Sensitivitiesの計測Sensitivitiesの計測は、殆どのリスクファクターにおいて、それ程難しいものではありません。株式や為替レートのように、金融商品の市場価格が、直接市場で観測されている場合は、極めてシンプルです。金融商品の価格を、モデルを使って計算する場合でも、Black-Scholesの公式のように、価格式が解析的に求まっている場合は、簡単に計算できます。複雑なオプションで、数値解析で価格を求める場合でも、計算時間を気にしなければ、リスクファクターを少しずらして価格計算を2回あるいは3回行い、1階差分や2階差分を計算すれば求まります。その場合、計算時間を短縮する為の、様々な計算テクニックもあります。金利オプションのように、モデルVolatilityを市場データにCalibrationする必要がある場合は、かなりやっかいです。モデルVolatilityに対するSensitivitiesの計測はそれ程難しくありませんが、Calibrationの対象となる市場Volatilityに対する感応度計算は、工夫が必要です。カーブやVolatilityキューブを滑らかにする手順が含まれます。市場データは、決してスムーズではないからです。すると、差分を計算する為に市場データを摂動させても、スムーズ化されてしまい、その影響が価格変化にダイレクトにつながらないからです。この辺りは、金利オプションモデル自体をきっちり理解しておく必要があるので、ここでの説明は避けたいと思います。Positionという呼び方をします。Cashは現金ではなく現物の意味です)から発生するSensitivitiesの計測は簡単です。ポジション額に価格の変化率を掛けた値がそのまま損益になるので、リミットの設定などはポジション額自体に設定する事で十分です。Bonds)については、ポジション額ではなく、金利に対する債券価格の感応度でリスク量を計測するのが一般的です。債券については、価格ではなく金利を市場リスクファクターと考えるのが一般的だからです。金利スワップなど、金利関連のデリバティブズも同様です。債券価格の金利変化に対する感応度は、債券の期間に依存し、期間が長いほど感応度は大きくなります。債券については、かつてデュレーションと呼ばれるリスク指標が使われていました(スワップが登場する頃まではこれが主流でしたし、今でもこのリスク指標を使っている金融機関は多数あると思います)。デュレーションとは、債券のクーポンと元本キャッシュフローの期間加重平均の事です。Duration)と呼び、この値が金利の微小変化率に対する価格変化率(債券価格の金利に対する微分)に相当します。債券の利回りを使った価格式は、一般的に下記のようになります。\]この価格式を利回り(上記式のy)で微分した値が修正デュレーションになります。\]上の式で分かる通り、債券価格式をyで微分すると、マイナスが付きます。これは、金利の動く方向と債券価格が動く方向が逆向き(金利が上がると価格が下がる)だからです。Value(BPV)と呼ばれるリスク量です。債券価格の式を使うと、次の様になります。Durationは価格式の金利に対する"微分"で、BPVは金利1bpの変化に対するポジション額の"差分"という微妙な違いはあるものの、両者とも、金利に対する感応度を別の方法で表現しているだけです。従って、下記式を使ってお互いに換算可能です。Durationと呼ばれており、この値に金利の変化幅を掛けた値が実際の損益変動額になります。pointとも呼ばれています)となります。債券だけのポジションのリスク量計測であれば、この値を使うので十分だと思います。計算で使われている債券の価格式は、内部収益率を使った計算方法なので、金利の期間構造が勘案されていません。BPV)と呼び、金利リスクの計測方法として実務で一般的に使われている手法です。Factorを、イールドカーブのPillar毎の金利を変数とする多変数の関数とみなし、各変数に対する偏微分を計算したものです。金融商品の価格式を再度下記します。対応したゼロクーポン金利です。動かして損益インパクトを計算する事も可能ですが、実務では一般的ではありません。すべてについてSensitivitiesの計測をする事になるからです。それらはParカーブから合成された観念的な金利であり、実際に取引きされている商品ではないので、ヘッジに使えません。Curveの金利を1bpだけ動かします。Curveの金利を変数とする関数とみなせます。対応する金利で、例えばLIBOR金利やスワップ金利を表す。変数とする多変数関数とみなせます。表現すると、\(PV()\)の金利に対する感応度は以下のように表現できます。具体的には、イールドカーブ構築のベースとなるPillarことの金利を、一か所だけ1bp動かしてイールドカーブを再構築し、その再構築されたカーブを使って、商品価格を再計算します。