することが考えられる。反復合成写像および流れはフラクタルや力学系の研究に自然に現れる。ようにして作ることができる。このような鎖の全体は変換モノイドまたは合成モノイドと呼ばれるモノイドの代数的構造を持つ。一般に、変換モノイドは極めて複雑な構造を持つ。特筆すべき例のひとつはド・ラーム曲線(英語版)である。属する変換から可能な限りの組合せをとって得られる合成の鎖の全体は変換群を成す。全体は、写像の合成に関して群を成す。