自分のブログログアウトねむねこ幻想郷ネムネコ・ファミリーのために、大昔に書いたファンタジー小説を公開。数学のサイトではありません。微積分の基本定理など定理12関数f(x)が区間I上で連続であるとする。F(x)がf(x)の原始関数であるは同値である。【証明】(1)⇒(2)F(x)をf(x)の不定積分とすると、したがって、f(x)はIで連続だから、積分の平均値の定理よりとなるθが存在する。したがって、(2)⇒(1)F(x)をf(x)の原始関数とすると、また、f(x)の不定積分とすると、よって、したがって、となり、F(x)はf(x)の不定積分である。(証明終)以上のことより、次の定理が成り立つ。(微積分の基本定理)f(x)が区間I上で連続とする。定点a∈Iと任意のx∈Iに対しとおくと、F(x)はIで微分可能であり、である。定理14f(x)が区間I上で不定積分をもつならば、その不定積分はI上で連続である。【証明】f(x)の不定積分をF(x)、a∈Iとすると、xがIの端点でないとき、x∈[x−δ,x+δ]⊂Iとなる正数δ>0を選ぶと、f(x)は[x−δ,x+δ]で有界だから、となる正の定数Mが存在する。そこで、0<h<δとすると、−δ<h<0とするとしたがって、となり、連続である。xがIの端点であるときも同様。(証明終)定理15f(x)を[a,b]であるとする。F(x)がf(x)の原始関数であれば、である。【証明】f(x)は[a,b]で連続でF(x)はf(x)の原始関数だから、定理12よりF(x)はf(x)の不定積分であり、と表せる。よって、(証明終)そして、これで、高校の定積分の公式に結びついた。ある」と定義するなど、原始関数と不定積分の違いがかなり曖昧である。「関数Fに対し、導関数がfに等しい関数をfの原始関数という。あらわし、fの不定積分という」など、教科書によって立場が異なり、かなり混乱しているように思う。そこで、原始関数をあらためて次のように定義することにする。定義(原始関数)区間I上の関数f(x)に対し、を満たす関数F(x)が存在するとき、F(x)をf(x)の原始関数という。定理13関数F(x)がf(x)の原始関数、すなわち、F’(x)=f(x)ならば、F(x)+C(Cは定数)もfの原始関数である。関数G(x)がf(x)の他の原始関数ならば、差G(x)−F(x)は区間I上で定数である。【証明】F(x)がf(x)の原始関数であるとすると、したがって、F(x)+Cもf(x)の原始関数である。G(x)をf(x)の他の原始関数とすると、G’(x)=f(x)だから、H(x)=G(x)−F(x)とおくと、x∈Iのすべてのxについてa∈Iである1点aをとると、平均値の定理よりとなるξが存在し、よって、G(x)−F(x)は区間I上で定数。実数R上の関数は原始関数をもたない。この関数f(x)が原始関数F(x)を持つとすると、x>0で微分可能でF’(x)=f(x)=0になるので、F(x)はx>0で定数関数。同様に、x<0でもF'(x)=f(x)=0だから、F(x)もx<0で定数関数。そこで、とおくと、F(x)はx=0で微分可能だからx=0で連続だから、したがって、となり、F(x)がf(x)の原始関数であることと矛盾する。よって、f(x)は原始関数を持たない。定義(不定積分)関数f(x)を区間Iに含まれる有界閉区間上で積分可能とする。このとき、a∈Iと任意定数Cに対してをf(x)のI上の不定積分といい、であらわす。上記のように不定積分を定義すると、f(x)は実数Rに含まれる任意の任意の有界閉区間上で積分可能で、f(x)の不定積分はとなる。ここで、Cは任意の定数である。このとき、F’(0)=0で、F’(0)≠f(0)=1となるので、F(x)=Cはf(x)の不定積分であるが、f(x)の原始関数ではない。実数R上の関数の不定積分F(x)の一つを求め、F’(x)=f(x)が成り立たないことを示せ。【解】a=0、積分定数C=0とする。x<0のときx≧0のときしたがって、よって、F(x)はx=0で微分可能でなく、F'(x)=f(x)は成り立たない。以上のことより、(2)式で不定積分を定義すると、不定積分に対しては(1)式が必ずしも成立しないことがわかると思う。定積分の性質2定理10関数f(x)、g(x)が有界閉区間I上で積分可能ならば、f(x)g(x)もI上で積分可能である。【証明】f(x)、g(x)はI上で有界だから、となる定数M(M>0)が存在する。すれば、振幅はよって、f(x)、g(x)はI上で積分可能だから、|Δ|→0のときだから、となり、f(x)g(x)はI上で積分可能である。