大まかな分担について2人の講演者、しかも、6時間の長時間講演ということで、最初に役割分担を決める事にしました。この分担は、数学カフェの中の人・せきゅーんさん・私の三人でわいわいtwitterのDMでやりとりしながら決めました。タイムテーブルを各30分ずつの8ブロックに分けました。4ブロックずつをそれぞれが担当し、tsujimotter・せきゅーんさんの順に交代で講演することにしました。tsujimotterは、素数に対して一般に成り立つ法則が好きなので、理論的な話を中心にテーマを構成しました。説明には各1ブロック(30分)では足りないと思い、4ブロックを2ブロックずつに分け、2つのテーマを扱うことにしました。さんは、素数や数に関する小ネタをたくさんお持ちで、それらをたくさんお見せしたいということで、4ブロックすべて異なるテーマを扱っていただきました。「素数無限性の別証明マニア」ぶりを見せたい、というご本人の希望もあったと記憶しています。最終的には、次のようなプログラムになりました。素数回を企画するにあたっては、「素数のどこが面白いの、ゼータ関数?」みたいに思われたくない、という気持ちがありました。いうことを言う人たちに「素数の魅力はそれだけじゃないんだ」ということを見せつけたいと思ったのです。どの講演も素数に関するテーマを扱っていますが、一般の人が「素数」と考えたときにとても思いつかないような、幅広いテーマの講演になったと思います。これも、素数を愛する二人が集まったからこそだと思っています。講演の合間には、クイズ大会「もっと素数とお友達になってクイズ!」があったり、素数大富豪の紹介をしていただいたりしました。素数漬け、素数盛りだくさんの企画になりました。これらの企画についても触れたいのですが、記事のボリュームがあまりに多くなってしまいましたので、申し訳ありませんが省略させていただきます。さんの講演の内容に少しだけ触れたいと思います。グリーン・タオの定理」では「素数の集合の中に任意の長さの等差数列が存在する」という驚きの定理と、その証明の概略を紹介していただきました。このグリーン・タオの定理についての素晴らしい講演をされていますね。両方に参加された方はご存知だと思いますが、数学カフェでの講演も素晴らしかったのですが、MathPowerの講演では輪をかけてパワーアップされていましたね。さんが、グリーン・タオの定理の証明の完全な理解を目指して、猛烈に勉強をされていたことをご存知の方は多いかと思いますが、本当に素晴らしいことだと思います。私の中では「数学カフェは、チャレンジの場である」と位置付けています。幸運にも講演の機会を与えていただいた際には、新しいテーマに取り組みたいと考えていました。これまでも「折り紙」や「数学史」の回で発表させていただきましたが、講演当日までの期間では新しいテーマを勉強して、勉強の成果を講演に取り入れることにしています。これまで成功してきたテーマをただ漫然と発表するよりも、発表の準備の期間においても成長できるし、また自分に取っても一番ホットなテーマであるので、情熱的に講演できると考えるからです。講演が決まってからは、1・2ヶ月を勉強の時間に当てました。期間中には「整数論やばい会」と称して少人数の勉強合宿を行ったこともありました。した勉強会が私の日曜数学の原動力になっているなと、今回振り返ってみて気付きました。テーマ選定tsujimotterは以下の2つのテーマを扱うことにしました。思いついたテーマでした。「素数」と「ゼータ関数」の深い関係についてのお話です。私は、プログラマのための数学勉強会というイベント等で「素数」と「ゼータ関数」の話をしてきていて、好評のテーマでした。このテーマをきっかけにニコニコ学会にお誘いいただいたり、日曜数学会の開催につながったりしたため、tsujimotterにとっても思い入れの強いテーマです。数学カフェで発表するにあたっては、これまでの話に加えて、リーマンの素数公式の「証明のアウトライン」の解説にチャレンジすることにしました。ついては、せきゅーんさんからの提案だったと記憶しています。