりx=αの前後でg'(x)の符号は負から正に変わる。よってg(x)の増減表は下の通り。\)g(α)=0よりg(x)≧0等号成立はx=αのとき。\)=(示したい式の左辺)となり題意は成立。x_n\)となります。\)のとき数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。おすすめ参考書はコチラプロフィール上野竜生です。文系科目が平均以下なのに現役で京都大学に合格。数学を中心としたブログを書いています。今週の問題ランキングに参加しています。数学の偏差値を上げて合格を目指す。