(証明終)よって、有界閉区間I上で連続な関数f(x),g(x)はI上で積分可能だから、上の定理からf(x)g(x)はI上で積分可能である。f(x)を有界閉区間I上で連続、g(x)をI上で積分可能のとき、f(x)g(x)はI上で積分可能である。I上で積分可能である。【証明】f(x)はI上で有界だからである定数M>0が存在する。するとf(x)はI上で積分可能だからよって、したがって、1/f(x)はI上で積分可能である。(証明終)上の2つの定理から、f(x)、g(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)≠0ならば、f(x)/g(x)はI上で積分可能ということになる。定理12関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で積分可能ならば、|f(x)|はI上で積分可能でである。すると、よって、f(x)はI上で積分可能だからしたがって、となり、|f(x)|はI上で積分可能である。(有界閉区間上の連続関数の積分可能性)関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であれば、f(x)はI上で積分可能である。【証明】f(x)は有界閉区間I上で連続だから、f(x)はI上で一様連続である。おけるf(x)の振幅はよって、したがって、となり、f(x)はI上で積分可能である。(証明終)定理8関数f(x)、g(x)が有界閉区間I上で連続で、かつf(ξ)>g(ξ)となるξ∈Iが存在するならばである。【証明】とすると、条件よりで、h(ξ)>0となるξ∈Iが存在する。f(x)とg(x)がI上で連続だからh(x)もI上で連続。閉区間[0,1]で定義されるとg(x)=0(x∈[0,1])があるとする。f(x)、g(x)は[0,1]上で積分可能でつまり、有界閉区間I=[a,b]上で積分可能な関数f(x)、g(x)の場合、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在するという場合でもの等号を外すことはできない。I上で連続な関数f(x)、g(x)のとき、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在する場合、(2)式の等号が外れてとなる。有界閉区間I上で連続という条件のほうが、I上で有界かつ積分可能という条件よりも強い条件というわけ。(積分の平均値の定理)f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であるときとなるξが存在する。【証明】f(x)が定数関数であるときは明らか。そこで、f(x)は定数関数でないとする。f(x)はI上で連続だから最大値Mと最小値mが存在する。よって、中間値の定理よりとなるξが存在する。f(x)、g(x)はともにI=[0,1]上の関数で、f(x)=x、とする。このとき、f(x)は[0,1]上で連続だから、ξ=1/2のときとなり、上の定理が成立するけれど、I上で連続でないg(x)にはであるξは存在しない。有界閉区間で連続という条件が積分可能性よりもかなり「強い条件」であることがわかってもらえるのではないだろうか。積分可能であるための条件リーマン和に基づく積分可能の定義は以下の通り。関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。対してであるとき、関数f(x)は[a,b]で積分可能といい、とあらわす。不足和、過剰和の定義は次の通り。不足和、過剰和の定義fを有界閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。とおくとき、を、それぞれ、f(x)のΔに関する不足和、過剰和という。上積分、下積分の定義は次の通り。関数fが有界閉区間I=[a,b]で有界であるとする。過剰和S(Δ)について、すべての分割に関する下限をf(x)のI上の上積分という。不足和s(Δ)について、すべての分割に関する上限をf(x)のI上の下積分という。関数の振幅(振動量)の定義は以下の通り。有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対してをf(x)のI上の振幅(振動量)という。