数学は色々なところで応用可能であり、多くの人が数学の抽象的な概念の意味や意義を鮮明に知ることができれば今まで以上に面白い物や仕組みが生まれるかもしれません。このブログは数学を専門にしない人のために抽象的な概念の意味や意義を分かりやすく説明することを目的としています。数学を使って何かしたい人のお役に立てたら幸いです。記事で説明した線形システムの制御を考えるにあたって重要な可制御性と可観測性の概念について説明します。以下の記事では、可制御可観測なシステム全体の集合の性質について解説しており、この記事の続編のような記事となっています。●線形代数の復習(ケーリー・ハミルトンの定理と不変部分空間)システムの可制御性や可観測性の性質を調べるためには線形代数の知識が少し必要です。ケーリー・ハミルトンの定理や不変部分空間の概念を知っていると理解が深まりますので、まずはそれらから説明します。ケーリー・ハミルトンの定理は固有多項式に関する定理です。成り立つことは等価です。次の定理がケーリー・ハミルトンの定理です。これから次のことが分かります。不変部分空間は次の性質を満たすベクトル空間のことです。システムの可制御性は次のように定義されます。直感的には次の図のように、任意の点からスタートして原点に到達させることができる入力が設計できるときに可制御、そんな入力をどんなにがんばっても設計できないときに可制御でないということになります。可制御性の定義をもう少し数学的に書くと次のようになります。不変部分空間であることが確認できます(詳細は後で書きます)。状態空間の次元より小さいなら可制御でないということになります。中の任意の状態は原点へ移すことができます。限定すれば可制御だと考えられるわけです。可制御な状態空間と不可制御な状態空間に直和分解できます。システムの可観測性は次のように定義されます。これを数学的に書くと次のようになります。不変部分空間であることが確認できます(詳細は後で書きます)。区別できない状態が存在することになります。次のように可観測な状態空間と不可観測な状態空間に直和分解できます。不変部分空間であることは後で証明します。次のように分解できます。これより線形システムは次のように分解できます。上のように分解された形の線形システムをKalmanの正準分解形と呼びます。このように分解できることも後で証明します。不変部分空間であることの証明これを示すにはを示せば良いです。不変部分空間だからです。