実は、ちょうど私もこの周辺のテーマでの発表をしたいと思っていたところでした。ゼータ関数の話はある意味「定番化」していると感じていて、聴衆から「またゼータ関数か」と思われたくないという気持ちもあり、新たな切り口の数学テーマを探していました。その頃、私は「類体論」という理論に興味を持ち始めました。この分野に関心を持ったきっかけはいろいろありますが*2、最も影響が大きかったのは、加藤和也先生の「数論への招待」という本です。この本を読んで「数学にはなんて面白い世界があるのだろう」と感動したのです。理解して、この感動を自分の言葉で伝えたいと思うようになりました。このテーマでの発表は、まさに素数に関する話でもあるし、素数の魅力の多面性を示すよいテーマだと感じました。一方で、類体論に関して一般向けの講演を成功させた実例を私は見たことがありません。そのため、見本にするものがないのです。ゼータ関数とリーマンの素数公式に関しては、マーカス・デュ・ソートイ教授により「オックスフォード白熱教室(第1回)」で素晴らしい講義がなされています。私の講演もこの講義の影響を大きく受けています。一方で、類体論についての一般向けといえる講演は見たことがありません。類体論は、ゼータ関数と比較すると前提とする知識が極めて多いです。ゼータ関数については、複素関数論の多少の知識があればついていけますが、類体論は代数分野の知識が一通り必要です(群・環・体・イデアル・ガロア理論など)。厳密にしっかり説明しようとすると、一般向けの講演のレベルを超えた相当に難しい内容になってしまう。いって、現象だけ伝えるのは十分ではない。どこまでを説明してどこを捨てるべきか。この辺りを綿密に練らないと、たとえ1時間半あったとしても伝わらないと考えました。したがって、類体論に関するテーマで一般向けの講演を成功させるというチャレンジには一定の価値があるように思いました。思ってこのテーマに臨むことにしました。こんな感じで計画した講演ですが、実際はどのようになったのでしょうか。以下では、個々の講演の中身について振り返ってみたいと思います。厳密さを度外視して「リーマンの素数公式の意味するところ」を説明しました。ゼータ関数のゼロ点をすべて使うと、素数の階段が完全に再現されてしまう、というそんな魅力的な公式です。効果的に説明するために、私が以前から公開していた「可視化アプリ」を使いました。可視化したリーマンの素数公式を実際に導出するというお話をしました。公式そのものを知っていても、その公式がどのように導出されるかを知っている人はそう多くありません。「なぜゼータ関数のゼロ点が素数階段の公式に使えるのか」については気になるポイントかと思います。話はかなり面白いんじゃないかと思っています。後半のスライド80番目で、リーマンの素数公式の正体が明らかになります。このパートを見ると、リーマンの素数公式における4項がそれぞれ「極」「ゼータ関数の係数」「非自明な零点」「自明な零点」というゼータ関数の主要なパートに対応していることがわかります。言い換えると、ゼータ関数の「目に見える主要な特徴」と「素数公式の主要なパートに寄与する特徴」が一致するというのです。ゼータ関数の中に住んでいる素数の精が「見つけてくれ」と語りかけているかのようです。これって、すごく面白いと思いませんか!?tsujimotterはこれまで「触れるゼータ関数」というものを作ってきましたが、このようにゼータ関数を作って眺めることには、実は数学的な意味があったというのです。このことに気づいて、私は深い感動を覚えました。「ゼータ関数によく似た山*4」を見かけました。ゼータ関数の山がもし現実にあったら、その景色を眺めるだけで、素数公式のことがよくわかるかもしれない。そんな世界があったら素敵だな。以下のような句を詠んだりしました。今回の講演をまさに凝縮した句になっていると思っていて、個人的にはお気に入りの句です。講演のまとめとして、この句を最後に紹介したのですが、真意が伝わらなかったのか、あんまり反応は良くなかったと記憶しています。発表については、伝えたかったポイントを概ね伝えることができたのが良かった点です。