実数の連続性を主張するデデキントの定理、その前提には、実数のデデキント切断、あるいは単に切断の定義があります。実数の構成は有理数の切断によってなされるので、有理数はデデキント切断ができるという命題が実数論全体の前提になります。その有理数から無理数を構成していく証明の中では、デデキント切断が、もちろん前提となっているわけですので、何度も根拠として活用されます。その際にデデキント切断の同値な定義、(ア)切断の両方を対象にした定義(命題)と、(イ)切断の片方のみを対象とした定義(命題)を使い分けることになります。このページでは、その(ア)と(イ)の二つの定義の同値性をきちんと証明したいと思います。いうのは、直感的にスッと読み飛ばせる個所ではありますが、このような個所をきちんと吟味して読みこなせるようになることが数学書の理解のポイントだろうと思うからです。以下に、高木貞治先生の有名な解析概論の付録Iの冒頭より、有理数の切断の定義(命題)を引用したいと思います。解析概論では、証明は省略されていますので、ここで示すように読者が自分で補えればベターということになります。ちなみに、デデキント切断の定義や、二つの命題の同値性の証明は実数においても有理数においても同じなので、以下では、解析概論のままに有理数の切断で証明を行いますが、有理数の個所をそのまま実数に置き換えて頂いても大丈夫です。(ア)切断の両方を対象にした定義(命題):有理数の全部を次の条件(1),(2)に従って二組*(部分集合)\(A,A’\)に分けるとき、それを切断という。各有理数は\(A\)あるいは\(A’\)のいずれか一方にのみ属する。\(A,A’\)は有理数の部分集合として互に余集合である。\(A\)に属する各有理数は\(A’\)に属する各有理数よりも小さい。