y}-H|_{y=y_{0}})=0}となるので、通常の棒磁石では、シュテルンゲルラッハのような実験結果が起きないわけである。(H|_{y=y_{0}+h}-mH|_{y=y_{0}})}がけっして0ではない。変化率をおおきくすれば、電子は磁石によって、おおきな力を受ける。mは電子固有の値なので、変えようがないので、つまり定数だと思う。θが離散化により2通りの状態を取ると考えるべきだろう。Hは外部磁場の大きさであり、2通りには、なりようにない。取ると考えるのが、妥当である。このようにして、電気磁気学の公式と、シュテルン=ゲルラッハの実験結果にもとづき、スピンが2通りの離散化によって原子線が上下2方向に分裂することを解析的に説明できる。べつにwikibooksオリジナルの解法ではない。これらの書籍の解法では、解法の順序が先に不均一磁場中の磁気モーメントに働く力を求めていたりして、あとからスピンを導入しており、そのため、スピンが不均一磁場でどういう力を受ける解析結果になるかの説明が省略されており、あまり細かく書かれていない。量子論の基礎法則は数学的にはむしろ単純で、線形代数に他ならない。扱う系によりベクトル空間の次元が無限大になったり関数空間になったりするので、そこからくる複雑さが大きい。ここでは有限次元(2次元!)の線形代数で完全に扱うことができる系、「電子のスピン」を例にとりながら、基礎法則を導入する。電子は点粒子であり位置という属性を持つが、実はそれだけでなく「自転する棒磁石」が持つような属性も持っている。棒磁石がN極とS極を結ぶ線を軸として自転しているとしよう。そこに磁場をかけると(1)棒磁石はその向きに応じたエネルギーを持ち、また(2)磁場を軸としてコマのようにプリセッション(首振運動)を行う。(1)は磁石であることから起き、(2)は((1)に加えて)角運動量を持つことから起きる。電子も「向き」を持っており、磁場の中に入れると(1)その向きに応じたエネルギーをもち、かつ(2)その向きが棒磁石の向きと同様のプリセッションを起こす。このような事実を称して「電子はスピンをもつ」といい、「向き」を「スピンの向き」と呼ぶ。いう点にのみ着目する。角運動量の大きさは一定(hbar/2)であり、変わりうるのはその向きだけである。(s_{x},s_{y},s_{z})}と書く。s_{x}^{2}+s_{y}^{2}+s_{z}^{2}=1}。普通に考えるとこの成分(3つの実数、動く範囲はそれぞれ-1から1)を指定すればスピンの状態を記述したことになるはずである。ところがスピンは量子力学の法則に従うのでそうはならない。スピンの測定:量子力学的な特徴編集スピンの向きの測定方法で代表的なのはStern-Gerlach型実験と呼ばれるもの。空間的な勾配を持つ磁場をかけることでスピンの向きに依存した力が電子にかかるようにする。大雑把に理解するには、棒磁石に磁場をかけることを考えればよい。磁場が一様だとN極とS極にかかる力が正反対かつ同じ大きさになるので全体としてキャンセルしてしまう。そこでz方向に勾配を持つ、つまり上に行くほど強くなる磁場をかけるとしよう。0})ならば上側の極により大きな力がかかるので全体にかかる力が残る。(0,0,ks_{z})}が磁石にかかるようにできる。そのような磁場の中に小さい磁石を飛ばすと、磁石の向きのz成分に比例した力がかかり、軌道がそれる。s_{z}}が分かるのである。同じ議論がz軸方向以外でも成り立つ。{u}}}を測定することができる。z方向に勾配を持つ磁場にランダムな向きの磁石をたくさんいれると、たまたまsz=1だったものの軌道は大きく上にそれ、sz=-1だったものは大きく下にそれる。その中間、特にsz=0に近いものでは軌道はほとんどそれない。磁石の出口に磁石がきたことを感知するスクリーンをおけば、そこには上から下までほぼまんべんなく磁石がきた後が残るであろう。量子力学の特徴1:観測値の離散化(「量子化」)編集これで舞台は整ったので、磁石の代りに向きがばらばらの電子を通してみる。すると、驚くべきことに磁石の場合とは全く異なる結果になる。sz=1の電子とsz=-1の電子しかないかのような結果になってしまう。それではと、今度は装置を90度回して、sxに応じて軌道が変わるようにしてみる。すると今度は(同じ源からきた電子なのに)sx=1とsx=-1のものしかないかのような結果になる。右と左にしか電子がこない。これは測定法を変えても成り立つ一般的な結果である。{u}}}を測定すると、その結果は必ず1か-1のどちらかにしかならない。{u}}}の測定結果が、1,-1という離散的な値だけになる。この、「連続的であるはず物理量の測定値が離散的になる」ことが微視的スケールの物理の大きな特徴である。あらゆる量の測定値が離散的になるわけではない。電子の位置の測定値は連続的な値をとりえるし、エネルギーの測定値は系によって連続的な場合も離散的な場合も、両者が混合する場合もある。