数学は色々なところで応用可能であり、多くの人が数学の抽象的な概念の意味や意義を鮮明に知ることができれば今まで以上に面白い物や仕組みが生まれるかもしれません。このブログは数学を専門にしない人のために抽象的な概念の意味や意義を分かりやすく説明することを目的としています。数学を使って何かしたい人のお役に立てたら幸いです。この記事では線形システムの制御で重要な役割を果たす伝達関数について説明します。伝達関数を理解するためには関数のラプラス変換を知っている必要があります。ラプラス変換は次のように定義されます。上のラプラス変換は前の記事で説明したフーリエ変換に似ていますが、次のような違いがあります。線形システムの伝達関数は次のように入力関数のラプラス変換と出力関数のラプラス変換の比で定義されます。伝達関数は次のように座標変換のもとで不変です。概念と前の記事で説明した可制御性と可観測性の概念は次のように結びつきます。線形システムの入力としてインパルスというディラックのデルタ関数を加えたときの出力と伝達関数は次のように結びつきます。ディラックのデルタ関数については前の記事で詳しく説明しましたので興味のある人は見てください。上の議論よりインパルス応答行列のラプラス変換が伝達関数なわけですが、次のようにインパルス応答行列のフーリエ変換を周波数応答行列と言います。周波数応答行列と伝達関数の間には次のような関係があります。1入力1出力の周波数応答行列は周波数応答関数と呼ばれます。周波数応答関数が分かると過渡応答が分かるため制御工学では周波数応答関数を理解するが大事です。周波数応答関数を図的に理解する方法として、ナイキスト線図やボード線図と呼ばれるものがあります。ナイキスト線図やボード線図については制御工学の本を見てください。前の記事で説明したプランシュレルの定理(パーセバルの等式ともいう)よりとなります。なることが分かります。は小さいほど嬉しいわけです。ノルムを定義通り計算しようとすると無限区間の積分を計算しなければならず、面倒です。ノルムは定義通りに計算する必要はなく、以下のように容易に計算できます。中へ代入すると次のようになります。成り立つことに注意すると、が成り立つことが分かります。関する線形行列方程式はリヤプノフ方程式と呼ばれており、解は上のように積分の形で具体的に表示できるのですが、実際には積分を計算せずに他の解法アルゴリズムを用いて数値的に求めます。有名な計算ソフトフェアであるMatlabにはリヤプノフ方程式を解くlyapというコマンドが用意されていますが、その解法は積分を計算していません。ノルムの辺りのところを参考にしました。ogyahog...2017-01-30等質空間この記事では、等質空間の概念について説明します。はてなブログPro佐藤一宏です。東京大学で講師をしています。見る月別アーカイブ注目記事はてなブログをはじめよう!ogyahogyaさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。