)・翻訳・出版も行っています。このブログでは、何でも簡潔に分かりやすく解説します。記事が多数あるので、カテゴリやブログ内検索を活用してご覧ください。大学受験ランキング最近の記事(03/31)2020年の生徒募集概要(02/22)本日配信のメルマガ。語句コーナー途中まで(02/21)本日配信のメルマガ。考え方(31)【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方(10)【中学5科】高校入試の重要ポイント(22)更新記録(61)書き換え英作文(197)新聞記事(3)リンク集プロ家庭教師の江間です。y=sin5xを微分せよ。三角関数のxのところが5xになっているので、合成関数の微分と考えるのが基本です。t=5xとすると、y=sintと書き直すことができますね。y=sintを微分すると、dy/dt=costですね。t=5xを微分すると、dt/dx=(5x)'=5です。もとの式の微分は、dy/dxだから、dy/dx=(dy/dt)・(dt/dx)=cost・5=5cost=5cos5xこのようにやるのが模範的ですが、慣れてくると、だいたい次のように考えて解く人が多いと思います。(sinx)'=cosxだから、サインはコサインに変わる。xのところが5xになっているので、(5x)'=5を掛ける。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。http://www.a-ema.com/j/−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−無断転載等はご遠慮ください。2点A(1,4),B(5,−2)を結ぶ線分ABを1:2に内分する点、外分する点をそれぞれ求めよ。このくらい単純な値での内分・外分ならば、図を描いて「だいたいこれくらい・・・」でも何とかならなくもないですが、できるだけちゃんと公式を使った方が良いです。内分・・・{(nx1+mx2)/(m+n),(ny1+ny2)/(m+n))外分・・・{(−nx1+mx2)/(m−n),(−ny1+ny2)/(m−n))このような公式で表されます。外分は要するに、内分の公式のnにマイナスをつけただけです。いう言葉になっています。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。http://www.a-ema.com/j/−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−無断転載等はご遠慮ください。ABCにおいて、AB=4,BC=5,CA=3である。辺BC上にBD=2となるように点Dをとる。このとき、ADの長さを求めよ。△ABCは3辺の長さがわかっています。ADの長さを求めたい。ADを求めるならば、ADを含む三角形を考えます。△ABDを使ってみましょう!△ABDは、AB=4,BD=2と求める辺のADを3辺とする三角形です。△ABDは、すでに2辺がわかっているので、あとはどこか1角の大きさまたは三角比の値がわかれば、余弦定理の式を作ることができます。余弦定理:a^2=b^2+c^2−2bc・cosAこの式は、3辺と1角を含む式です。初歩的には、「左辺のaを求めるときに使う」と考えますが、応用編(?)としては、「これらの3辺と1角のうち3つがわかれば残り1つがわかる」という使い方をします。△ABDの場合、2辺がわかっていて残りの1辺を求めたいので、角に関する情報がわかれば余弦定理が使える。ここで、△ABCに注目します。△ABCは3辺がわかっているので、3つの角どれについてでも余弦定理の式を作ることができます。∠ABDと∠ABCは共通なので、∠ABCを表せば、∠ABDにそのまま使うことができ、△ABDについての余弦定理の式を作れる。△ABCについて、余弦定理の式をつくってみましょう!∠ABCを軸に考えるので、その対辺が左辺に来ます。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。http://www.a-ema.com/j/−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−無断転載等はご遠慮ください。基本的な軌跡の問題では、移動する点Pを考えて、「AP=BP」の形で立式することがあります。これを計算するためには、たいていは「AP^2=BP^2」とする必要があります。「なぜ2乗しなければいけないのですか?」と質問すると、物知り顔で「そういうルールだから」「2乗したらマイナスがプラスになるから」などと苦し紛れの説明をする人もいますが、そんなアブない考えに基づいてではなく、必然的に2乗する必要があるので2乗するのです。この記事では、なぜこの場合、2乗が必要なのか解説します。