i=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して、次の条件は同値である。f(x)はI上で積分可能である。Iの分割Δに対して【証明】(1)⇒(2)の証明。よって、f(x)はI上で積分可能だからδ>0が存在し|Δ|<δとなる任意の分割に対してよって、任意のIの分割Δに対してについても同様。任意の分割Δに対してが成立し、となり、ハサミ打ちの定理よりである。収束するので、よって、(証明終了)上の定理を使うと、有界閉区間I=[a,b]上の単調な関数f(x)が可能であることを証明することができる。定理(有界閉区間上で単調な関数の積分可能性)有界閉区間i=[a,b]上で単調な関数f(x)は、I上で積分可能である。おける上限、下限はである。f(x)が定数関数のとき、任意の分割Δに対してだから、となり積分可能である。f(x)が単調増加の場合、任意の正数ε>0に対してとおくと、|Δ|<δである任意の分割Δについてとなり、で積分可能である。f(x)が単調減少のときも同様。(証明終)f(x)が単調減少のとき、g(x)=−f(x)とおくと、g(x)はI上で単調増加で、g(x)はI上で積分可能。g(x)がI上で積分可能だから、f(x)=−g(x)もI上で積分可能である。これを有界閉区間上の単調減少関数の積分可能性の証明にしてもよい。ついてが、|Δ|→0のときに1つの値に収束することを示さないといけない。これは大変なので、あらたに次の不足和、過剰和を定義することにする。定義fを有界閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。とおくとき、を、それぞれ、f(x)のΔに関する不足和、過剰和という。あり、したがってが成立する。分割の分割点を増やすと、過剰和は減少する。同様に、不足和は、分割の分割点を増やすと、増回する。ΔとΔ’を合せて得られる分割をΔ’’とすると、よって、s(Δ)は上に有界、S(Δ)は下に有界である。ここで、あらたに上積分、下積分を定義する。関数fが有界閉区間I=[a,b]で有界であるとする。過剰和S(Δ)について、すべての分割に関する下限をf(x)のI上の上積分という。不足和s(Δ)について、すべての分割に関する上限をf(x)のI上の下積分という。任意のΔ、Δ’についてが成り立つから、である。定理(ダルブーの定理)有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して、f(x)の不足和s(Δ)、過剰和S(Δ)は|Δ|→0で収束して、である。任意の正数ε>0に対してとなる分割Δ0が存在する。分割Δ0の分点の数をnとする。f(x)はI=[a,b]で有界だからとおく。なる分点を1つ加えた分割をΔ1とすると、よりである。分割Δと分割Δ0を合わせた分割をΔ’とすると、分割Δに高々n個の分点が追加されるだけだから、そこで、とおくと、|Δ|<δとなるIの分割に対して、また、より、したがって、が成り立つ。定積分の性質1リーマン和をもとに(定)積分を定義すると、高校で習った定積分の次の定理を証明することができる。定理1f(x)、g(x)が有界閉区間[a,b]で積分可能、λ、μが定数であるとき、λf(x)+μg(x)は[a,b]上で積分可能で、である。任意にとると、リーマン和はとなり、λf(x)+μg(x)は[a,b]上で積分可能で、である。(証明終了)定理2f(x)、g(x)は有界閉区間[a,b]で積分可能であるとする。このとき、ならば、である。任意にとると、仮定よりであるから、f(x)、g(x)は[a,b]上で積分可能だから、|Δ|→0のとき(証明終)関数f、gが有界閉区間[a,b]上で連続であるとき、f=g、つまり、x∈[a,b]のすべてのxについてf(x)=g(x)でなく、であるとき、になるけれど、単に積分可能であるときは、等号は外せないことに注意。[0,1]で定義されたf(x)=0との積分を考えればよい。前回の問題2で示したように、gは[0,1]で積分可能でその値はだから、である。fは[a,b]上で積分可能で、x∈[a,b]のすべてのxについてf(x)≧0のとき、ならば、x∈[a,b]でf(x)=0も言えない。定理3有界な関数f、gが有界閉区間[a,b]の有限個の点を除き、f(x)=g(x)であるとする。このとき、fが[a,b]上で積分可能ならば、gも[a,b]上で積分可能で、が成り立つ。【証明】x=dを除いてf(x)=g(x)である関数g(x)を考え、とすると、φ(x)は[a,b]上で積分可能で、したがって、定理1よりも[a,b]上で積分可能で、になる。