groupと呼び、Similar(E)と書くことにします。合同変換は相似変換ですから、相似変換群は合同変換群を部分群として含みます。相似変換群はアフィン変換群と同様に平行移動群と原点の固定部分群の半直積として分解されますから、相似変換群の構造は原点Oの固定部分群GOの構造によって決まります。相似変換fから誘導される線形変換をφとすると、線長比と角度を保存することから次が成り立ちます。φの行列表現Aをλ-1倍すると直交行列になるので、GOは線長比のなす乗法群R+と直交群O(V2)の積に分解できることがわかります。R+はすべてのアフィン変換と可換なのでこの分解は群としての直積になっています。相似変換群Similar(E)は、平行移動群Trans(E)に内部自己同型によって線長比のなす乗法群R+と直交群O(V2)の直積を作用させた半直積に同型である。transformationという。groupと呼び、Equiv(E)と書くことにします。合同変換は等積変換ですから、等積変換群は合同変換群を部分群として含みます。等積変換群はアフィン変換群と同様に平行移動群と原点の固定部分群の半直積として分解されますから、等積変換群の構造は原点Oの固定部分群GOの構造によって決まります。等積変換fから誘導される線形変換をφとすると、面積を保存することは外積を使って次のように表現できます。1であることがわかります。直交群と同じように等積変換も行列式の符号で分類します。groupと呼ばれ、通常SL(2,R)と表記されます。Eq-(2,R)は部分群にはなりません。Eq(2,R)が原点を固定する等積変換全体のなす群となります。等積変換群Equiv(E)は、平行移動群Trans(E)に内部自己同型によってEq(V2,R)を作用させた半直積に同型である。