[空間図形]上の図4はある立体の展開図で、図1〜3で示されたア〜オの部品を使って作られています。この立体の体積は何cm3でしょうか。以下のような条件になっています。図3は斜辺の長さが図1の正三角形ABCの一辺と等しい直角二等辺三角形DEFを作り、さらに長さが図2のMNと等しくなるようにEFの平行線PQをひいたもので、DE=1cmとなっています。2.解答例1(ありっちさん、わかさひ君たーぼさん、M.Hossieさん、せんださん、mhayashiさん、他)正三角形ABCの1辺の長さをaとします。題意より、DE=a/√2=1、よってa=√2。求める立体は下図のようになります。真ん中にできた1辺a/2の正六角形で2つの立体に切断します。上側の立体(体積をV1とします)は、下図のように1辺3/2×aの正四面体から、1辺aの正四面体を1個、1辺a/2の正四面体を3個取り除いたものになります。1辺aの正四面体の体積をV0とすると、h=√(a2−(√3/3a)2)=√6/3a。V0=1/3×{1/2×a×√3/2a}×√6/3a=√2/12×a3。V1=V0×(3/2)3−V0−V0×(1/2)3×3=V0×2=√2/12×(√2)3×2=2/3cm3。下側の立体(体積をV2とします)は、下図のように1辺3/2×aの正三角錐から、1辺aの正三角錐を1個、1辺a/2の正三角錐を3個取り除いたものになります。1辺aの正三角錐の体積をV0'とすると、h'=√((√2/2a)2−(√3/3a)2)=√6/6a=h/2。V0'=1/3×{1/2×a×√3/2a}×√6/6a=√2/24×a3=V0/2。V2=V0'×(3/2)3−V0'−V0'×(1/2)3×3=V0'×2=V1/2=1/3cm3。よって、求める立体の体積=V1+V2=2/3+1/3=1cm3となります。答:1cm33.解答例2(長野美光さん、ヒデー王子さん、C-Dさん、トトロ@Nさん、あすとさん、あんみつさん、中村明海さん、糸瀬善人さん、H.Takaiさん、noetherさん、他)上側の立体は、下図のように1辺aの正八面体を2等分したものに等しくなります。1辺aの正八面体の体積は、1辺aの正四面体の体積の4倍であり、1辺aの正四面体の体積は、1辺bの立方体の体積の1/3となります。(参考:第176回問題)よって、V1=1×1/3×4×1/2=2/3cm3。下側の立体は、下図のように1辺bの立方体の半分から1辺aの正三角錐1個を除いたものに等しくなります。体積=1/3×1/2b2×b=1/6b3。よって、V2=b3×1/2−1/6b3=1/6b3=1/3cm3。従って、求める立体の体積=V1+V2=2/3+1/3=1cm3となります。