数学は色々なところで応用可能であり、多くの人が数学の抽象的な概念の意味や意義を鮮明に知ることができれば今まで以上に面白い物や仕組みが生まれるかもしれません。このブログは数学を専門にしない人のために抽象的な概念の意味や意義を分かりやすく説明することを目的としています。数学を使って何かしたい人のお役に立てたら幸いです。多様体とかこの記事では、行列の指数関数と対数関数について解説します。Lie群とLie環という概念を理解するための準備に相当します。●行列の内積とノルムをn行n列の実数を成分に持つ行列全体の集合とします。以下の内積とノルムを導入できます。成り立つことがコーシー・シュワルツの不等式を使うことで確認できます。これと形式的に同じになるように行列の指数関数が次のように定義されます。右辺の無限級数が収束することは以下のように分かります。行列の指数関数の性質は以下の結果を利用して明らかにすることができます。左辺と右辺に代入して等しくなることを見れば良いです。一意性は、微分方程式の解の一意性定理から従います。指数関数の性質を明らかにする前に、二つの行列が可換であるか否かを判定するカッコ積を導入しておきます。