バネによってつながれている2自由度系を考える。(1.2)\end{aligned}}}が得られる。{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\x&:=x_{1}-x_{2}\end{aligned}}}を導入する。(2)\end{aligned}}}が得られる。{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}と置いた。}}}}で与えられることが分かる。{X}}=0\end{aligned}}}が得られる。M:=m_{1}+m_{2}}である。ついては自由な質点と同じ運動をすることが分かる。同じ問題を更に多くの粒子を扱うときのやり方で書くことも出来る。(1.2)で与えられる運動方程式は、定数係数連立2階常微分方程式であるので通常の仕方で解くことが出来る。^{2})a_{2}=&0\end{aligned}}}と書くことが出来る。^{2}\end{vmatrix}}=0}が成り立つことが必要である(線型代数では、このような方程式を固有方程式と呼ぶ)。これは、上で求めた値と一致している。結局2物体の場合では、線型代数の固有方程式が容易に求められるということが言える。複数粒子の場合[編集]多粒子の場合[編集]粒子の数がさらに多い多自由度系の場合も、上で求めた方法を用いることが出来る。バネでつながれている場合である。(3)\end{aligned}}}となる。元連立定数係数2階常微分方程式であるので、やはり解くことが出来る。_{0}^{2}(u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1})}が得られる。この方程式を解くには一般にはこの行列の固有方程式を解かねばならない。Nd\\\end{pmatrix}}}(dは任意の実数)となる。確かにこのベクトルは、与えられた行列の固有ベクトルとなる。列の大きな行列の固有ベクトルが簡単に求められたことを見た。実際にはこのことは上で見た行列の性質によっている。この性質を具体的に見るために、粒子の数がきわめて多く、粒子が連続的に分布していると見た場合を考える。^{2}x}}(x)}を離散的な量に直すことを考える。{u(x_{i+1})-2u(x_{i})+u(x_{i-1})}{h^{2}}}\end{aligned}}}となる。運動方程式(3)の右辺にも現れており、これが2階微分を表していることが分かる。^{2}x}}\right)u(x,t)=0}が得られる。この方程式を波動方程式と呼ぶ。後に分かることだが、波動方程式は物体の運動を通じてエネルギーが伝搬して行く様子を表す方程式となっている。ここから先は、この方程式の性質を見て行く。表示-継承ライセンスのもとで利用できます。追加の条件が適用される場合があります。詳細については利用規約を参照してください。Cookieに関する声明モバイルビュ。