どの目も出る確率が$\displaystyle\frac{1}{6}$のさいころを1つ用意し、次のように左から順に文字を書く。3のときは文字列AAを書き、4のときは文字Bを、5のときは文字Cを、6のときは文字Dを書く。Dをすでにある文字列の右側につなげて書いていく。4であったとすると、得られる文字列は、\[\mathrm{AACDAAB}\]となる。このとき、左から4番目の文字はD、5番目の文字はAである。$n$を正の整数とする。$n$回さいころを投げ、文字列を作るとき、文字列の左から$n$番目の文字がAとなる確率を求めよ。$n$を2以上の整数とする。数学I・A+II・Bハイレベルな基礎の徹底の上に、本物の数学力が育つ。目指す受験生のための、強固な数学の基礎力がつく一書。確率を求めるのは難しそうです。いう場合、「$n$回○○したときの××する確率を求める問題」は、数列の問題に持ち込むのがよさそうです。$n$の場合と$n+1$の場合からうまく漸化式を作って一般項を求める、という方法を考えてみましょう。仮に$n$番目の文字がAとなる確率が求められたとしましょう。このとき$n+1$番目の文字がAとなる確率をうまく漸化式でかければOKです。$n$番目がAではなく、$n+1$番目の文字がAとなる場合は、簡単に計算できます。$n$番目がAで、$n+1$番目の文字もAとなる場合は、ちょっと面倒なことがわかります。いうのも、「$n$番目がAとなるとき」のAが、「AA」の1つ目のAなのか2つ目のAなのかで状況が変わるからです。1つ目のAなら、必ず$n+1$番目はAになります。2つ目のAだった場合は、$n+1$番目は1/2の確率でAになります。このことから、この問題をめんどくさくしている原因は、「AAの1つ目と2つ目が同じ文字」であることがわかります。発想の転換で、無理やり別の文字にしてみましょう。「AA」を「AA’」と書くことにして、$n$番目がAまたはA’となる確率を求めればそれが(1)の答えになります。この方針で解いてみます。場合の数と確率と数列。