四元数による空間の回転法と物体の運動表現法について述べる。前節において四元数のベクトルへの左あるいは右からの積による作用は、四元数の軸に垂直な平面上での向きを変えない相似変換を引き起こすことを示したが、これはベクトル空間上の変換にはならない。qpq-1qrq-1より、φqは積を保存する線形写像である。Tpより、大きさを保存する。0となり、φqはベクトル空間V3上の直交変換であることがわかる。Uq.pUKqより、φqはベルソルUqによってのみ定まる。pqより、qは大きさが1のスカラー±1である。φqは群の全射準同型であり、その核は{±1}となる。SO(V3)が誘導される。qαKqは、qの角度をθとするとその軸に関する反時計回りの2θだけの回転である。φqがV3上の回転であることがすでにわかっているので、任意のベクトルについても同じ回転である。q∈S3を指定すればよい。q1q0-1で表わす。proportionするとは、それらが定める回転が等しいことをいう。SO(V3)への微分可能写像で表現することができる。これは重心の並進運動を表わす並進群V3への写像T(t)と、重心の回りの回転運動を表わす回転群SO(V3)への写像R(t)に分離することができる。R(t))重心の回りの回転運動は三次元単位球面への写像と考えることができる。q(t)しかし、±q(t)が同じ回転を表すために、局所的な運動では問題ないが、大域的な運動を考える場合にこの影響が現れる。