永井俊哉ドットコムこのサイトについて著者の略歴と著作コメント投稿規定メール英語版このウェブサイトはクッキーを利用し、アフィリエイト・リンクを含んでいます。サイトの使用を続けることで、プライバシー・ポリシーに同意したとみなします。2019年9月17日TwitterFacebookLinkedIn微積分学が創設された当時、極限は無限小や無限大といった無限概念を用いて求められていた。ε-δ(イプシロン-デルタ)論法や超準解析などの方法が考案された。数学者たちは自覚していないが、これらの方法は、カントの超越論的観念論によって成し遂げられた哲学的なパラダイム転換によって基礎付けられる。現代の方法は、「無限自体」の認識を断念し、《無限の認識》を《認識の無限》へと転換するコペルニクス的転回によって、無限のパラドックスを解消しているのである。無限とは何かという問題は、古代ギリシャのゼノンが提起して以来、重要な哲学的問題であったが、アイザック・ニュートンやゴットフリート・ライプニッツが17世紀に微積分学を創設したことで、改めて考えられることになった。当時は、関数の極限を求める際の無限小(infinitesimal)や無限大(infinity)の扱い方は粗雑であった。導関数を求めるという簡単なケースで確認しよう。限りなくある値に近づくときの微分商の極限を求めることで得られる。2次関数の導関数は、以下のようになる。hで約分すると、となる。近づくので、という結論になる。ゼロとみなしているのだから、矛盾していると言わざるをえない。無限にゼロに近づくのだから、同じような問題が生じる。ニュートンが『プリンキピア』を出版したのは1687年であるが、1734年には、ジョージ・バークリーが、この点を指摘して、ニュートンを批判した[1]。論法は、オーギュスタン=ルイ・コーシー[2]、ベルナルト・ボルツァーノ[3]の試みを経て、1861年にカール・ワイエルシュトラス[4]によって完成された。論法では、無限小の概念を用いずに極限を求めることができるというのが一般的な認識である。論法を用いて、証明しよう。論法により、と言うことができる。論法は、無限概念の追放に表面的には成功している。全称記号(∀)で全称量化されている。より小さな数値を代入し続ける作業の際限の無さへと変化しただけと評することができる。論法の意義は、極限における有限と無限を分割し、後者を認識対象の属性から認識作用の属性へと振り替えたところにある。それは、カントが『純粋理性批判』で行ったコペルニクス的転回とよく似ている。コペルニクス的転回とは、本来、「観察された運動を天空の諸対象の中ではなくて、その観察者の中に求めること[5]」であり、形而上学においては、無制約者を認識対象ではなくて、認識作用に求める思考の転回である。私たちの経験認識が物自体としての諸対象に従うものと想定されるなら、無制約者は矛盾なしには全く考えられないこと、これに対して、私たちに与えられるままの事物についての私たちの表象が、物自体としての事物に従わず、これらの対象がむしろ現象として、私たちの表象の仕方に従うと想定すれば、矛盾はなくなること、またしたがって、無制約者とは、私たちが知る限りの事物については見出されないが、おそらく私たちの知らない範囲の、すなわち物自体としての事物について見出されるのでなければならないことが知られるとすれば、明らかに私たちが最初たんに試みとして想定したこと[コペルニクス的転回]が基礎付けられことになる。[6]この引用の後半部分からわかるように、カントは、物自体は無限(無制約的)と推測していた。カントがそう主張したように、私たちが物自体について何も知りえない以上、物自体が無限かどうかも分からないと言わなければならない。この引用の前半部分に書かれているように、無限という無制約者は、表象される対象ではなくて、表象する仕方に求められなければならない。無限分割が可能かどうかという問題は、カントの『純粋理性批判』では、宇宙論的理念の第二番目の二律背反を帰結する。カントによれば、空間の無限分割の原理は、認識対象を構成する原理ではなくて、認識作用を統制する原理である。無限分割は可能であり、かつ可能でないという二律背反は、統制的原理を構成的原理と誤解することで生じる仮象である[7]というのがカントの結論である。論法の開発者の一人、ボルツァーノは、もしもこのようにカント的に解釈されるのを聞いたなら、きっと異議を唱えたことだろう。sich)を彼の知識学(Wissenschaftslehre)の対象にした客観主義的な哲学の提唱者だったからだ。彼が『無限のパラドックス』という著書を書き、半直線が無限なら、その半直線に有限な長さの線分を足したものは、最初の無限よりも長いのかとか、直線は無限の長さを持つ半直線よりも無限の長さの分だけ長いのかといった問題を提起し[8]、無限がパラドックスを帰結することを指摘したのも、彼が無限をコペルニクス的に転回しなかったことが原因である。無限大とは任意の数よりも大きな数であるが、この客観的な定義をコペルニクス的に転回するならば、無限大とは大きすぎて認識主観にとって計測不可能な大きさという主観的な定義になる。この定義で解釈すると、半直線も半直線プラス線分も直線も長すぎて長さを計測できず、したがって長短の順番もわからないという結論になり、ボルツァーノの逆説も逆説的ではなくなる。論法によって極限から無限概念を排除することに成功したと信じていたのも、真理とは認識主体とは独立に認識対象に帰属するという素朴な客観主義を前提にしていたからだということができる。無限を認識対象から認識作用へと排除することで、無限を目立たなくさせることはできるが、無限はなくなったわけではない。論法は有限と無限を区別した点で正しかったが、無限が排除されたのではない以上、有限と無限の区別を維持しつつ、無限を再び可視化する必要が出てくる。1960年代から登場した超準解析の意義はそこにある。Robinson)がその考えを公表して[9]以来、無限小や無限大を数学的に厳密に扱うアプローチとして注目されている。Calculus)』をオンライン上で無料公開しているので、それをもとに簡単に紹介しよう。超準解析においては、無限小や無限大を扱うために実数概念が拡張され、実数の集合に無限小や無限大の集合を含めた数の集合は超実数体と呼ばれる。number)と呼ばれる。