【基本】整式の導関数でも扱った内容ですが、一般的な状況で考えてみましょう。微分について考えてみます。f'(x)\end{eqnarray}となります。1行目は微分の定義です。1行目から2行目は、因数分解をしただけです。2行目から3行目は、定数倍の極限の性質を使っています(参考:【基本】関数の極限の性質)。微分可能であることも使っています。「定数倍の微分は、微分の定数倍」となることがわかります。和の微分を考えてみましょう。&=&f'(x)+g'(x)\end{eqnarray}となります。1行目は微分の定義です。1行目から2行目は、単純に足す順番を変えただけです。微分可能であることも使っています(参考:【基本】関数の極限の性質)。「和の微分は、微分の和」となります。微分を考えることもできます。微分可能(和だから)となります。ここまでの内容をまとめると、次のようになります。このとき、次が成り立つ。\end{eqnarray}1つ目と2つ目は、3つ目の特殊バージョン、と考えることもできます。すれば、2つ目が得られるからです。なることがわかります。差の微分は、微分の差になる、ということです。これらの内容は、以前に微分の内容を学んだときにも見た内容です。以前は、整式で表された関数、特に、三次関数を想定して考えていました。上の証明を見てもわかる通り、ここで見た性質は、「微分可能」という条件しか使っていません。三次関数の微分でも使えますが、もっと広く、微分可能ないろいろな関数で適用できる、ということです。いっても、まだ微分可能な関数にどんなものがあるか、具体的には見ていない状況なので、よくわからないですね。今後、微分可能な関数がどんどん増えていくのですが、しばらくの間は、具体的な関数の計算に入る前に、一般的な性質を見ていくことになります。おわりにここでは、和や定数倍の微分について見てきました。足してから微分しても、微分してから足しても、答えは同じです。定数倍のときも、どちらから先に計算しても構いません。証明は、定義に戻って計算することで示すことができます。