量子力学の大きな成果(の一つ)は、物理量の測定値がとりえる値のセット(スペクトルという)を求めるための首尾一貫した計算法として与えたことにある。量子力学の特徴2:観測結果のランダム性編集szの測定値は1,-1しか取り得ないと述べた。スピンがx方向を向いている場合にszを測ると測定値はどうなるだろうか。常識的な答である0は取れない。1,-1のどちらを取るにしても妙である。答は「1,-1を全くランダムに取る。等確率で1,-1が現れる」となる(一回ごとでは常識的な値0は取らないが、多数回実験を行った平均値としては常識的な値0になる)。このように、測定結果が確率的になることが微視的世界の法則のもう一つの大きな特徴。上の実験を行うには「スピンがx方向を向いた状態」を作らなければならない。実験装置自身を「フィルタ」として使う。上記Stern-Gerlachの実験ではsz=1の電子は軌道が上に曲げられ、-1のものは下に曲げられる。よって上に来た電子だけを集めれば、それらは全てsz=1である、といえる。実際、もう一つ実験装置を用意し、最初の装置で上に曲げられた電子だけを通してszをもう一度測る。すると、確かに全ての電子でsz=1になるのである。最初の装置と二つの装置の間に磁場などを掛けてしまうと向きが変わることもあるが、そのような「スピンの向きを変える要因」がなければ、一度目と二度目の測定値は必ず同じ値になる。以上のことを踏まえ次の定義を行う。「sz=1の状態を取っている」電子とは、実験によりsz=1という測定値を取り、その後向きを変えられていない電子のこととする。任意の向きへの一般化は自明であろう。{u}}}の測定で測定値1を取り、その後向きを変えられていない電子である。{u}}}を測定すれば必ず1を取る、という実験的裏づけがあるためである。{u}}}と垂直な成分を測っても測定結果は決して0にはならないことを忘れてはならない。この定義を使うと、上記のランダム性を実験で確かめるには、まずStern-Gerachの装置を横に倒してsxの値に応じて軌道が曲げられるようにする。右(sx=1に対応)に来た電子だけを第2の装置に通してszを測る。すると、半分はsz=1、残り半分はsz=-1となるのである。{u}}}を測るとする。^{2}(A/2)}となる。/2}の場合には上記の結果に帰着することに注意)。スピンの数学的な記述編集このような観測値の離散化をどう説明するか。一つの素直な考え方は、本来連続的な値をとるものが観測過程での何かのメカニズムで離散的になると考え、そのメカニズムを追求することだろう。根底では連続なものが何かの原因で離散化すると考えるのである。量子力学ではそのような方針はとらない。観測値が離散化することこそが根底の法則、自然の本性であると捉え、それを適切に記述する数学的な法則を与えるのである。以下でその法則を述べるが、これは別の法則(例えば古典力学)から論理的に導かれるものではない。これ自身がいわば「公理」であり、それが正しいかどうかは実験結果を予言・再現できるかにより判定される。古典力学や電磁気学はある範囲内で実験と合うことが確立された理論であるから、それらもこの「公理」から導出されなければならない。以下、まずスピンという特殊な場合について述べる。一般的な場合への拡張は、少なくとも形式上は単純なこととなる。z成分szである(一般の方向の成分はこれらの一次結合となる)。これらの物理量はある2x2行列(Pauli行列と呼ばれる)に対応する。Z={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}「対応する」の意味は段階的に説明していく。重要なのは観測値が取り得る値が決められることである。物理量szを例にとるとszの測定値になりえるのは対応する行列Zの固有値のみ。szの測定値が1,-1に限られるのは、対応するZの固有値が1,-1だけだからである。sx,syについても同様。どちらも対応する行列X,Yの固有値が1,-1しかないので測定値としては1,-1しか現れない。一般的に言うと、スピンに限らず物理量はある行列(より一般的には線形演算子)に対応する。その物理量の観測値は対応する行列の固有値に限られる。逆にいうとある物理量がとりうる測定値を知りたいと思ったら、それに対応する行列を求めその固有値を求めればよい、ということである。対応する行列(線形演算子)をどう求めるかという疑問が当然浮かぶが、それは扱う物理系個々の問題になる。基本的なのは正準量子化と呼ばれる手法で、古典力学のポアソン括弧と呼ばれるものから演算子が満たすべき交換関係を推測し、それを満たすような演算子を探す。そのような手法から角運動量の一般論を展開でき、上で導入したスピンのPauli行列はその特別な場合として得られる。基本的な物理量の行列が分かれば、それらの関数になっている物理量の行列は行列代数により得られる。