右の(度数)表に表される、2つの異なる試料の集団AとBがあるとする。この度数表を元にAとBの平均値を計算すると、Aは48.5、Bは47.2とそれほど変わらない。最頻値・モードは45、メディアン・中央値も45である。それにも関わらず、度数多角形(度数折れ線グラフ)を見ると、資料の値のバラツキ、散らばりの具合が集団Bの方が大きいことがわかる。した資料の値の散らばりの度合いを示す数を分散度といい、標準偏差はその最も代表的なものである。平均をmすなわちとすると、標準偏差σは、である。5、8、9、14、14の標準偏差を求めよ。平均値mはしたがって、平均値からの偏差は、それぞれ−5、−2、−1、4、4だからよって、標準偏差は3.5。標準偏差は、次の式を用いて計算できることを示せ。右辺第2項は右辺第3項はよって、(解答終了)この公式を用い、問1の標準偏差を計算すると、となり、計算結果は一致する。xの平均値をm、標準偏差をσとするとき、であることを証明せよ。図のように、資料をいくつかの階級(区間)に分け、階級ごとの度数を表にしたもの。ここでの階級0〜10は0以上10未満であり、階級の幅は10である。ヒストグラム横軸に資料の数値、縦軸に度数をとり、階級の幅を1辺、その階級の度数を高さとする長方形を書き、度数の分布を表したグラフ。ヒストグラムの各長方形の城辺の頂点を順に結び、両端では階級の幅の半分だけ外側に点をとって結んだもの。度数の和を、その階級の累積度数という。10≦x≦19と考えると(2)10≦x<20と考えるとの2通りが考えられる。(2)を採用することにする。あるとき、平均値mはである。度数分布表から平均値を求めるには、階級値と度数を用いてと計算する。上の例だと、度数が最も大きい階級は40〜50だから、その階級値である45がモードになる。メディアン(中央値)資料を大きさの順にならべたとき、中央にくる数値。資料の個数が偶数個のとき、中央の2つの値の平均値とする。資料がが5個の場合、3番目の21がメディアン(中央値)になる。資料の数が6個で偶数の場合、3番目の21と4番目の22の平均値がメディアンになる。表の場合、資料の個数は100だから、中央の2つの値は、資料の値の順にならべた、50番と51番目の値。累積度数を見ると、これは階級40〜50に属するので、メディアンはその階級値である45になる。私が高校時代に使っていた(受験参考書)にしたがうと、以下のように求める。総数100、100÷2=50。累積度数を見ると、これは40〜50の階級に属する。得点が上昇していると考え、をメディアンと定める。資料の数が100で偶数だから50番目と51番目の真ん中を50.5番目と考え、とするほうがいいのでしょう。ちなみに、この度数分布表を作成するにあたって用いたデータ――平均値50、標準偏差20の正規分布もどき――の50番目と51番目の値は45。中学数学レベルのメディアンの値が元のデータと一致している!!また、度数分布表から計算した平均値は47.2であるが、元の資料の平均値は46.68で一致しない。(2)ではなく(1)の階級値を採用すると、平均値は46.7となり、この資料の場合、(1)の階級値を採用したほうが精度は高いようだ。右の表から平均値、モード、メディアンを求めよ。右の表を元に、次の表を作る。すると、平均値は58点。モード(最頻値)は55点。資料の個数は40なので、中央の値は20番目と21番目の値の平均値。これは階級値55に属するので、(中学数学の)メディアン(中央値)は55点。確率と数列の極限の問題を幾つか紹介し、それを解くことにする。1つのさいころを振って1が出れば甲の価値、6が出れば乙の勝ちとして、さいころを振ることを止め、1と6以外の他の目が出たら、繰り返して降るものとする。さいころを振る回数をn回までとしたとき、甲の勝つ確率を求めよ。回数を制限しないとき、甲の勝つ確率を求めよ。(2)よって、甲が勝つ確率は1/2である。(解答終了)甲がk回目で勝つ場合は、k−1回連続で2〜5の目が出て、k回目に1が出る場合。2〜5の目が出る確率はしたがって、k−1回連続で2〜5の目が出る確率はk回目に1が出る確率は1/6だから、甲がk回目で勝つ確率はである。一度命中した次に引き続き命中する確率は0.8であり、外れた次に引き続き外れる確率は0.4であるという。するとき、次の問いに答えよ。