はじめに当然ですが、APはAとPの距離、BPはBとPの距離を表します。2点間の距離は、三平方の定理を使って表すことができます。三平方の定理を使って表される辺の長さは、必然的に√がつきますね?a^2+b^2=c^2だから、c=√(a^2+b^2)です。詳しい座標等はここでは省略しますが、つまりは、AP=√●●,BP=√◆◆という形でAP,BPは表すことができます。√●●=√◆◆ですね。この式を計算しようとして、移項してまとめようとしても、ルートの中身が違っている場合そのままでは計算できません。計算するためには、いったん√を外す必要があります。√を外すためには、両辺を2乗!です。AP=BPを計算するためには、両辺を2乗する必要がある。具体的な問題等の解説は後日掲載するかも知れません。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。http://www.a-ema.com/j/−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−無断転載等はご遠慮ください。整式P(x)=x^3+ax^2+bx+1をx^2+x−2で割った余りが−2x+3であるとき、定数a,bの値を求めよ。この問題の場合、割る数が2次式なので因数定理や剰余の定理は使えない・・・と思うかも知れませんね。確かに、因数定理や剰余の定理は、1次式で割った場合の余りがわかる定理です。2次式では直接的には使えません。使えるように式を立ててみれば良いのではないか?と考えられると良いです。この場合の割り算の関係を、商をQ(x)として方程式に表すと、P(x)=(x^2+x−2)・Q(x)−2x+3となりますね。因数分解すると、P(x)=(x+2)(x−1)・Q(x)−2x+3こうなります。これならば、剰余の定理が仕えそうですね!?(x+2)(x−1)・Q(x)の部分は、x=1やx=−2のときゼロになってしまうので、そのときの余りが求められるというわけです。P(1)=−2+3=1P(−2)=−2×(−2)+3=4+3=7また、与式から、P(1)=1+a+b+1=a+b+2P(−2)=−8+4a−2b+1=4a−2b−7という式が得られます。P(1)はP(1)同士、P(−2)はP(−2)同士等しいに決まってるので、P(1)=a+b+2=1a+b=1−2a+b=−1P(−2)=4a−2b−7=74a−2b=7+74a−2b=14aとbについての式が2つできたので、連立して解けばa,bの値を求めることができます。計算すると、a=2,b=−3が得られます。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。http://www.a-ema.com/j/−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−無断転載等はご遠慮ください。高校数学「3乗の展開」(a−3b)^3を展開することを考えます。3乗の展開の公式は、(a+b)^3=a^3+3a^2・b+3ab^2+b^3ですね。間がマイナスの場合は、(a−b)^3=a^3−3a^2・b+3ab^2−b^3に代入する。考えるのがノーマルです。これに、a=a,b=3bを代入すると、(a−3b)^3=a^3−3a^2・3b+3a(3b)^2−(3b)^3=a^3−9a^2・b+27ab^2−27b^3このように展開することができます。これがわかりにくい人は、(a+b)^3=a^3+3a^2・b+3ab^2+b^3に、a=a,b=−3bを代入すると考えてもよいです。(a−3b)^3=a^3+3a^2(−3b)+3a(−3b)^2+(−3b)^3=a^3−9a^2・b+27ab^2−27b^3この方が公式を使い分けなくてよいので、個人的にはこちらの方が簡単だと思います。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。http://www.a-ema.com/j/−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−無断転載等はご遠慮ください。整式P(x)を、x−2で割ったときの余りが−1,x+3で割ったときの余りが9であるとき、P(x)を(x−2)(x+3)で割ったときの余りを求めよ。このように、整式とあまりが与えられているなら、「剰余の定理」が使えそうだな〜と考えます。剰余の定理とは「整式P(x)をx−aで割ったときの余りはP(a)である」という定理です。整式のxに値を代入すると、割ったときの余りが出てくる。今回の問題では「x−2で割ったときの余りが−1」なので、P(2)=−1「x+3で割ったときの余りが9」なので、P(−3)=9ということができます。このような条件で、(x−2)(x+3)で割ったときの余りを求めよう。