Z)$に関するEisenstein級数とcusp形式の間にはBernoulli数を割る素数を法として合同があることが知られています。cusp形式の(一般にはベクトル値の)Klingen-Eisensteinリフトと呼ばれる保型形式と他の保型形式の合同についてお話しします。これはスカラー値の場合は10年ほど前の水本信一郎氏との共同研究によるもので,今回はそれのベクトル値への一般化です。伊吹山知義氏による保型形式の空間上の微分作用素の明示公式です。次に,Harder予想についてお話します。Sym^j$のあるHecke固有形式の固有値とある素イデアルを法として関係することを主張します。今日までこの予想が解かれているのは(私の知る限り)ChenevierとLanessによる$(k,j)=(10,4)$の場合のみです。この予想が難しい理由の一つは上に述べた合同が2つのHecke固有形式の合同ではないことです。本講演では$f$のDuke-Imamoglu-IkedaリフトのKlingen-Eisensteinリフト(リフトのリフト!)とある別のリフトの間の合同に関する予想を述べます。(このリフトの存在はスカラー値の時は伊吹山氏によって予想され,本質的にはChenevier-Renardのある結果からベクトル値の場合も含めて示されるのですが,その詳細は跡部発氏のプレプリントarXiv:[math.NT]1810.09089v1にあります。この予想からHarder予想が導かれることを示します。最後に,最初に述べたことの応用として,私の予想が(それ故Harder予想が)成り立ついくつかの例を紹介します。H^2$上の2乗可積分関数の空間にトレース族の積分作用素$T_h$を定義します。いわゆるセルバーグ跡公式は$tr(T_h)$を$\Gamma$の共役類から決まる$h$(或いはそのHarish-Chandra変換)の汎関数の無限線型和で明示的に表す公式ですが、非コンパクトリーマン面のワイル法則、セルバーグ型ゼータ関数の構成や素測地線定理など多くの問題への応用をもちます。5次元対称空間$H^5=\SL_3(R)/SO(3)$に作用する$\Gamma=\SL_3(Z)$に対して、同様の明示的な「跡公式」を証明しようという試みはいくつかあったものの、完全に書き下された公式はこれまで知られていなかったようです。H^5$のワイル法則や熱核の微小時間展開への応用についてお話します。複数のデータ間の距離の定義は機械学習や画像認識といった応用の分野において非常に重要な問題である。本研究では、時系列データの距離について、それらのデータが非線形力学系から生成されるというモデルを据えて考察した。力学系が与えられると、あるHilbert空間(再生核Hilbert空間)の上にPerron-Frobenius作用素と呼ばれる線形作用素が自然に定義されるが、これを用いると距離を与える枠組みを構築できる。本講演ではこの枠組みに関する紹介を中心に、近年の力学系に付随する作用素を用いたデータ解析に関する先行の手法やそれらと本研究との比較、及び、それらに纏わる純粋な数学的問題やそれに対して得られている我々の結果、さらに、確率的な効果も考慮したランダム力学系への拡張も紹介したい。本研究は池田正弘氏(理研)、河原吉伸氏(九大)、澤野嘉宏氏(首都大)、橋本悠香氏(NTT)、藤井慶輔氏(名大)らとの共同研究に基づく。単位超立方体内の点集合のディスクレパンシーは、点集合の各点が超立方体内にどの程度一様に散らばっているかを測る量である。組合せ論的性質を紹介する。