命題3.4.2.5合同変換から誘導される線形変換はノルムと内積を保存する。groupと呼び、Cong(E)と書くことにします。合同変換群はアフィン変換群と同様に平行移動群と原点の固定部分群の半直積として分解されます。GOはCong(E)と同型である。このことから、合同変換群の構造も原点Oの固定部分群GOの構造によって決まることがわかります。以後、平面(E,V2)において正規直交座標系(O;e1,e2)を固定して考えます。=a11a12a21a22と行列表現され、二つのベクトルa,bが次のように座標表現されているとします。=λ2μ2このとき内積は次のように表現されます。μ2これに線形変換φを適用すると次のようになります。:=1001であることがわかります。matrixと呼ばれます。}であり、その核は正規部分群になり、それにより二つの剰余類に分解されます。これを行列式の符号で表します。groupと呼ばれ、通常SO(2)と表記されます。回転群SO(2)と鏡映変換の代表元との積で表されます。O(2)とおくと、合同変換群の原点の固定部分群GOは直交群O(V2)に一致することがわかりました。合同変換群Cong(E)は、平行移動群Trans(E)に内部自己同型によって直交群O(V2)を作用させた半直積に同型である。平面上の相似変換とは直線図形を相似な直線図形に写すもののことです。命題VI-4「等角な三角形において、等しい角を挟む辺どうしは比例し、それらの辺を挟む角が対応している。」と命題VI-5「二つの三角形の辺どうしが比例するとき、それらは等角であり、対応する辺に挟まれる角は等しい。」から、相似変換は「角度を保存すること」そして「線長比を保存すること」によって特徴付けられます。transformationであるとは、次の条件を満たすことである。