(x−2)(x+3)は2次式なので、余りは1次式になります。1次式の一般形はax+bなので、「P(x)を(x−2)(x+3)で割ると、余りはax+bになる」ということができます。この問題では商はわからないので、Q(x)とおくと、等式を作ることができますね。・・・�Aこの�@,�Aを連立して解くと、(計算は省略しますが)a=−2,b=3が得られます。求める余りは−2x+3である。なりますね!ちなみに、(x−2)(x+3)Q(x)の部分は、x=2やx=−3を代入するとゼロになるので、そこら辺の参考書ではいきなり消えてしまっているかも知れません。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。計算」1/[1−1/{1−1/(1+a)}]このような式を簡単にする場合は、一つ一つ分数の中の分数を消していくと考えるとよいです。最初に、一番最後の分母の(1+a)を消すと考えます。分母の(1+a)を消すには、分子に(1+a)を掛ければ良いのですが、もちろん勝手にその部分の分子だけに1+aを掛けることはできません。(1+a)/(1+a)を掛けると考えます。1/{1−1/(1+a)}の部分を取り出して考えてみると、1が分子、{1−1/(1+a)}が分母と考えることができます。この分子と分母の両方に(1+a)を掛けてみると、(1+a)/{(1+a)−(1+a)/(1+a)}=(1+a)/(1+a−1)=(1+a)/aとなりますね。与式=1/{1−(1+a)/a}と表すことができます。この分数は、分子が1,分母が{1−(1+a)/a}と考えて、分子と分母にaを掛ければ、=a/{a−a(a+1)/a}=a/{a−(a+1)}=a/(a−a−1)=a/(−1)=−aこのように、最終的にはとてもシンプルな式に直すことができます。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。定義を利用して次の極限値を求めよ。lim[x→1]{logx/(x−1)}この問題について考えます。そもそも「微分係数の定義を利用して」というのが怪しい人が多いと思います。公式に従うと、「f(x)のx=aにおける微分係数はf'(a)である」ということは比較的わかりやすいはずです。定義に従った場合、f'(a)=lim[x→a]{f(x)−f(a)}/(x−a)このように表すことができます。この式はつまり、xとaが限りなく近い場合の平均変化率なので、aにおける微分係数を表している。与えられた式も、この形にすることができれば、微分係数に置き換えられて、極限値を表すことができるのですね。=lim[x→1]{(logx−log1)/(x−1)}log1=0なので、足しても引いても変わらないから、その先がやりやすいように都合よく入れることができる。ここで、f(x)=logxとすると、f(1)=log1ですね。これらで分子を置き換えると、=lim[x→1]{f(x)−f(1)}/(x−1)}この式はつまり、定義に従った微分係数の式のa=1の場合になりました。よって、=f'(1)というわけです。f(x)=logxなので、f'(x)=1/xです。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。3次方程式」x^3=1の虚数解の一つをωとすると、もう一つの虚数解はω^2であることを実際にやってみたいと思います。x^3=1を解いてみます。x^3=1x^3−1=0(x−1)(x^2+x+1)=0より、x−1=0,x^2+x+1=0x^2+x+1=0を解の公式を使って解くと、x={−1±√(1^2−4・1・1)}/2・1={−1±√(1−4)}/2={−1±√(−3)}/2=(−1±√3i)/2このプラスマイナスの2つの解のうち片方、例えばプラスの方をωとしてみます。ω=(−1+√3i)/2です。不思議に思うかも知れませんが、これを2乗すると、(−1−√3i)/2になるのです。やってみましょう!ω^2={(−1+√3i)/2}^2={(−1+√3i)^2}/4={(−1)^2+2・(−1)・√3i+(√3i)^2}/4=(1−2√3i−3)/4=(−2−2√3i)/4=(−1−√3i)/2ということで、ω^2=(−1−√3i)/2になりましたね!さらに、(−1−√3i)/2を2乗すると、(−1+√3i)/2に戻ります。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。3次方程式」「1の3乗根」x^3=1の解の一つをωとするとき、次の値を求めよ。ω^3+ω^2+ωまず、x^3=1を解いてみましょう。「xを3乗したら1だから、x=1だけ!」と考えた人もいると思いますが、それだけでは不十分です。x=1はx^3=1の解の一つですが、他にも解が存在します。