一方で、時間を大きく超過してしまったという大きな反省点がありました。時間が超過した一つの要因の一つは、途中で質問を受けて、私がそれに答えられなかったことでした。発散」と「素数の無限性」に関する私の説明が、適切でなかったために突っ込まれたのですが、それに対してうまく回答することができなかったのです。動揺してしまい、せきゅーんさんに助けていただいたのですが、それ以降発表のテンポが悪くなってしまいました。発表時間ギリギリのペースでスライドを準備していましたので、途中で質問を受けることは想定外でした。テンポよく答えるために、理解の怪しい部分を解決してから講演に臨むべきでした。このようなタイトなスケジュールでは、講演者が聴衆のコントロールをできなければなりません。質問は最後に回すなどの工夫があればよかったと反省しました。こちらの講演は、事情があってスライドをアップロードできないため、あらすじを少しだけ紹介します。タイトルは「素数は孤独じゃない」という少し刺激的なタイトルにしました。作っていて、実は孤独な存在ではないのだという内容です。形で2つの平方数の和によって表すことができます。許して「因数分解」するとのように分解されることがわかります。分解されてしまう現象」と解釈できます。分解する」といった法則が存在し、これらを「素数の分解法則」といいます。部分群の元に対応する素数は、その部分群に対応する世界において分解する」のように言い換えることもできます。Group)」だったというわけです。分解法則を、目で見て理解してもらうために、これまた以前から作っていた自作Webアプリを用いました。tsujimotter.infoこのWebアプリは、二年以上前から公開していたものなのですが、これまではいまいち活用しきれていませんでした。数学カフェ素数回で、ようやく有効活用できたと思います。内容をうけ、「素数の分解法則」の背後にある「類体論」について説明する予定でした。ついて考えることができます。この場合は、素数を「素イデアル」に置き換えた「素イデアルの分解法則」を考えるのです。部分群に対して、素イデアルの分解法則が定まるということを教えてくれるのが「(円分体の)類体論」という理論です。素イデアルの分解法則を理解するためには、「ガロア理論」の深い考察が必要です。分解法則を知ることができます。類体論の前提となる「群・環・体」「ガロア理論」の基礎知識をおさらいしつつ、素イデアル分解法則の要であるフロベニウス自己同型の紹介と、フロベニウスが統制する素イデアル分解法則について解説します。この「類体論」について解説するということが、今回私が自分自身に課した最大のチャレンジでした。準備期間の話をすると、数学カフェの企画が決まった段階では、私はこのテーマについて十分理解していたとはいえず、四苦八苦しながら勉強をしていました。講演の1ヶ月前頃はかなり切羽詰まっていたのを覚えています。なんとなく理解できた気はするものの、どのように発表の流れをまとめたらよいかわからず、悩んでいたのです。状況を打破するためにあれこれ考えて、最終的にはとりあえずブログ記事としてまとめてみることにしました*5。一度文字に起こしてみれば、考えが進むのではないかと思ったのです。これが功を奏して、頭の中が整理され、発表の流れが見えてきた気がします。勉強の過程で「フロベニウス自己同型」という対象に出会い、その面白さに魅了されました。フロベニウス一つで素イデアルの分解法則が完全に分かってしまうという「すごいやつ」です。フロベニウスの魅力について話したいと思っていました。発表することは叶いませんでした。時間が足りなかったのです。時間が終わってしまいました。打ち切りとなってしまったのです。発表を5分程度で切り上げてくれました。あろうことか、せきゅーんさんの貴重な講演時間を奪ってしまったのです。さんも、本当はじっくり話したかったと思うのですが・・・。非常に申し訳ないことをしたと思いました。私の発表の最大の敗因は、詰め込みすぎたことでしょう。代数に関する基礎知識の説明は、本当にたくさんの前提知識が必要で、非常に時間が掛かるということがよくわかりました。