part)に分けることができる。無限の超実数には標準部分がないが、有限の超実数には標準部分があり、「実数+無限小」の標準部分は、そこから無限小を取り除いた実数に等しい。極限は、変化が無限小の時の変化率の標準部分と定義する。導関数を求めてみよう。限りなくゼロに近いが、ゼロではないとする。その時、であるから、導関数は、その標準部分を取って、となる。論法と比べると、ニュートンやライプニッツの方法に近いように見えるが、実数と無限小/無限大を峻別している点で同じではない。いえ、実数と無限小/無限大がどのような関係なのかは超準解析において明らかではない。最小の正の実数との間に隙間があって、そこに無限小という超実数が位置しているのでもなければ、最大の正の実数の隣に無限大という超実数が固定的に存在するのでもない。実数数直線には、その連続性(continuity)からして、いかなる隙間もない。実数ではない超実数は、認識対象である実数数直線のどこかに客観的に存在する数ではなくて、認識作用の際限のなさという主観的な都合で作り出された数なのである。超実数の「超」は、認識対象を超えて、認識作用にまで及ぶという意味に解釈しなければならない。アキレスと亀のパラドックス無限のパラドックスは、微積分学が考案される前から指摘されていた。有名なのは、古代ギリシャの哲学者、パルメニデスあるいはその弟子のゼノンが考案したとされるアキレスと亀のパラドックスである。無限性のコペルニクス的転回がその難点をいかに解決するかを確認しよう。アキレスと亀[10]アキレスと亀のパラドックスとは、アキレスが、彼の一歩前を歩いている亀を追い抜こうとしても、アキレスが亀のいる地点に辿り着く間に、亀がアキレスの一歩前を進むということが無限に繰り返されるために、駿足のアキレスがいつまでたってものろまな亀を追い抜くことができないという逆説である。この問題を数学的に考えてみよう。あるから、この無限等比級数は収束する。よって、求める距離は、という有限な値になる。距離が有限であるから、追いつくまでの時間もと有限になる。ゼノンはどこで間違っているのか。アリストテレスは、次のように述べている。ゼノンの議論は、有限な時間ではいかなる無限の物にも追いついたり追い越したりすることは不可能だと主張している点で間違っている。いうのも、長さであれ、時間であれ、何であれ、一般に連続的なものが「無限」と呼ばれる意味には、無限分割と無限延長の二つあり、有限な時間で量的に無限なものに追いつくことは不可能であるが、無限分割の方は、時間自体も無限に分割できる以上、可能であるからだ。[11]もしもゼノンがこの説明を聞いたなら、納得しただろうか。彼ならば、あるいは、アキレスが亀を追い抜くまでの時間が無限に分割可能なら、その時は永遠に来ないというような詭弁を弄したかもしれない。した混乱を避けるためには、分割される時間と分割する時間を区別しなければいけない。各分割に一定の時間がかかるとするならば、無限分割には無限に長い時間がかかるだろう。それは分割する主観の時間であって、分割される対象の時間は、そしてそれに対応する距離は、有限な長さしか持たない。このように、アキレスと亀のパラドックスも、客観的な無限を主観的行為の無限に帰属させるコペルニクス的転回によって解決される。無限に分割できるのかとか、宇宙は無限の大きさを持つのかといった物理学的な問題は実証的に検証されるべきであって、そうした物理学的問題と純粋に理論的に解決される数学的な問題は区別しなければならない[12]。幾何学的に定義された完全な円が現実の世界に存在しないことからもわかるように、数学が扱うイデアールな対象と実証科学が扱うレアールな対象は異なる。無限小や無限大は、レアールな対象の属性でもなければ、イデアールな対象の属性ですらなく、イデアールな対象に対する認識行為の属性であるというのが本稿の結論である。私たちには有限な認識能力しかないので、イデアールな対象、あるいはレアールな対象に、私たちが無限小あるいは無限大と呼んでいる概念に対応する対象があるかどうかは、わからない。わからないからこそ、無限小や無限大という概念があるということもできる。私たちが無限を認識することができるのは、私たちの認識能力が無限ではないからである。言い換えるならば、無限の認識能力を持つ無限な存在者と私たちが想像する神には、いかなる無限も存在しないであろうということである。物理学者によると、時空を小さく分割するほど量子のゆらぎが激しくなり、プランク長(1.616×10−35メートル)とプランク長に等しい距離を真空中における光速度で通過するのに必要な時間であるプランク時間(5.391×10−44秒)よりも小さな時空の単位は意味をなさない。これに異論を唱える物理学者もいる。宇宙が有限か無限かに関しても、コンセンサスは得られていない。そこでの説明には図形は用いられていません。微積分を図形的に考えていたという点ではライプニッツもニュートンと同じなのですが、図形的に説明したからといって、無限小をゼロかつゼロでないと扱う矛盾を免れることができるというわけではありません。冒頭の微分の計算はどちらかというとライプニッツが行ったものに近いです.わかりやすさを優先してライプニッツの表記法を採用しましたが、表記法がライプニッツ的であるかニュートン的であるかということは本質的なことではありません。超準解析は無限小と無限大という数を実数の上に拡大した体系の元で議論されるものと思います「実数の上に拡大した体系」ということがどういうことなのかを哲学的に考察しようというのが本稿の趣旨です。超準解析の意義ですがε-δ論法の矛盾というよりかはこれによってオイラーのような無限小解析が展開できることであると思います.(そもそも,ε-δ論法は極限の定義(公理)であり間違っている判断はできない元と思いますが....)私は、ε-δ論法が矛盾しているとも間違っているとも言っていません。ε-δ論法は、ニュートン・ライプニッツの矛盾を回避することに成功しているが、それは無限小を排除することに成功したからではないというのが私の主張です。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント名前メールアドレスウェブサイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。free".冒頭に戻る。