他の解はイメージだけで求めることは難しいので、ちゃんと方程式を解いてみましょう。x^3=1x^3−1=0(x−1)(x^2+x+1)=0ここまでいいでしょうか?移項して因数分解しただけです。(x−1)と(x^2+x+1)を掛けたらゼロなので、x−1=0,x^2+x+1=0です。x−1=0を解けば、x=1が得られます。x^2+x+1=0は解の公式で解いて、x={−1±√(1^2−4・1・1)}/2・1={−1±√(1−4)}/2={−1±√(−3)}/2=(−1±√3i)/2ですね。「この解のうち片方をωとする」という設定です。このωは面白い性質があり、プラスマイナスのどちらをωとしても、ωの2乗は残り片方になってしまいます。ω+ω^2=(−1+√3i)/2+(−1−√3i)/2=−2/2=−1というように、ωとω^2の和は必ず−1になります。x^3=1の解は、1,ω,ω^2なので、これら3つを足すとゼロになってしまうのです。ω^3+ω^2+ω=1+ω+ω^2=0となります。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。a>0のとき、不等式a+1/a≧2を証明せよ。この問題について考えます。不等式の証明でまず最初に考えるのは、「大きい方−小さい方≧0」ですね。この場合、a+1/a−2≧0を言うことができれば、与式が証明できたことになりますが・・・aが大きくなれば1/aは小さくなるし、aが小さくなれば1/aは大きくなるし、a+1/a−2≧0を普通に計算して示すのは難しそうですね。aと1/aは逆数の関係になっていて、a×1/a=1となり、かけ算をするとaが消えます。このような場合に、「相加平均と相乗平均の関係」を使います。2つの数をa,bとすると、(a+b)/2≧√abという関係があることが知られています。掛けてルートしたので「相乗平均」です。言葉で説明すれば、(相加平均)≧(相乗平均)という関係があるということができます。これは「そうなる」ことが知られているので、「公式・定理」と同様に使うことができます。証明では、この両辺を2倍してa+b≧2√abの形で使うことが多いです。今回の問題では、a=a,b=1/aとすれば、相加相乗平均の関係よりa+1/a≧2√(a×1/a)という式が得られます。この式の右辺を計算すれば、2√(a×1/a)=2×1=2となります。「a+1/a≧2」ですね。よって与式は成り立つ。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。α^2+β^2の値を求めよ。(1)で、α+β=1,αβ=3,α^2+β^2=−5を求めました。これらの値を利用して、α−βの値を求めます。式の値を求める場合は、「とりあえず2乗」することがよくあります。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。α^2+β^2の値を求めよ。」このような問題の場合は、普通は「解と係数の関係」を使います。α+β=−b/a,αβ=c/aですね。今回の問題では、α+β=−(−1)/1=1,αβ=3となります。これらの値を利用して、α^2+β^2を求めることができます。「2乗だから、α+β=1を2乗して、1^2=1」などと自信満々に答える人もいるかも知れません。残念ながら間違いです。(α+β)^2=α^2+β^2ではなく(α+β)^2=α^2+2αβ+β^2ですね。これにα+β=1,αβ=3を代入すると、1=α^2+2×3+β^2α^2+β^2=1−6=−5よって、α^2+β^2=−5であることがわかりました。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。点A(5,2),点B(1,6)がある。→ABの成分表示と大きさを求めよ。この問題について考えます。→AB=(xB−xA,yB−yA)と表すことができます。→AB=(1−5,6−2)=(−4,4)です。ベクトルの大きさは、そのベクトルを斜辺とする直角三角形により求められます。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。2次不等式x^2−ax−2a>0がxの値にかかわらず常に成り立つようなaの値の範囲を求めよ。この問題について考えます。「ゼロ以上だから、D>0だね」などと考えてしまってはいけません。y=x^2−ax−2aという関数のグラフを丁寧に考える必要があります。この2次関数のグラフは、下に凸なので、「2次不等式x^2−ax−2a>0がxの値にかかわらず常に成り立つ」ためには、グラフが常にx軸の上側にある必要があります。「グラフが常にx軸の上側」の場合は、グラフを描いてみれば当然見たままですが、「放物線とx軸は共有点を持たない」とわかると思います。「放物線がx軸と共有点を持たない」条件は、D<0でしたね。