与えられた円の中心を作図すること。εὑρεῖν.与えられた円の中心を作図すること。ABCを与えられた円とするとき、円ABCの中心を作図することが求められている。円ABCを通る任意の弦ABを引き、ABの中点をDとする[命題I-9]。DCをAB上Dから立つ垂線とする[命題I-11]。CDをEまで延長し、CEの中点をFとするとき[命題I-9]、Fが円ABCの中心であると主張する。Fが中心でないと仮定しよう。Gを円の中心であるとし、GA、GD、GBを結ぶ。二辺AD、DGはBD、DGにそれぞれ等しく、半径が等しいことから底辺GAはGBに等しい。したがって、角ADGとGDBは等しく[命題I-8]、直線の上に立つ直線において隣接角が互いに等しいならば、それは直角であるから[定義DI-10]、GDBは直角である。FDBも直角であるから、大きい角が小さい角に等しいこととなり矛盾である。よって、Gは円ABCの中心ではなく、同じようにF以外の点が円の中心になることはない。ゆえに、点Fが円ABCの中心である。系このことから次のことがわかる。円内の弦が他の弦によって垂直に二等分されるならば、円の中心は後者の上にある。これが求められていたことであった。