等しい円の等しい中心角あるいは円周角は、等しい弧の上に立つ。βεβηκυῖαι.等しい円の等しい中心角あるいは円周角は、等しい弧の上に立つ。ABCとDEFを等しい円とし、BGCとEHFをその等しい中心角とする。このとき、弧BKCはELFに等しいと主張する。円ABCとDEFは等しいから、それらの半径も等しい。このことから、二辺BG、GCと二辺EH、HFはそれぞれ等しく、角Gと角Hが等しいから、底辺BCは底辺EFに等しいことがわかる[命題I-4]。Aにおける円周角とDにおける円周角は等しいから、切片BACと切片EDFは等しい[定義DIII-11]。それらは等しい直線BCとEF上にある。等しい直線上の相似な切片は互いに等しいから[命題III-24]、切片BACと切片EDFは等しい。全体の円ABCは全体の円DEFに等しいから、残りの弧BKCは残りの弧ELFに等しい。ゆえに、等しい円の等しい中心角あるいは円周角は、等しい弧の上に立つ。これが証明すべきことであった。