内容を厳選する必要があったのですが、今回はそれができなかったのです。練習の時間をしっかりとらなかったので、時間配分がよく分かっていなかったという点も良くなかったです。スライドができたのは本当に直前だったのですが、前もって準備をしないといけないと反省しました。話し足りないことがありました。それは、素イデアルの分解法則が「保型形式」と関係するという話です*6。本当に詰め込み過ぎでしたね。大会が行われると聞いて、立候補しました。懇親会中にパソコンをカタカタさせて、5分程度の発表スライドをまとました。発表の内容は上のスライドの通りです。懇親会では、講演者が誰だかわかるように「たすき」が渡されました。数学カフェの中の人から「何か好きなことを書いてください」と言われ、ペンを渡された私は半ば自虐的に「話したかったフロベニウス」と書きました。こんな風に書いてしまうくらいには落ち込んでいました。二次会でも「話したかったフロベニウス」のタスキをつけていましたが、類体論に行く前の部分しか話せなかったのが悔しいな。ほんとはもっと面白いんだ。2016年5月8日そのたすきは、数学カフェが終わってからずっと冷蔵庫に貼りつけられることになりました。中国の故事の「臥薪嘗胆」みたいなことしてますね。写真:話したかったフロベニウスこれにて私の数学カフェ素数回は幕を閉じました。素数回が終わってからというものの、正直なところ気落ちしていました。講演スライドをこれまで公開しなかったのは、それが原因でした。さんと「最高の会にするぞ」と誓い合って挑んだ講演だったのに・・・と。数学カフェ「素数!!」が終わって一ヶ月くらいで、思わぬ機会がやってきます。数学カフェ「復習回」が開催されることになったのです。数学カフェ「復習回」とは、その名の通り復習を行う会です。数学カフェは月1回程度開催されていますが、参加者全員が毎回出席できるとは限らないので、聞くことができなかった話もあります。聴衆が一度聞いてその場で理解できるとは限りません。一度あの話を聞きたい、というような要望がさまざまな方面であったそうなのです。講演者を募集していると聞いて、これはリベンジのチャンスと思いました。講演者に名乗りを上げた私は、リベンジのための戦略を練ることにしました。時間でしたので、その半分です。素数回のときは時間を明らかにオーバーしていました。素数回の二の舞になってはいけません。そのためには、伝えたいことを絞るのが肝心です。発表で一番伝えたかったのは、この部分でした。素イデアルの分解法則を理解するためには、「ガロア理論」の深い考察が必要です。分解法則を知ることができます。類体論において「フロベニウス自己同型」という非常に重要な概念があって、フロベニウスが分解法則を統制している、という話をしたかったのです。そこで「フロベニウスの魅力を伝える」ただそれだけのために、最低限必要な内容を、一直線に突き進むような構成を考えました。余計なことは話さない、過度な一般化はしない、できるだけそぎ落とす。実現のために、いくつかの工夫を施しました。前回のタイトルは「素イデアルの分解法則」としていましたが、限定的なケースを考えれば「素数の分解法則」でよかったわけです。一意分解環であれば問題ない。これで「イデアル」という面倒な話を説明する必要がなくなりました(これで15スライドくらい削れました)。ほかにもいろいろと工夫をしています。用いて説明するフロベニウス自体の定義はしないで、「フロベニウスにより分解群が生成できる」という事実だけを使う聴衆の質問タイミングを予め指定して、最初に提示しておく以上の工夫の甲斐あって、復習回では時間を収めることができました。私自身の手応えとしては、聴衆にも理解してもらえたように思います。なんとかリベンジを果たすことができました。復習回が終わりしばらくしてから、数学カフェの中の人から連絡がありました。ゼリーさんとせきゅーんさんの講演する第17回数学カフェで、一緒に講演してみませんかとお誘いをいただいたのです。素数回はまだ終わっていなかったのです。