多様体は上のリーマン多様体の記事で定義したように任意の異なる2点を開集合で分離できるという性質を持ったハウスドルフ空間でした。ハウスドルフ空間になります。ハウスドルフ空間となります。級の座標近傍系になります。位相から導かれた相対位相を導入することで多様体になります。距離空間は位相空間になる応用上もっとも重要な空間は距離が定められた空間であり、その距離を使って位相を導入できる、つまり、空間の異なる点たちの近さを議論できるようになります。あとで線形システム全体の集合にも距離を導入して位相空間としますので、ここでは簡単に距離空間について説明しときます。距離空間の定義は以下の通りです。ベクトル空間にノルムが導入されたノルム空間は距離空間になります。ここで、ノルム空間の定義は以下の通りです。定められる距離と言います。距離はノルムを使わなくても定義できます。導入できますが、これはあるノルムから定められた距離ではありません。これを満たさないからです。用いて位相を導入できます。導入されていることがほとんどです。定義された位相を導入するとします。多様体になることを確認しておきます。)でベクトル空間になります。以下のノルムを導入します。\end{align}というように各成分の2乗和の平方根で定義され、行列の集合のノルムとしてよく使われています。||B_1-B_2||_F+||C_1-C_2||_F\end{align}というように上のノルムを用いて距離が定義できて距離空間となります。定義でき位相空間になります。\end{align}となることから分かります。開集合であることから従います。開集合となり、多様体の開集合は上で説明したように多様体になるからです。開集合であることを示します。開集合であることも同様に示せます。\end{align}となることを意味しているので、これを示します。\end{align}が成り立ちます。