(無限降下法)を用いた証明を以下に示す。4]で表すことができる。{M}{N}}}(1)と表せる。用いて以下のように表すことができる。式に代入して整理すると以下の関係を得る。互いに素であるという仮定に矛盾する。無理数であることが示された。約分できることになり、矛盾となる。大きな整数の素因数分解は、素数の積の順序を除いて一意である)ことを利用する。{2}}}が有理数であると仮定する。bは互いに素な整数)と表す。(このような分数を既約分数と呼ぶ)。