2018/12/28和の計算(シグマの計算)において重要な、二乗の和の公式の証明を分かりやすく解説します。n^2$は$\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$になります。7=14$となり、確かに公式は成立しています。この公式を2通りの方法で証明してみます。証明方法その1まずは、多くの数学の教科書に載っている定番の方法です。2+1$$\vdots$$(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$となります。右辺は$3\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2+3\sum_{k=1}^nk+n\\=3\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2+3\cdot\dfrac{1}{2}n(n+1)+n$となります。いう公式を使いました。+(n+1)^3\\=(n+1)^3-1^3\\=n^3+3n^2+3n$となります。途中でほとんどの項が打ち消しあって無くなるのがポイントです。以上から、$3\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2+3\cdot\dfrac{1}{2}n(n+1)+n\\=n^3+3n^2+3n$となります。以外を右辺に移項して整理すると、$3\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2\\=n^3+3n^2+3n-\dfrac{3}{2}n(n+1)-n\\=n^3+\dfrac{3}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n\\=\dfrac{1}{2}n(2n^2+3n+1)\\=\dfrac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$となります。よって、両辺を3で割ると、$\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$となり二乗の和の公式を証明できました。証明方法その2次は、別の方法で$\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$を証明します。$x(x+1)(x+2)-(x-1)x(x+1)\\=3x^2+3x$という関係式を使って証明します。上の関係式を確認してみます。3\\=3x^2+3x$となっています。4\\+\dots\\+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)\\=n(n+1)(n+2)$となります。証明1と同じように、途中の項はほとんど打ち消し合います。右辺は$3\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2+3\sum_{k=1}^nk$となります。以上から、$3\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2+3\sum_{k=1}^nk\\=n(n+1)(n+2)$となります。いう公式を使って計算していくと、$3\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2\\=n(n+1)(n+2)-\dfrac{3}{2}n(n+1)\\=n(n+1)\{(n+2-\frac{3}{2})\}\\=n(n+1)\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\\=\dfrac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$となります。最後に両辺を3で割ると、$\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$という公式が証明できました。