1997と1の位が3または7の数字は同じ数だけある。このペア(10a+3と10a+7とおく)をかけると(10a+3)*(10a+7)=100a2+100a+21となるので10の位は21のみに依存することなるよって問題は21の200(a=0,1,...,199)乗の10の位を求めればいいことになる。解答・その6(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)一の位が3と7の数を2つずつペアにして並べてみます。3980021この2つの積は下一桁が1になります。上の表をみると、各行の積の下二桁が21になっています。これは、(10k+3)(10k+7)=100k2+(70+30)k+21=100(k2+k)+21より、納得できます。計算を考えればよいことになります。一の位が1の2桁の数の十の位は十の位の数の和になります。(8+2)以降は、{2、4、6、8、0}の繰り返しです。200は5で割り切れるので、答えは、0です。十の位の数が分かればよいのでパスカルの三角形を考えます。展開の201・1199の項の係数が200なので、十の位は0です。解答・その7(ペンネ−ム:エルドス)答えは0です。10の位だけが知りたいので、かけるたびに下二桁にするようにして計算しました。Sub解答・その9(ペンネ−ム:ちょろんは太太)積の結果の十の位を求めるので、百の位以上の部分は考えなくてよい。十の位以上が同じで、一の位が3と7の整数の積は、(M×10+3)×(M×10+7)=M2×100+M×10×(3+7)+21=(M2+M)×100+21必ず、下2桁は、21になる。21200と一致する。十位は0です2001以下の数字の中に3と7は200個あります。それらの積Xは次の通りですX=3200×7200=21200Xの十位を調べます。211=21→2212=441→4213=9261→6214=194481→8215=4084101→0216=85766121→2217=1801088541→4この検証の結果5で割り切れれば十位は0であると分かります。200は5で割り切れますので十位は0となります。解答・その11(ペンネ−ム:まめ)2011年も今月で最後・・・だから2011以下と思いきや、2001なんですね。2011なら答えは「2」なんですが、2001の問題として解きます。小学生でも分かりそうな解き方で。62133×37=122143×47=202153×57=3021・・・となり、下2桁が必ず21であることが分かる。インド式計算法のアレですね。次にこれらの積を取っていく。861→6161×1221→61×21=1281→8181×2021→81×21=1701→0101×3021→01×21=21なので、順番に掛けていくと十の位が2、4、6、8、0と循環することが分かる。2001ということは、この繰り返しがちょうど40回なので、答えは「0」。高校生くらいの人なら次のように解くのでしょうか。Π(10n+3)(10n+7)と書ける。n=0〜199である。A式で十の位に関与するのは21n+1の項のみ。・・・+mCm-1・201+mCm・200ここで、202=4・100なので、202以上の項もやはり全て100を因数に持つ。共通因数100を括り出した多項式をPとすると、A式はΠ(10n+3)(10n+7)=100P+20m+1と書けることになる。20mの一の位は0であるから、繰り上がりもない。よって、計算結果の十の位に関与するのは20mの項のみである。一の位が1と9とか、2と8とかでも考えてみました。・1と9:Π(10n+1)(10n+9)=100P+9nこの場合は9nがポイントとなる。9nの十の位なんて計算する方法はちょっと思いつかない。実際に計算すると、910の十の位が0になるので、答えは「0」。・2と8:Π(10n+2)(10n+8)=100P+16nこれもすぐには計算できなさそうですね。1、5、9、3、7の繰り返しっぽいから、この場合の答えは「7」。・5:Π(10n+5)これが一番難儀かも。これも実際計算すると、十の位は最初の0の後、7、7、2、2の繰り返しなので、最終的に「2」に行きつきます。4と6の場合の十の位が2と7の繰り返しなのはなんか証明できそうですね。暇なときにでもトライしてみよ〜っと。以下の正の整数のうち、一の位が3または7であるものすべての積をXとする。Xの十の位を求めてください。Xの十の位を求めるのだから、100剰余演算を用いて考える。下2桁だけを考えればよく、一の位が3の場合、03,13,23,33,43,53,63,73,83,93の積のmodを求める。(3+0)*(3+10)*....*(3+80)*(3+90)=310+Σn*10*39+......2番目までの項を考えればよい。一の位が3の場合は、mod((-1)20,100)=1となる。-93-83,-73,-63,-53,-43,-33,-23,-13,-03の積であり、(40+50)*(-1)10=99=-1であり、mod((-1)20,100)=1となる。一の位が3と一の位が7の積は1となり、Xの十の位の数字は、0となる。割ったとき、その剰余を示す。下記の様に、数式処理のソフトmaximaで確認しました。解答・その13(ペンネ−ム:転位反応)具体的に計算式を書き下してみると、以下の通り。X=3×7×13×17×23×27×...×1993×1997=(3×7)×(10+3)×(10+7)×(20+3)×(20+7)×...×(1990+3)×(1990+7)=21×(100+30+70+21)×(400+60+140+21)×...×(3960100+5970+13930+21)=21×(200+21)×(600+21)×...×(3980000+21)さて、この計算式において、Xの十位に影響するのは21だけを全て掛け合わせたものである。具体的に書き下してみると、以下の通り。211=21212=21×21=441213=441×21=9261ここで、十位に影響するのは下二桁の数字なので、441×21については、41×21を考えれば良い。2,4,6,8,0,2,4,6・・・と循環する。n=200の場合、十位の数字は0である。Xの十の位の数字は0である。