Togetterゼリーさんが「高さ関数」について話をすることが決まっていて、私のテーマについては「tsujimotterさんの話したいことをどうぞ」という感じだったと思います。何か今気になっていることを話そうと思いました。当時は、フロベニウスや類体論の話ができて一区切りついたところだったので、次はどこに向かおうかと思案していたところでした。そのころ興味を持ち始めていたのが「岩澤理論」でした。さんから話を伺って以降、「数論2」の「岩澤理論」の章をぱらぱらとめくってみたこともあったので、多少の知識はありました。ゼータとかイデアル類群に関係があって、私の興味にも近そうだなとも思っていました。した経緯もあって、無性に岩澤理論について話したくなり、関係する講演テーマを探しました。当時は岩澤理論については何も知らないに等しかったので、岩澤理論そのものの講演はできません。岩澤理論につながる話がしたい。思って「クンマーの合同式」と類数に関する「クンマーの判定法」をテーマに選びました。これは岩澤理論につながる重要な結果であり、とても興味深いトピックです。講演ではクンマーの判定法からさらに踏み込んで、より発展的な「エルブラン・リベの定理」という定理も紹介することにしました。「リベの定理」は、岩澤主予想の証明の雛形になった定理であり、より岩澤理論に近づいたトピックです。岩澤理論に近づきたいという気持ちで発表を行いました(付け焼き刃の知識で、正直あまり理解できてない中での発表だったので、案の定間違ったことを言っている箇所もありました)。参加しよう、と思うようになったのです。こんな風に振り返ってみると、私の日曜数学のモチベーションは数学カフェに支えられてきたのだ、ということに気づきます。数学カフェのおかげで、今たのしく岩澤理論の勉強ができているのです。本当に数学カフェさまさまです。まとめとりとめのない話になってしまいましたが、一応まとめます。言いたかったことはこういうことです。前者の話はうまく話せたが、後者の話は失敗してしまった失敗して落ち込んでいたが、再挑戦の機会をいただいたので、工夫して「復習回」でリベンジを果たした「30分で語る類体論の面白い話」をうまく構成することができた準備期間を通して整数論、特に岩澤理論の魅力に気づき、今楽しく岩澤理論の勉強をしている。これも数学カフェのおかげ!こうして振り返ってみると、数学カフェでの経験が自分の日曜数学に大きく影響を与えていることに気づきます。したチャレンジの場が与えられ、成長する機会が得られたことが本当に貴重なことだったなと実感しました。チャレンジする場所が与えられたからこそ、モチベーションを持って勉強をすることができたのです。チャレンジングな発表をすることで、その勉強のために自身の理解度を大きく向上することができました(私の例であれば類体論やクンマーの理論)。勉強して一つ高い視点に立つことで、新たなモチベーション(私であれば岩澤理論)を得ることができたと思います。講演者にとっての数学カフェは、じっくり時間をかけて講演できる場であり、また準備の時間もしっかり取れて、聴衆からは質の高い講演を期待されているイベントです。それでいて失敗も許されるアットホームな雰囲気があります。この両面があるからこそ「数学カフェはチャレンジの場である」と思うことができるのだと私は思います。最後に、今回振り返ってみて、せきゅーんさんという仲間がいたことが本当に幸運であったと思いました。さんと切磋琢磨できたことで、私は情熱的に日曜数学をすることができたのだと思います。さんと一緒に数学カフェの講演ができてよかったです。遅くなってしまいましたが、ありがとうございました。してブログを書き上げたことで、私の素数回がようやく終わった気がします。写真:数学カフェが終わった後の記念撮影(講演者二人と数学カフェの中の人)それでは今日はこの辺で。そのほかの思い出ほかにも、数学カフェ素数回ではたくさんの素敵な思い出がありました。この日のために「素数なステーキ」を作ったせきゅーんさんから誕生日プレゼントとして「Genocchi素数が17しかないことの証明」をいただきました日曜数学会幹事のちばさんが、サプライズで誕生日ケーキとして「食べられるゼータ関数」を作ってくださいました(ちばさんのブログ)クイズ大会で優勝者に「数論への招待」をプレゼントしました。