自分のブログログアウトねむねこ幻想郷ネムネコ・ファミリーのために、大昔に書いたファンタジー小説を公開。数学のサイトではありません。❍、☓で答える6つの問題が与えられている。いまこの解答にするのに何も考えずにでたらめに❍、×をつけるとき、そのうちの正解数をXとする。X≧3になる確率を求めよ。Xの平均値(期待値)と標準偏差を求めよ。正解数の分布は2項分布。日本人の血液型の10人に3人の割合がO型である。5人の日本人を選んだとき、そのうちのO型の人数をXとする。Xはどのような分布に従うか。Xの期待値と標準偏差を求めよ。南方系のある人種から5人を選んだとき、そのうちの4人がO型であった。この人種が日本人よりもOがたが多いと判定したときの危険率を求めよ。2項分布B(5,0.3)に従う。日本人とO型の割合が等しいと仮定する。p=0.3として、P(X≧4)の確率を計算するとよって、危険率は3%である。「南方系のある人種の人たちに占めるO型のヒトの割合が日本人のそれと等しい」という仮説を立てると、5人中4人がO型である確率は0.03で非常にまれなことが起きているということになる。さいころを50回投げるとき、1の目が出る回数をXとする。Xがいくらのとき確率は最大になるか。Xの平均値を求め、(1)で求めた値と比較せよ。X=kのとき確率が最大とすると、よって、8回のとき最大。平均値(期待値)は8は平均50/6に最も近い整数である。袋の中に赤球1個、白球4個が入っている。この中から1個取り出して、もとに戻すことを3回繰り返す。この場合、赤の出る回数をXとして、Xの確率分布を求めよ。取り出した球を戻すので、赤球の出る確率p=1/5、白球の出る確率q=4/5。この問題の場合n=3。Xの取りうる値は0、1、2、3。X=rの時の確率をP(X=r)と書くことにすると、したがって、確率分布は次のようになる。(解答終了)この問題には出ていないけれど、赤球の出る回数rの期待値mはである。変量Xが0、1、・・・・・・、nの値をとり、それらの値をとる確率がで与えられる確率分布を2項分布という。その平均・期待値m、標準偏差σはである。(2)、(3)を使えば、問1の平均値、標準偏差はと、複雑な計算をすることなく、すぐに求めることができる。10%の不合格品を含む同じ製品の一山がある。この中から任意に4個を取り出すとき、その中に含まれる不良品の数Xで確率分布の表で示し、Xの平均値、標準偏差を求めよ。1回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、n回の試行の内、事象Aが最も起こりやすい回数を求めよ。最大になるとすると、したがって、そこで、1より2に対しては、3のkをk+1と置き換えて、不等号の向きを入れ替えると、3と4より、を満たす整数kのとき、事象Aは最も起こりやすい。1個のさいころを40回投げるとき、1つの目が何回出る確率が最も高いか。【解】n=40、p=1/6。(4)よりよって、6回のとき確率は最大になる。変数Xが連続な値をとるとき、Xを連続型の確率変数といい、X<xである確率P(X<x)がで与えられるとき、F(x)を分布関数といい、その導関数をxの確率密度関数という。xがある範囲にに存在する確率は、y=f(x)のグラフのその範囲の面積と等しい。変数Xの変域をa≦x≦bとし、確率密度関数をf(x)、平均をm、分散をσ2とすると、である。なり、と書くと、分散V(x)はになる。確率変数Xの従う確率分布の密度関数f(x)がであるとき、次の問いに答えよ。P(3≦X≦5)の値を求めよ。P(7≦X)の値を求めよ。Xの平均E(X)を求めよ。Xの標準偏差D(X)を求めよ。あるバスの停留所の発車時刻は毎時0分、15分、35分の3回である。この発車時刻をまったく知らない人が、停留場へ来て待たされる時間の期待値を求めよ。なるようなaの値を求めよ。【解】したがって、a=0.2とすると、よって、a=0.2(解答終了)なのですが、a=0.2であることに気づく人はどれだけいるのだろう。試験会場で、これはチョット気づかないだろう。条件より0<a<0.5で、だから、a=0.2と気づけということか。とおくと、だから、ニュートン法を用い、x0=0として計算すると、次のようになる。計算の初期値としてx0=0.232を選べば、1、2回計算すれば、a=0.2であることに気づくのではないか。半径aの円Oの周上の1点Aから任意の方向に弦を引くとき、それらの弦の長さの平均を求めよ。弦の長さが半径より大となる確率を求めよ。円の中心Oを原点、Aを(−a,0)、Bを(a,0)とし、周上の点をPとする。確率変数と確率分布1〜6の目をもつサイコロを振り、出た目をXとすると、Xの目が出る確率は、次のようになる。X=1と、Xの値が決まれば、その確率と定められる。一般的に書くと、次のようになる。与えられているとき、Xを確率変数という。対応関係を確率分布という。1枚の硬貨を2回投げるとき、表の出る回数を確率変数Xとして、Xの確率分布を求めよ。【解】(1回目の結果、2回目の結果)と書くことにすると、全事象は、(裏,裏)、(裏,表)、(表,裏)、(表,表)の4通り。表が0回出るのは、(裏,裏)の1通り。したがって、表が0回出る確率は表が1回出るのは、(裏,表)、(表,裏)の2通り。したがって、表が1回出る確率は表が2回出るのは(表,表)の1通り。したがって、表が2回出る確率はよって、確率分布は次の通り。10本のくじがあって、そのうち、2本が当たりくじとする。mなどであらわし、確率変数の平均値、期待値という。V(x)、σ2で表し、確率変数の分散という。分散の正の平方根を標準偏差という。白球4個と赤球3個が入っている袋から2個の珠を同時に取り出すとき、その中に含まれる白球の個数の確率分布を求めよ。