Problem)計算複雑性理論(計算量理論)におけるクラスPとクラスNPが等しくない。Equation)3次元空間と(1次元の)時間の中で、初期速度を与えると、ナビエ–ストークス方程式の解となる速度ベクトル場と圧力のスカラー場が存在して、双方とも滑らかで大域的に定義されるか。Conjecture)複素解析多様体のあるホモロジー類は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろう。Conjecture)単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である。s=1における零点の位数と一致する。上記がミレニアム懸賞問題として発表されている7つの未解決問題になります。僕自身は、大学院で数論幾何と呼ばれる数学の分野を研究していたので、それに属する「リーマン予想」、「ホッジ予想」、「バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想」の主張は理解できますが、そのほかの問題に関しては正確な意味を理解できておらず、ザックリとしたイメージでしか問題を捉えられていません。ミレニアム懸賞問題の難易度って?ミレニアム懸賞問題は、どれも数学の中でも群を抜いた難解な問題ですが、あくまで一般の方が問題の意味を理解しようとした時の難易度をご紹介します。比較的簡単なものここで言う「比較的簡単」というのは、「主張の雰囲気をつかむだけなら他の問題よりはマシ」というレベルの意味です。問題の主張を表面的に理解する難易度と実際に解く難易度は比例しないことに注意してください。リーマン予想ゼータ関数の零点(=その関数の値が0になる点)の分布に関する予想です。予想の意味を理解するだけなら高校で習う複素数平面を知っていれば簡単です。ゼータ関数が複素数の範囲でどう定義されるかをきちんと理解するには解析接続(大学2〜3年レベル)の知識が必要です。リーマン予想の主張は、ものすごく大雑把に言ってしまえば、「ゼータ関数のグラフを複素平面上で書いたら、ゼータ関数の値=0になるような点は、全て実部が1/2になるだろう」と言うものです。「P」と「NP」は、それぞれ計算複雑性理論で登場する計算量を表すクラス(=集合みたいなもの)です。このPクラスとNPクラスが等しくないであろうと言う予想がこのP≠NP問題です。位相幾何学と呼ばれる分野に属する問題です。予想の中に現れる「多様体」とは、形をグニャグニャと変えられるゴムボールのような図形のことです。「単連結」とは、この図形に「穴」がない(=ドーナツみたいな形になってない)と言うことを意味しています。ポアンカレ予想とは、もう少し簡単に言い換えると、「穴の空いてない形が自由に変えられる三次元の図形は、”適切な変形”をすると三次元の球面と同じものと思える」という風に言い換えることができます。このポアンカレ予想だけは、先に紹介した通りグレゴリー・ペレルマンによって証明がされ、正しいことがわかっています。ちなみに、ペレルマンは、直接このポアンカレ予想を解決したわけではなく、それよりももっと一般化された「サーストンの幾何化予想」と呼ばれる予想を解決し、その系としてこのポアンカレ予想を解決するという離れ業をやってのけたことで、当時の数学界に大きな衝撃を与えました。ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ流体力学(=液体や気体の運動を研究する)の分野での基本方程式であるナビエ–ストークス方程式という複雑な微分方程式が「それなりに性質のよい解」を持つかどうか判定せよという問題です。主張の理解には専門の勉強を必要とするものバーチ・スウィンナートン–ダイアー予想(BSD予想)数論の分野における未解決問題です。主張を無理やり簡単にイメージだけ伝えるとすれば、「同じ楕円曲線(図形)から作られたアーベル群という代数的な対象と、L関数と呼ばれる解析的な対象に密接な関連性があるだろう」と言えます。代数の世界と解析の世界を橋渡ししてくれる予想として、数論の分野では非常に重要な問題と考えられています。代数幾何学に属する問題です。もので、ここではイメージを解説することは難しいです。量子色力学に属する問題です。僕も何を言っているのかわかりません。難しい問題は?この7つ(6つ)の問題の中で、本質的にもっとも難しいと考えられている問題は、おそらく「リーマン予想」です。問題の難しさを一概に比べることはできませんが、その問題がどれくらいの間未解決であるかをその問題の難易度として定義すれば、「リーマン予想」がそれになります。「リーマン予想」はドイツの数学者ベルンハルト・リーマンによって1859年に提唱されて以来、約150年間もの間未解決です。リーマン予想の主題になっているゼータ関数が、解析的に定義される関数であることから長いこと解析的整数論による解決が試みられていましたが、最近では、保型形式論や量子論、数論幾何の枠組みでリーマン予想を捉えるのがスタンダードになりつつあります。両数学者によって、F1代数(あるいは、絶対数学)と呼ばれる新しい数学によるアプローチが活発に行われています。最後に、ミレニアム懸賞問題をより深く理解するためにおすすめの書籍をご紹介します。amazon.co.jpミレニアム懸賞問題を扱った一般向けの解説書です。数学の専門家でなくても、数学に興味がある人が理解できるようにミレニアム懸賞問題を解説してくれています。この記事よりも一歩踏み込んだ全体像を掴みたい方におすすめです。amazon.co.jpミレニアム懸賞問題のそれぞれに、その分野の専門家による解説を書いてもらった物を一つにまとめた書籍です。専門家による深い解説や予想解決に向けた取り組みなどを知ることができる絶好の書籍です。数学者による解説のため、多少の数学的知識は必要ですがそれでも読み物としての面白さもあるのでぜひ読んでもらいたいです。amazon.co.jp数学×青春小説をテーマにした「数学ガールシリーズ」の最新刊です。ミレニアム懸賞問題のうち、唯一解決がされている「ポアンカレ予想」に焦点を当てたこの書籍では、筆者自らがポアンカレ予想の証明を理解していく過程をそのまま、小説の主人公に託して展開してくれます。平易なレベルからスタートしていつの間にか最高峰まで読者を案内する筆者の技量は見事です。ちなみに、「リーマン予想」についてはシリーズ第1巻が詳しいのでそちらも合わせてどうぞ。amazon.co.jp「ポアンカレ予想」を解決したグレゴリー・ペレルマンの姿に迫るノンフィクション小説です。実は、ペレルマンは「ポアンカレ予想」の解決に成功したにも関わらず、賞金の100万ドルの受け取りを辞退しています。そんな謎のベールに包まれた孤高の数学者の姿に迫る本書は数学的知識を必要とせずに、「数学の難問に挑むとはどう言うことか」ということを読者に見せてくれる稀有な存在です。一読をおすすめします。amazon.co.jp「リーマン予想」の証明に取り憑かれた数々の数学者たちの姿をえがいた小説です。素数の分布と深く関わると言われているリーマン予想には、数学者を虜にする”不思議な力”があるということを専門家でない読者にわかりやすく見せてくる書籍です。「リーマン予想」に対して取り組んできた数学者の紹介を中心に、素数を知る魅力、取り組みの変遷などを、多くのエピソードを織り込みながら、非数学的な観点をベースに著述した数学ドラマを堪能できます。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。僕が新卒で"普通の会社員"をしてよかったと思う理由RECOMMENDこちらの記事も人気です。数学界を震撼させた「宇宙際タイヒミュラー理論」への初の入門書。難解な理論ですが加藤文元先生の平易な解説で読者を案内してくれます。OMI(@b1uexlab)車と数学とインターネットが大好きです。本業でWEB広告を扱いつつ、副業でビジネス系メディアでライターをやったり数学を教えたりしています。exchange(クロスエクスチェンジ)の登録方法と使い方。名著と噂の『7つの習慣』を読んでみた感想2019.06.25三四郎について。芸人の三四郎じゃないよ夏目漱石の方だよ。