aaを次のように定める。順序環の絶対値は順序加群としてのノルムに一致する。順序環Rの任意の二元a,bについて次が成り立つ。b証明(正値性)と(三角不等式)は順序加群のノルムの性質からでてくる。(積の保存)は可換環の積の性質からすぐにわかる。順序環R上の絶対値を負の部分R-に制限した写像は、R-からR+への半加群としての同型写像となる。この写像は積を保存し、順序は逆に写す。順序加群の対称性からでてくる。可差半環はそれを非負の部分とするような順序環に一意的に拡大することができる。可差半環は可差半加群の閉包であるから、可差半加群Sを対称化することによって順序加群Rに拡大することができる。Rに積が自然に定義され、それにより順序環となることを示せばよい。この乗法によりRが順序環になることを検証する作業は読者にゆだねたい。対称化によって可差半加群は順序加群に、可差半環は順序環になりますが、これらすべてに異なる記号を割り当てると記号が増えてわかりにくくなり、相互関係も不明ですので、今後は可差半加群はM+、それを対称化した順序加群をM、可差半環はR+、それを対称化した順序環をR、というように記号を節約して表すことにします。この用法を使った場合、無向量MといったときのMは、アルキメデス的可差半加群M+を対称化したものと解釈します。