(日)コーシー分布でブラック・ショールズ・モデル?最初に断わるが、これは失敗した実験の記録である。実験のアイデアは単純なもの。2項モデルの近似式としてブラック=ショールズ式が使えるが、2項モデルの話は当然、モンテカルロ法でやってもよいはず。distribution)の乱数を使ってみたら、どうなるかやってみよう......というのが今回のアイデアである。ブラック=ショールズ式が正規分布のブラウン運動なのだから、正規分布の乱数を使ってみるのは、元の2項モデルと同じ値になりそうだ......とまず考えた。次に、それができるなら、株価の変動は、べき分布(冪分布)だとよく言われるが、べき分布の一つであるコーシー分布の乱数を使ってみたら、ブラック=ショールズ・モデルにコーシー分布を適用したものになるのではないか......と考えた。結論を述べれば、正規分布の乱数を使うのは確かに2項モデルと変わらないように見える。モンテカルロ法はかなり粗い結果しか出ないので、そう見えるだけかもしれないが、そう言えそうに見える。コーシー分布を使うのは、分割したときの「ボラティリティ」にあたる値をどうすれば良いかがわからず、うまく適用できなかった。その点から、この実験は失敗だと言える。コーシー分布を使うと、外れ値が多くなるため、元のブラック=ショールズ式で求めるオプション価格よりかなり高い価格が必要になることは、なんとなくわかった。■2項モデルにモンテカルロ法を適用する。二項モデルから、ブラック=ショールズ式を導いている。そこではちゃんと数値計算で、オプション価格を求めているのであるが、確率を使う部分は、モンテカルロ法を使うこともできる。なるが、そこから核となる部分を抜き出したのが次のソースになる。モジュールをインストールする必要があるだろう。$TRIALS);}実に単純である。これを実行すると乱数を使っているので毎回結果が違うが、例えば次のようになる。付いているのは、ブラック=ショールズ式で求めた場合の近似値である。ボラティリティを大きくすると、かなり結果が不安定になる。上下二択の替わりに正規乱数を使う。}......とある部分を、次のように替える。オプションを指定すればよい。上よりも少し値が大きめに出ているようだが、だいたい同じ値と言えるのではないか。上下二択の替わりにコーシー分布の乱数を使う。}......とある部分を、次のように替える。オプションを指定すればよい。コーシー分布は「ファット・テール」で、裾野が広い。プロットしてみると次のようになる。0.0008ぐらいにすればよいようだ。単位を分割する数を増やせば、2項モデルはよりブラック=ショールズ式に近づく。数に応じて分散を小さくしているところがある。ここが効いて、正規乱数のときは、分割数を変えても結果にあまり変化が生じないようにしていたわけなのだが、これがコーシー分布ではうまくいかない。何かうまくいくための式があるのかもしれないが、私は知らない。そのため、分割数を変えると大きく値が変わってしまう。分割で生じることは、期間を1以上に設定する場合でも起きているはずだ。それはコーシー分布を使った解析としては意味のないものかもしれない。1、期間分割なしで、数値がどうなるか見てみよう。これに関しては誤差が大きくなるはずで、これで良い。問題は、正規分布の乱数を使った場合である。