線形Lie群のLie環の概念を導入し、三次元単位球面による直交群の被覆がSU(2)の随伴表現と同じものであることを示す。解析的な議論を最小限にするために行列値関数の微分について必要な性質だけまとめます。⋮an1(t)an2(t)⋯ann(t)の微分とは各係数の微分がなす行列であると定義します。eXを定義することができます。命題7.5.2.2行列の指数関数について次が成り立つ。最初に代数構造としてのLie環を定義します。algebraという。次に線形Lie群のLie環を定義します。}を線形Lie群GのLie環という。M(n,K)により、実数体R上のLie環となる。matrixといいます。matrixといいます。system(O';o1,o2,o3)を考えます。物体座標系に固定されている物体の運動は物体座標系の時間変化によって記述することができます。SO(3)への写像で表現することができます。以後、時間量は線長量と同型であると仮定し、時間の単位を定めることによって実数Rと同一視することにしましょう。R(t)について考えます。Rが成り立っています。時刻0において世界座標系と物体座標系が一致すると仮定しましょう。これは次のように表現されます。E3物体の運動は滑らかであることが要請されます。これはR(t)が微分可能であるということと同等です。M(n,R)は常に存在します。vectorと呼ばれます。0より、交代行列となります。(3)は一致することがわかります。線形Lie群のLie環とは、線形Lie群の単位元における接ベクトル空間に他なりません。(3)の構造を調べてみましょう。(3)の元は交代行列ですから、対角成分は0であり、交代性から成分の決め方の自由度は三つしかありません。RJ3と表すことができます。Rが成り立っています。(2)の構造を調べてみましょう。H)という形をしています。Kと直和表現されます。対して次のように左から作用します。representationといいます。上の一般線形群への準同型であることがわかります。Ad(g)と同じものであり、次の定理が成り立ちます。SO(3)を引き起こし、その核は{E2,-E2}であり、次の群同型を誘導する。