受け取ったのは実はmattyuuさんでした。数学カフェ素数回は、多くの皆様に支えられて実現できました。この場を借りて皆様に御礼申し上げます。一緒に講演してくださったせきゅーんさん、本当にありがとうございます。さんと肩を並べて企画できたことは、私の一生の思い出になると思います。さんの素数への愛に溢れる講演、素晴らしかったです。無限に聞いていたかったです。あと、私の発表時間が押してしまって、大切な講演時間を削ってしまって申し訳ありません。誕生日プレゼントでいただいた「証明」は今も大事にしています。数学カフェの中の人には、企画の段階から長期に渡って企画の相談に乗っていただいたり、さまざまな企画を合間に入れてくださって、会場を盛り上げてくださいました。「素数だけで6時間」という無茶苦茶な企画にオーケーを出してくださってありがとうございます。6時間という長時間のイベントができる会場を押さえていただき、おかげさまで安心して発表することができました。お世話になっているちばさんには、なんとサプライズで「食べられるゼータ関数」の誕生日ケーキを作ってくださいました。それに合わせてお祝いしたくださったのでした。本当にありがとうございます。daifku.hateblo.jp素数姫さまには、「素数姫からの挑戦状!」のクイズをご提供いただきました。申し出にも関わらず、楽しいそして素晴らしい問題を提供いただきました。おかげさまで、イベント中は大変盛り上がりました。p.1yen.jp二世さんには、講演のスライドや発表の流れをチェックしてもらったり、企画の相談に乗ってもらいました。いつも感謝しています。近藤祥子さんには、素数大富豪のアプリを作成していただき、盛り上げていただきました。このほか、参加してくださったみなさまも本当にありがとうございます。数学カフェの発表をきっかけに素数に少しでも興味を持っていただければ幸いです。*1:6時間って結構長いですよね。数学カフェというイベントがこんなに長い時間になったのは、この回が初めてでした、思えば、この回以降、数学カフェの長時間イベント化が進んで言った気がします。変な前例を作ってしまったな、と反省しています。*2:たしか、一番最初のきっかけは「ラマヌジャンのほとんど整数」に関する情報を調べていて「類数」という概念に出会ったことだったと思います。*3:加藤先生の「数論への招待」は、私が最もおすすめする数論の入門書です。あとの話にも関連しますので、簡単に内容を紹介します。見るこの本は、表紙に千歳飴の絵が書いてあるように「七五三」の話題からはじまります。3つの整数を持つ三角形は120度の角を持つ三角形になります。あまる素数」なのがポイントです。あまる素数」は、かならずこのような三角形を持つというのです。この三角形の謎を紐解く鍵は「素数(素イデアル)の分解法則」にありました。素数(素イデアル)が代数体の拡大によって分解されてしまうという現象があり、その背後には「類体論」という大きな理論があるというのです。非常に興味を惹かれる話ですね。以上のような話が、手計算で試せるたくさんの具体例とともに、加藤和也先生の優しい語り口で綴られているのです。*4:【アイルランド】ベンバルベン。アイルランド北西部、スライゴー州にある村ドラムクリフに位置する標高526mの岩山。ケルト人の神話やアイルランド文芸復興運動に貢献した詩人・劇作家ウィリアム=イェーツの作品に登場することで知られる。tsujimotter.hatenablog.com*6:関連する内容は、後日ブログにまとめました。年に開催されるという話を教えてくれたのもせきゅーんさんでした。前回に引き続き類体論に関するお話です。「趣味で数学」実践ノートです。技術系の記事も書きます。twitterアカウントも同名。(1)はてなブログをはじめよう!tsujimotterさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。