コインの問題2種類の異なる重さのコインが各4枚ずつ、計8枚のコインがあります。天秤を2回以下しか使わずに、重さが異なるコインを1枚ずつ取り出すにはどのようにすればよいでしょうか。解答・その1(ペンネ−ム:オヤジ)2種類のコインそれぞれ、○○○○および、●●●●とします。○より●の方が重いとしても一般性は、失われません。1.1回目に天秤の左右が釣り合った場合・・・・・3種類あります。●●)(1)〜(3)の釣り合った場合は、2回目は、例えば天秤の右側の2個を1個づつ天秤で計ります。●)と傾き、重さの異なる○と●が得られる。重さの異なる○と●が得られる。重さの異なる○と●が得られる。∴(3)OK2.1回目に釣り合わない場合、左側が下がるとして一般性を失わない・・・・3種類あります。●○)(4)〜(6)の釣り合わなかった場合は、天秤の左右から、各1個づつ持ってきて2回目の天秤に載せる。○)と傾き、重さの異なる○と●が得られる。釣り合う時は、1回目の計量で残った、2個の重さの異なる○と●が得られる。○)と傾き、重さの異なる○と●が得られる。釣り合う時は、1回目の計量で残った、2個の重さの異なる●と○が得られる。○)と傾き、重さの異なる●と○が得られる。∴(6)OK解答・その2(ペンネ−ム:迷子の雄猫)手順1:天秤の両側に2枚づつのコインを載せる。A,B、右の皿に載せたコインをC,Dとする。手順2A:手順1でつりあった場合、同じ皿に載せたA,Bのコインを量る。手順2Aでつりあった場合、A,Bのコインは同じものである。ないコインは別の種類のコインである。手順2Aで傾いた場合、A,Bのコインは別の種類のコインである。手順2B:手順1で傾いた場合、異なる皿に載せたA,Cのコインを量る。手順2Bでつりあった場合、A,Cのコインは同じものである。手順1で傾いた以上、B,Dのコインは別の種類のコインである。手順2Bで傾いた場合、A,Cのコインは別の種類のコインである。左右の皿に、2枚ずつコインをのせます。つりあった場合(両皿に、�Tそれぞれ重いコイン1枚、軽いコイン1枚がのっているか、または、�U重いコイン2枚ずつ、または、�V軽いコイン2枚ずつがのっている。)(2回目)片方の皿の2枚のコインを残し、1枚ずつ左右の皿にのせてはかる。AA:つりあった場合、�Uまたは、�Vのケース。1回目にのせた4枚のコインは、すべて同じ重さになる。1回目にのせなかった4枚は、違う重さのコイン。1回目にのせたコイン1枚と、のせなかったコイン1枚をとりだせばよい。つりあわなかった場合、�Tのケース。この左右の1枚ずつが違う重さのコインである。左右それぞれの皿から、1枚ずつコインをとって、残った1枚ずつを比べる。つりあった場合、1枚ずつとったコインが、違う重さのコイン。つりあわなかった場合、この左右の1枚ずつが違う重さのコインである。虱潰しに考えようと2枚ずつを乗せる場合を考えたら上記のような結果になりました.解答・その6(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)●重りをaとbで表します。)で表すことにします。どちらが重くてもかまわないのでaの方が重いとします。これを(a)>(b)と表すことにします。釣り合う場合は(a)=(a)と表すことにします。●天秤の皿に2枚ずつコインをのせると、次の場合があります。�W(aa)>(ab)�X(aa)>(bb)�Y(ab)>(bb)●2回目のコインののせ方を考えます。(1)釣り合ったときは、一方の皿にあった重りを別々の皿に1個ずつのせると、次の場合があります。�T(a)=(a)または、�V(b)=(b)2回目も釣り合うなら、初めに皿にのせた4個が同じ重さです。その4個のなかから1個、残りの4個の中から1個を選べばよいことになります。・釣り合わない場合その2個を選べばよいことになります。�U(a)>(b)(2)釣り合わなかったときは、左右のそれぞれの皿から1個ずつ重りを抜き取ります。2回目に釣り合わなければその2個を選び、釣り合えば抜き取った2個を選べばよいことになります。抜き取った2個{ab}解答・その7(ペンネ−ム:Ryu1128)コインの重さにしたがってa,bのコインとします。1回目はコインを天秤に、無作為に2枚ずつ乗せます。つり合う場合○つり合わない場合×とします天秤の左右と天秤に乗せなかった残りを表にする次のようになります。�Y2回目は1回目○の場合�T�X�Y右(左でも良い)と残りから1枚ずつ取り出し乗せます�Tと�Xはつり合いませんから、そのまま選べば良いです。重さの違うコインになりますからそれを選べば良いです。違うコインとなります。○○-○●、○○-●●、○●-●●のどれかと考えられるので左の2枚の中から1枚を選んで天秤の左に右の2枚の中から1枚を選んで天秤の右にのせてみる1)つりあう時・・・左の2枚の中で選ばれなかった方と右の2枚の中で選ばれなかった方を取り出せばよい2)つりあわない時・・・○●を取り出したことになる解答・その9(ペンネ−ム:杖のおじさん)1回目は最初に4個ずつに分けて、天秤で量ります。2回目は次の方法で量ります。→どちらかの天秤のコインを2個取ります。→両方の天秤から1個づつコインを取ります。方の天秤のコインを1個取ります。→軽い方天秤のコインを2個取ります。