数学の偏差値を上げて合格を目指す高校数学を中心に数検1級などの数学を解説。相加相乗平均の関係はよく使いますがいろいろな落とし穴があります。落とし穴にはまらないように気を付けましょう。クイズ相加相乗平均の関係とは相加相乗平均の関係とは次の性質です。出てくる文字はすべて正の数とします。\)いずれも等号成立はすべての文字が等しいとき。以下同様の関係式が成り立ちます。証明はいろいろありますがあまり重要ではないということにしてこれを正しく使うことを考えていきましょう。(本当は証明も面白いですが出題頻度的に後回しにします)証明も書きました。相加相乗平均の関係の証明はこちらのページからご覧いただけます。\)の最小値を求めよ。\)答えは合っていますがこれだけでは不十分です。等号成立条件を必ずチェックしましょう。相加相乗平均の場合,等号成立が成り立たない場合もよく出ます。\)のときなので問題ありません。(求めたい式)≥(定数c)を示す。実際に(求めたい式)=(定数c)が成立するxが存在することを示す。2段階行う必要があります。(ii)がないと最小とはいえません。a>0,b>0\)とする。\)の最小値を求めよ。\)これは不十分と言うより不正解です。最小値は\(4\sqrt{6}\)ではありません。等号成立条件を確認しましょう。a=\frac{2}{b}\),つまり\(ab=2\)のとき。2つめの成立条件は\(ab=3\)のとき。よって\(ab=2=3\)のとき等号は成立・・・なんですがそんなはずはありませんので等号不成立です。最小値の(ii)の条件を満たさないのでこの解答は不正解となります。\)等号成立は\(ab=\sqrt{6}\)のとき。\)等号成立条件を確認すれば誤答のようなミスは防げます。x+\frac{1}{x}\)の最大値を求めよ。(-x)>0となることを利用します。応用パターンが非常に多いです。最後に1パターンだけ示しますが応用まとめはまた別の記事にします。x^2+\frac{10}{x}\)の最小値を求めよ。これも誤答例を挙げておきます。\)右辺は単調増加なのでx≧1の範囲ではx=1で最小。\)これも等号成立条件がうまくいっていません。正しくはどうするのでしょうか・・・?少し難しいですがこうすれば相加相乗平均で解けます。\(x=\sqrt[3]{5}\)のとき。これは1以上なので最小値は\(3\sqrt[3]{25}\)いかがでしたか。初見ではほぼ解けないといってもいいです。逆に言えばこれが解ければかなり差をつけることができます。相加相乗平均の応用をもっと見たい方は相加相乗平均の応用問題のページをご覧ください。3つの整数9,27,81の相乗平均は整数である。>>Q3はt=x2+3とおくとt+(4/t)となり,xが実数全体を動くときt>0なので相加相乗平均の関係を使えばxが実数全体を動くときのf(x)の最小値は4であるとわかる。!%%description%%%%description%%Loading...数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。おすすめ参考書はコチラプロフィール上野竜生です。文系科目が平均以下なのに現役で京都大学に合格。数学を中心としたブログを書いています。今週の問題ランキングに参加しています。数学の偏差値を上げて合格を目指す。