{2}}}のどちらかになる。p^2/(2m)+V(x))が対応する行列は演算子の代数(線形代数)で分かってしまうのである。次に、離散的な観測値(物理量に対応する行列の固有値)のどれが観測されるかの規則を述べる。_{1}\end{pmatrix}}}で表される。_{1}|^{2}=1}。_{1}\end{pmatrix}}}線形代数によると、複素列ベクトル同士の間には自然に内積が定義される。_{1}}この内積は、成分が実数の場合には普通の実ベクトル同士の内積になるが、複素数の場合には左側の要素に複素共役を取る。>)}」が必ず0以上の実数になるようにするためである。>)=1}と書くことができる。このケットの物理的意味について述べよう。上で導入した「z向きの状態」、即ちszを観測すれば必ずsz=1の結果を得られる状態は、行列Zの固有値1の固有ベクトル(で規格化されたもの)で記述される。}}をおいても同じなのだが、その任意性については後で述べる。単位固有ベクトルの中で一番成分が簡単なものを選んだと考えてほしい。)これは一般的に拡張される。固有値aの固有ベクトル(で規格化されたもの)で記述される。このような状態を、やや略した言い方で物理量Aの固有値aの固有状態と呼ぶ。|sx=-1>=2^{-1/2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}非固有状態の測定編集では、szを測定する際に、状態がszの固有状態でなかったら結果はどうなるだろうか。ここで始めて実験と比べられる記述が現れる。量子力学が与える予言は次の通り。>}がszの固有状態とは限らない場合にszを測定すると、その結果(測定値が1になるか-1になるか)はランダムな事象となり、確率的にしか予言できない。その確率はもとの状態と固有状態の内積の絶対値自乗で与えられる。{1}{2}}}となり、実験結果とあう確率が与えられる。{u}}}を測る」場合の結果を計算してみる。}{2}}\end{pmatrix}}}これを使うと次が得られ、実験結果をきちんと再現する計算結果となる。}{2}}}運動法則編集ここまで状態の数学的な記述と測定の関係を書いた。次は状態の運動法則である。簡単な例としてスピンに一様な磁場をかけた場合を考える。トンネル効果編集ジョセフソン効果編集このような2つの超伝導体の間に絶縁体などの障壁がある接合において、障壁層がきわめて薄いとき、超伝導体間に超伝導電流が流れる。I}をジョセフソン電流という。電子は、薄い物体を確率的に通り抜けることがあり、これをトンネル効果という。超電導ジョセフソン素子などで、この現象がある事が知られている(w:ジョセフソン効果)。ジョセフソン素子にマイクロ波を照射すると、電流-電圧特性がステップ状に変化する。このため、各国の度量衡の国家標準器の電圧標準としてジョセフソン素子が用いられているほどである。このような、ステップ状の変化は、まさに量子論の理屈で、説明しやすい。これらの現象の公式も、プランク定数などの量子論のパラメーターを用いて記述されており、実験結果をうまく説明できている。この超電導ジョセフソン効果では、波動関数の位相も存在も、電圧の大きさなどのパラメータを仲介して、間接的に波動関数の存在も確認されている。矩形ポテンシャル障壁を越える量子トンネル。トンネル抜け前後で粒子のエネルギー(波長)は変わらないが確率振幅は減少する。図のように、絶縁体物の中でも、電子の存在確率は、けっして急にはゼロにならず、少しずつ存在確率が減少していくので、もし、絶縁体の厚さが極端に薄ければ(数ナノメートル以下の程度なら)、電子の存在確率(つまり電流の存在確率)が高いうちに向こう側の導体に達するので、電流が絶縁体障壁を通り抜けることができる。1973年、江崎とジョセフソン(人名)がノーベル物理学賞を同時受賞した。フラッシュメモリはトンネル効果か編集いわゆる「フラッシュメモリ」やSSDと呼ばれるメモリには、回路中に絶縁体が使われており、電荷を蓄えることのできるメモリ部分に絶縁体を介して高電圧を掛けることにより、オン/オフを切り替えることにより、データを記録できる仕組みになっている。回路中の記録部分は、絶縁体によって、導電部からは絶縁されてるので、「浮遊ゲート」と呼ばれる。このフラッシュメモリの現象が、絶縁体を介しても、電荷を蓄えさせることのできる現象であるため、トンネル効果の実例だと考える学者もいる。したら、上記の仮説への反論のような意見として「トンネル効果でなく、単に絶縁体膜に高電圧で穴をあけて、電子が貫通して移動しているだけだ」と考えることも出来るかもしれない。フラッシュメモリは1980年代に日本人の研究者によって発明された、比較的に新しいメモリであり、さらに普及した時期は遅れて、西暦2000年ころから普及した、新しい原理のメモリである。そのため、DRAMヤハードディスクなどの伝統的なメモリや記録デバイスと比べ、フラッシュメモリの解説を本格的にあつかった教科書や文献なども不足している状況である。