判別式D=b^2−4acは、2次方程式の解の公式のルートの中身です。ルートの中身がマイナスならば、解が虚数になってしまうので、実数解は持たない。放物線とx軸は共有点を持たない。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。「証明」と聞くと、すごく難しいと感じる人が多いと思いますが、等式の証明(の基本)は簡単です。等式を証明したいのだから、証明することができる式について考えます。その証明したい式はそもそも「成り立っている」式です。成り立っているならば、計算したら当然等しくなるに決まっています。計算すれば自動的に証明ができるのです。・・・とは言っても、意味や基本的な書き方に則ってやる必要があります。基本的には、(左辺)=・・・(右辺)=・・・というように、左辺と右辺をそれぞれ計算して、その結果が一致することを確認します。一致すれば「よって、与式は成り立つ」と言えばOKです。(左辺)−(右辺)=0を示しても良いです。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。x^3−3x^2+2=0という方程式を解くことを考えます。「掛けて2,足して−3だから、−1と−2でしょ?因数分解して(x−1)(x−2)だから、x=1,2で完成!簡単!」などとやってしまいがちです。x^2−3x+2=0ならば、もちろんそれで正解ですが、この式はx^3−3x^2+2=0です。3次式はそのように因数分解することはできません。すればいいかと言うと、3次方程式や4次方程式では、「因数定理」を使うのが標準的ですね。「f(a)=0ならば、f(x)は(x−a)を因数にもつ」というやつです。これを使って、因数を見つけて、その因数で割り算をして次数を下げていく。x^3−3x^2+2に、x=1を代入してみると、1−3+2=0で、ちょうど都合のいいことに?ゼロになりました。いうことは、x^3−3x^2+2は、x−1を因数にもつことがわかります。x−1で割れば割り切れるのですね。割ってみると、(x^3−3x^2+2)÷(x−1)=x^2−2x−2となります。x^3−3x^2+2=(x−1)(x^2−2x−2)であることがわかりました。x^3−3x^2+2=0(x−1)(x^2−2x−2)=0です。この式が成り立つためには、それぞれの括弧の中がゼロになる必要があるので、x−1=0,x^2−2x−2=0ですね。あとはこれらを解けば、もとの3次方程式x^3−3x^2+2=0の解が得られる。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。2次不等式」x^2+ax+a+3>0が、xの値にかかわらず常に成り立つようなaの値の範囲を求めよ。この問題について考えます。公式的に解き方を覚えて、当てはめて計算するだけ。いうのは良い方法ではありません。グラフを考えて、その解き方が必然的にそうなる。ことを理解した方が良いです。「2次不等式がxの値にかかわらず成り立つ」とはどういう場合でしょうか?「xにどんな値を代入しても、式が成り立つ」ので、「xにどんな値を代入しても、常に式の値がプラス」ですね。y=x^2+ax+a+3という2次関数を考えれば、「xの値がいくつでも、yの値がプラス」です。xの2乗の係数がプラスなので、この2次関数は下に凸です。下に凸の放物線でyの値が常にプラスということは、2次関数のグラフとx軸は共有点を持たない。判別式D<0という条件になるのです。「D<0のとき、放物線とx軸は共有点を持たない」でしたね?だから、「2次不等式が常に成り立つ」ならば、「D<0」で解けば良いというわけです。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。2次方程式」いわゆる「判別式」は「2次方程式の解の判別式」であり、2次方程式の解の公式のルートの中身です。D=b^2−4acです。このDの値によって、2次方程式が解を持つか持たないかを調べることができます。2次関数y=f(x)とx軸との交点はf(x)=0の解なので、Dの値によって、2次関数とx軸との共有点の個数がわかります。共有点がわかれば、2次関数とx軸との位置関係もわかります。2次関数とx軸との位置関係がわかるならば、2次不等式f(x)>0が常に成り立つ場合も判別式で調べることができますね!他にもいくつかの応用例があるので、また別の記事で解説したいと思います。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。年齢:41職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/メールアドレス:j@a-ema.com一言:アプリ、メルマガ、電子書籍提供中です。http://amzn.to/2m9LTvNSeesaaブログ。