章の式(161a)で与えられる。klnqVk(136)となる。ν(137)で与えられる。ν2V(138)Vとなる。>は調和振動子の平均エネルギーである。式(56)と同じである。3NkBT(141)が得られる。分布における平均値は(12b)式によって与えられる。次のような関係にある。式と(104')、(105')式をそれぞれ比較せよ。/Y=β<V>、(143'')であるから。-(<V>/T)dP2(106b)*1である。kBlnY(108b)であることが分かる。lnY(109b)で与えられることが分かる。G)(110b)となる。(108a)~(110a)式と(108b)~(110b)式をそれぞれ比較せよ。P)(145)となる。これは熱力学的関係式(86)と同じである。分布において基本となる式で、ミクロカノニカル分布における式(92)、カノニカル分布における式(109a)に対応する。計算が実際上の問題となる。計算されれば、熱力学関係式によって、系の熱力学的性質は統計力学的に全て定められる。T)P(117b)が得られる。当然であるが、この式は(142')式より(116b)式と一致する事が分かる。この場合も、(142')、(143')式は任意の大きさの系に対して成り立つのであるが、特に系が巨視的大きさを持ち、エネルギーや体積の分布がその平均値の付近に鋭く集中している場合に、熱力学と完全な一致を見せる。V*で鋭い極大を持つ。対応する式は同じ番号を使うことにする。PV*)}(113b)となる。PV*と書いても差し支えない。ここで(114a)式を使った。PV*(115b)が得られる。分布によって取り扱ってみよう。NdV(146)となる。=αと置いて、次のように計算すればよい。式(109b)で結びついている。NkBT/P(150)と計算され、理想気体の状態方程式が導かれる。m)kB5/3/h2]}(152)と計算される。これはミクロカノニカル分布(95)やカノニカル分布(123)で得られた結果と一致している。式を使って求めることができる。=(3/2)NkBT(154)となるが、これはエネルギー等分配則を表している。グランドカノニカル分布グランドカノニカル分布グランドカノニカル分布における平均値は(12c)式によって与えられる。次のような関係にある(便宜上粒子の種類は一種類であるとする)。式を(104')、(105')式あるいは(142')、(143')式と比較せよ。β<P>(157'')であるから。μ(106c)である。Ξ(108c)であることが分かる。Ξ(109c)である。PV)(110c)となる。110b)式とそれぞれ比較せよ。対応する式は同じ番号を使うことにする。これは熱力学的関係式(91)と同じである。分布における式(109b)に対応する。力学的に全て定められる。Ξ/∂β)/T(117c)が得られる。(155')式を使って、上式は次のように書くこともできる。Ξ(116c)(155')、(156')、(157')式は任意の大きさの系に対して成り立つのであるが、特に系が巨視的大きさを持ち、エネルギーや粒子数の分布がその平均値の付近に鋭く集中している場合に、熱力学と完全な一致を見せる。N*で鋭い極大を持つ。N*μ)}(113c)となる。N*μと書いても差し支えない。ここで(114a)式を使った。N*μ(115c)が得られる。いう熱力学関係式と一致する。布によって取り扱ってみよう。この時まず求めるものは大分配関数Ξである。mkBT)3N/2(161)と書ける。qT(162)と求まる。式(109c)で結びついている。-(164)と計算され、理想気体の状態方程式が導かれる。NkBT(165)となり、同様に理想気体の状態方程式が求められる。N)(166)で与えられる。mkBT)T3(168)3/2となる。mkB)/h2]}(170)と求められる。これはミクロカノニカル分布などから得られた結果(95)、(123)、(152)と一致している。0、Q、Y)が最大になる分布が実現するということである。状態数/分配関数がすべての基本である。熱力学関数の関係式を導いたときと同じである。布関数を紹介したが、その重要性が理解できたと思う。これまでに考察した統計分布について、以下にまとめておく。章で考察した統計力学の基礎についてまとめを行う。一粒子近似では、一粒子状態の固有値εkが既知であれば、平均占有数<nk>を計算することができる。全系の温度、μは化学ポテンシャルである。57b)によって与えられる。μを定める条件と見なされる。=一定)には、(56b)、(57b)式はそれぞれ平均エネルギー、平均粒子数を与える。特殊な分布である点において、原理的な意味合いが違うことに注意するように。El)に関する分配関数である。統計とカノニカル統計の関係を見てみよう。N!(16・45b)(171)の関係にある(式(122)参照)。種の量子力学的粒子が区別がつかないことを考慮したためである。章の(31)式参照)。カノニカル分布において熱力学関数を与える式をもう一度ここに与えておく。分布はミクロカノニカル分布から導かれた。分布を導くこともできる。章で求めた式が得られる。章の計算は、カノニカル分布で取り扱えば、次のようになる。T(180)3N/2となる。T)=(3/2)NkBT2(181)が得られる。章の結果と同じである。平衡状態のの統計力学この講義の一番最初で、統計力学の定義を与えた。子的構造とそれを支配する力学法則に立脚し、これと確率論の理論とを結合することによって、微視的世界から巨視的世界へ導く演繹的な方法を用意するのが統計力学である。最初は意味が分からなかったこの文章も今ではかなり意味が分かってきたのではないだろうか。平衡状態の統計力学の考え方の大きな流れをまとめてみよう。値を計算すること(および、それによって巨視的現象を説明、解釈すること)である。