→天秤で量ったコインを1個と1回目量った時、重かった方の天秤のコインを1個取ります。→重い方天秤のコインを2個取ります。解答・その10(ペンネ−ム:haya)適宜4個ずつの2群に分けて最初の計測をする。最初の計測で不平衡の時、重い皿のコインを更に2群に分けて2度目の計測にかける。平衡だったら、最初の計量の重い皿の任意の1枚と軽い皿の任意の1枚を使う。不平衡であれば、その左右の皿から1枚ずつ取り出して使う。平衡であればどちらかの皿の2枚を使う。ように書くものとする。8枚のコインを半分に分けた時のLとHの配分と天秤の傾きは、対称のダブりを排して下の3つのパターンとなる。場合、右の重い皿のコインを更に半分ずつにしても天秤は平衡を保ったままとなる。HHこの場合は最初の計量の重い皿の任意の一個と軽い皿の任意の一個を組み合わせれば求める組み合わせとなる。場合、右の重い皿のコインを半分ずつにすると天秤は傾く。HHとなるから、二度目の計量の軽い皿の2枚のコインが求めるものとなる。LHの2つの場合に分かれる。下の平衡している場合はどちらかの皿の2枚を使えば求めるコインの組合せとなる。8個のうち、4個を天秤の両側に2個ずつ載せる。釣り合わない場合は、両側から1個ずつを取って計る。これで釣り合えば、取った2個が重さの違うペアです。釣り合わなければ、天秤に載っている2個が重さの違うペアです。1で釣り合った場合は、片側の2個をもう一方の側に移動し、1で残った4個を空いた側に載せる。これで釣り合えば、移動した2個(又は最初から載っている2個)が重さの違うペアです。5で釣り合わない場合は、両側から1個ずつ取れば、重さの違うペアとなります。最初の操作で釣り合った場合の判定方法の問題ですね。2個ずつ載せて釣り合うのは、(軽、軽)、(軽、軽)と(重、重)、(重、重)又は(軽、重)、(軽、重)の場合しかないので、この3つのケースを見分ける方法に帰着します。残りの4個と比較すれば、この3つのケースの見分けができるわけです。重さが異なるコインを1枚ずつ取り出すことができます.解答・その13(ペンネ−ム:転位反応)下記のように場合分けを行って検討する。【方法1】任意の2枚のコインを取り出して天秤で重さを比較する起こりうるケースは下記の2通り。2枚の重さが同じ残り6枚のコインには、最初の2枚と異なる重さのコインが4枚含まれるが、あと1回の天秤の使用で、目的とするコインを常に特定できるとは限らない。【方法2】任意の4枚のコインを取り出し、2枚ずつ天秤で重さを比較する起こりうるケースは下記の2通り。重さが異なるコインをA、Bとした。2枚ずつの重さが異なる可能な組合せは、AA−BB、AA−AB(BB−BAでも本質的に同じ)の2通り。天秤の両方の皿から任意に1枚のコインを取り去り、残ったコインの重さを比べる。2枚ずつの重さが同じ可能な組合せは、AA−AA(BB−BBでも本質的に同じ)、AB−ABの2通り。何れか一方の天秤の皿にある2枚のコインの重さを比べれば、どちらの組合せかを特定できる。∴方法2により目的を達成できる【方法3】任意の6枚のコインを取り出し、3枚ずつの重さを天秤で比較する起こりうるケースは下記の2通り。重さが異なるコインをA、Bとした。3枚ずつの重さが同じ可能な組合せは、AAB−AAB(本質的にABB−ABBも同じ)の1通り。何れか一方の天秤の皿にある3枚のコインのうち、任意の2枚の重さを比べれば、A、Bを特定できる。3枚ずつの重さが異なる可能な組合せは、AAA−BBB、AAA−ABB(本質的にAAB−BBBも同じ)、AAB−ABBの3通り。コインの重さをA>Bとすると、重い方の皿のコインはAAA、またはAABである。3枚のコインのうち任意の2枚の重さを比べても、常にBを特定できるとは限らない。A、Bを常に特定できるとは限らない∴方法3は目的を達成できない【方法4】8枚のコインを4枚ずつに分けて、重さを比較する。起こりうるケースは下記の2通り。重さが異なるコインをA、Bとした。4枚ずつの重さが異なる可能な組合せは、AAAA−BBBB、AAAB−ABBBの2通りであるが、コインの重さをA>Bとすると、重い方の皿のコインは、AAAA、またはAAABと特定できる。4枚のコインを2枚ずつに分けて天秤で重さを比べる。・2枚ずつのコインが同じ重さのときAAAAと特定できて、残り4枚のコインはBと判明。・2枚ずつのコインの重さが異なるとき重い方の皿のコインはAAと特定され、もう一方の皿のコインはABと判明。(2)枚ずつの重さが同じ可能な組合せは、AABB−AABBの1通り。一方の天秤の皿にある4枚のコインを2枚ずつに分けて天秤で重さを比べる。・AA−BBの場合:コイン2枚ずつの重さは異なるので、それぞれの皿のコインはAA、BBと確定。∴方法4により目的を達成できる従って、題意を満たすのは、方法2、または方法4である。杖のおじさんMVHコメントこの問題を解決するには、起こり得る可能性をもれなく、過不足なく整理して、検証していく必要がありそうですね。天秤の左右に同じ枚数のコインをのせて比較をしますが、何枚ずつのせればよいか。転位反応さんが検証してくださいました。2枚ずつ、または4枚ずつですね。1枚ずつではつりあった時に情報が少なすぎるし、3枚ずつの場合も同様で、コインを特定できません。