(大学レベルの教養課程の段階では、読者は、フラッシュメモリがトンネル効果か否かは、深入りしないほうが安全だろう。)なお、実用化されているフラッシュメモリには、書き換え可能な回数に限界がある。穴から電荷が漏れ出してしまわないか?」などの疑問があるだろうが、しかし、あまり理論的に解明されていない。超伝導ジョセフソン素子については、使用回数の制限などの現象は、特に知られてない。超伝導ジョセフソン効果と、フラッシュメモリのデータ記録が、両方とも同じトンネル効果の現象だとしたら、なぜ片方にだけ使用回数の制限が生じるか、疑問はつきない。専門書などを読んでも、特に言及はされていない。世間でよく、これらの産業の業界が「半導体」業界といわれるが、実際のフラッシュメモリの導電率がはたして半分かどうかは、あまり定かではない。本来なら「エレクトロニクス業界」などと言うべきところを、文字数の省略のために「半導体業界」と呼称しているだけだと思われるので、あまり、字面を鵜呑みにしないほうが良い。シリコン半導体の特性はトンネル効果か?編集トンネル効果を提唱した物理学者の江崎玲於奈が、シリコン半導体やゲルマニウム半導体などの研究をもとにトンネル効果を提唱し、江崎はノーベル賞を受賞したので、よく、シリコン半導体などのトランジスタなどが「トンネル効果」の例、上げられることが多い。そもそも、一般によく用いられているダイオード素子やトランジスタ素子の電流の流れる部分は、けっして絶縁体では、さえぎられていない。3番目(いちばん右)がトンネルダイオードのバンドギャップ図。2018年の現代、半導体物理でいう「トンネル効果」とは、バンドギャップ図上において、右図の3つめ(一番右)の図のように、バンドギャップ図の禁制帯の左右幅が極端に狭くなる領域について、価電子帯と伝導帯が極端に接近しているので、電子が価電子帯から伝導体に「トンネル」するので電流を流せると表現したものである。江崎らの開発したトンネルダイオードは、そもそも、ドーパント濃度の極端に高いダイオードのことである。このトンネルダイオードでは、電圧を大きくするほど逆に電流が減少するという「負性抵抗」という現象があらわれる。江崎は、このような実験事実を解釈するため、トンネル効果を提唱した。工業などへの実用例として、トンネル効果を発見した物理学者の江崎玲於奈が開発した「トンネルダイオード」は、高周波の発振・増幅などに活用される。いう法則にもとづく現象である、という学説が定説になっている。話は変わるが、世間一般では、シリコン半導体の特性を、なんでもかんでも、量子力学やトンネル効果で説明しようという風潮が、一部にある。習うように、シリコン半導体の導電率は、導体と絶縁体の半分くらいのケタの導電率であるので、けっしてシリコン半導体は絶縁体ではない。ゲルマニウムでも同様、そもそも、ゲルマニウムは絶縁体ではない。ダイオードの順方向どころか、逆バイアス方向ですら、順方向電流の大きさと比較すれば微量ながら実は「逆バイアス電流」というのが逆バイアス方向にもあることが、半導体研究の比較的に初期のころから知られている。高校では、「ダイオードでは逆方向には電流は流れない」としているが、じつは、それは不正確であり、正確には、「逆方向に電圧印加した場合に流れる電流の大きさは、順方向に流した場合の大きさに対して、とても小さい」というのが、より正確である。このように、実は、逆バイアスにダイオードを利用した場合ですら、けっして、逆バイアス部分は絶縁体ではないのである。トランジスタについては、一般的なnpnトランジスタやpnpトランジスタの真ん中の部分も(たとえばnpnトランジスタの真ん中のp部分)も、そもそも、けっして絶縁体ではなく、導電率が半分くらいである。ダイオードのまんなかの部分(たとえばnpnトランジスタの真ん中のp部分)の厚さは、両隣りの部分と比べると厚さがうすいので、てっきり「絶縁体をトンネルしている」と誤解しがちだが、けっして絶縁体ではない。現代の電子部品に多く見られるタイプの電子部品では、波動関数の概念は意識的には用いられておらず、また、波動関数の存在の有無も、商用のダイオードやトランジスタからは、特に確認されてない。習うように、陰極真空管の時代から知られている現象であり、けっしてシリコン半導体に特有の現象ではない。世界初の電気式コンピュータのENIAC(エニアック)も真空管をデバイスとして作られているので、コンピュータの存在すると言う事実だけを根拠として「半導体のトンネル効果の証明だ」などと主張する理屈には、無理があろう。このページ「量子力学」は、書きかけです。加筆・訂正など、協力いただける皆様の編集を心からお待ちしております。ご意見などがありましたら、お気軽にノートへどうぞ。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。