一般の線形空間並びに行列空間の内積・ノルム・行列式を定義する。主要な線形Lie群について述べる。線形空間の内積とノルムここでは、体Kが実数Rあるいは複素数CであるときK上の線形空間について共通することについて述べます。productという。実数のときは共役は恒等写像と考え、用語は括弧内にものに置き換える。〉によって定義します。命題7.1.1.4内積が定義されたK上の線形空間V上のノルムは次の性質を満たす。〉によって定義します。命題7.1.1.7上の定義はK上のn次元線形空間Knの内積とノルムとしての性質を満たす。行列空間ここでは、K上の(n,n)行列のなす行列環M(n,K)について考えます。traceを次の式で定義します。:=n∑i=1aii命題7.1.2.3(n,n)行列A,Bの跡に関して次が成り立つ。matrixtAとは対角成分に関して折り返したものです。⋮a1na2n⋯ann命題7.1.2.6転置行列に関して次が成り立つ。matrixA†とは転置行列の共役です。⋮a1na2n⋯ann命題7.1.2.9随伴行列に関して次が成り立つ。行列環M(n,K)を線形空間と考えて、内積とノルムを次のように定義します。Rの場合、このノルムは第3章で定義した行列のノルムに一致します。命題7.1.2.12上の定義は行列環M(n,K)をK上のn2次元線形空間と考えたときの内積とノルムとしての性質を満たし、さらに行列の積に関して次が成り立つ。上段と下段は並べ替えの前と後に対応します。groupSnといいます。transpositionとは二つの数を入れ替える置換のことです。すべての置換は有限個の互換の積で表現することができます。この表現は一意ではありませんが、その表現を構成する互換の数が奇数か偶数かということは表現によらずに定まります。permutationといいます。:=1σが偶置換のとき-1σが奇置換のときと定めます。xnσ(n)によって定義します。命題7.1.3.5行列式に関して次が成り立つ。M(n,K)をn個のKnの直積の元と考えることができます。(a1,a2,⋯,an)このとき、行列式はn個のKnの直積上の関数と考えることができます。(a1,a2,⋯,an)命題7.1.3.8行列式は多重線形交代形式である。行列式はKnの元の列の線形独立性の判定に使うことができます。命題7.1.3.11Knのn個の元について次が成り立つ。行列は線形写像と考えることができ、(n,n)行列はn次元線形空間における線形変換と考えることができます。行列式が0でない行列は、基底となるn個の元の列を線形独立なn個の元の列に写すので線形同型写像を引き起こします。matrixが存在します。matrixと呼ばれます。groupと呼ばれます。groupと呼ばれます。これらは行列のノルムが定める距離によって、位相群(さらにはLie群)になっています。線形Lie群Kn上に内積とノルムが定義されたことによって、Knを形式的に幾何学的空間のように扱うことができるようになります。平面や空間における合同変換は、内積とノルムを保存する線形変換として特徴付けられましたが、Knにおいても内積とノルムを保存する線形変換を定義することができます。補題7.1.4.2Kn上の内積において、次が成り立つ。M(n,K)について、次は同値である。(a1,a2,⋯,an)はKnの正規直交基底である。groupO(n)といいます。groupU(n)といいます。groupと呼ばれます。groupといいます。groupSO(n)といいます。groupといいます。groupといいます。命題7.1.4.10O(n),U(n),SL(n,R),SL(n,C),SO(n),SU(n)は線形Lie群である。