除いてf(x)=g(x)である関数g(x)を考える。[a,b]上で積分可能で、である。とおくと、(証明終)定理3より、たとえば、[0,3]で定義されるという関数f(x)は[0,3]で積分可能でありである。関数f(x)の単調増加性を使っているが、f(x)の一様連続性を用いた証明も可能だろう。ある任意のx1とx2についてであるδ>0が存在する。ついて一様連続fを区間Iで定義された関数とする。任意の正数ε>0に対してが成立する正数δ>0が存在するとき、fはIで一様連続であるという。xは実数Rで一様連続ということになる。有界閉区間I=[0,1]で定義された関数f(x)=x2はIで一様連続。I=[0,∞)で定義された関数g(x)=x2はIで一様連続ではない。f(x)が一様連続であることは、次のように示せばよい。任意の正数εに対してとなるので、δ=ε/2とすれば、g(x)が[0,∞)で一様連続でないことは、たとえば、次のように示せばよい。ようにx1とx2をとると、また、だから、正数δをどんなに小さくとってもで、2より小さくならない。よって、g(x)は一様連続ではない。一様連続の定義はだから、一様連続でないことの定義は、上の否定をとりこれを人間の言葉に訳すと「ある正数ε>0と、あるx1,x2∈Iがあって、どんなにδ>0を小さくしても、である。定理fが有界閉区間Iで連続ならば、fはIで一様連続である。上の定理の証明にはハイネ・ボレルの被覆定理などを必要とするので、ここでは証明はしない。例2は、(0,1]で一様連続でない。すると、x1∈(0,1]、x2∈[0,1]。f(x)=1/xは有界な半閉区間(0,1]で一様連続でない。上の定理で、有界な閉区間という条件が重要であることがわかってもらえたのではないか。定積分(リーマン積分)の定義を最初に示す。関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。対してであるとき、関数f(x)は[a,b]で積分可能といい、とあらわす。ここでいう分割とはのことで、以降と略記することにする。定数関数f(x)=cは、任意の有界閉区間[a,b]で積分可能でであることを示せ。とり方にかかわらない定数である。したがって、となり、f(x)は[a,b]で積分可能で、である。(解答終)問2(ジャンプする関数)関数f(x)を[a,b]で定義された関数、さらに、c>0で、a<d<bとする。このとき、は[a,b]上で積分可能でであることを示せ。したがって、|Δ|→0のとき2c|Δ|→0だから、ハサミ打ちの定理よりとなり、[a,b]でf(x)は積分可能で、である。(解答終了)前回、x∈[0,1]で定義される次の関数が(リーマン)積分可能でないことを示したが、問2のように不連続な関数であっても積分可能な場合がある。このとき、[a,b]上の関数f(x)=x2は[a,b]で積分可能で、となることを示せ。いう特別な点を選び、このリーマン和を求めるととなる。|Δ|→0のとき(b2−a2)|Δ|→0だから、となり、f(x)=x2は[a,b]で積分可能、そして、である。選んでをリーマン和と呼び、を分割の幅という。関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。対してであるとき、関数f(x)は[a,b]で積分可能といい、とあらわす。閉区間[0,1]で定義される関数f(x)=xがあるとする。のをとると、このリーマン和はとなり、である。このことをもって、としてはいけない。この結果は、確かに、と一致する。とり方によって値が変わってくるかもしれないからだ。x∈[0,1]で定義される次の関数が(リーマン)積分可能でないことを示せ。【解】[0,1]をn等分、すなわち、と分割する。とるとよって、積分可能でない。(解答終)高校の数学では、定積分を区分求積法で定義したが、この定積分の定義を問題1に用いると、と、積分可能になってしまう(^^)この積分の定義9のままでは都合が悪いことがわかってもらえたと思う。f(x)=x、[0,1]の分割をとする。対してしたがって、である。今,確..コメント、ありがとうございます。..Cもお願いしますベートーヴェンについて。ベートーヴェン..ルートヴィヒ・ヴァン・ベートーヴェ..コメントありがとうございます。ソネットポイントこの広告は前回の更新から一定期間経過したブログに表示されています。更新すると自動で解除されます。