後に波動関数が0で無い地点では、物体が見つかる可能性があることを解説する。}は、0となることにする。(a)=0}が必要となる。(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)}で与えられることが分かる。^{2}}}}}とする。_{n}(x)=A\sin(k_{n}x)}で与えられる。n}{a}}}である。そのままに残したものである。考えると、この定数は1通りに決まることが示される。^{2}}}}}を解くことで得ることが出来る。n^{2}}に比例するエネルギーを持つようになる。エネルギーのことをエネルギー準位と呼ぶことがある。上で波動関数を計算する方法を得た。ここでは、波動関数の性質について考える。それらによって張られた行列として扱った。元はw:ディラックによるものである。ここで、量子論的な状態を定めるiのような量をその状態の量子数と呼ぶ。任意の実数で与えられる連続的な量であることもある。ハミルトニアン演算子の、互いに異なった固有値を持つ固有ベクトルであるとする。ここで、ハミルトニアンの固有値は必ず実数でなければならないことが分かる。存在することになってしまうからである。その固有値が実数になる行列の種類として、エルミート行列があげられる。エルミート行列については物理数学Iを参照。ここでは、ハミルトニアンはエルミート行列で与えられるものとする。量子論の演算子は通常エルミート演算子である。互いに直交することが知られている。互いに直交することが知られる。_{ij}}については、物理数学Iを参照。ここで、状態の長さを調整することを量子状態の規格化と呼ぶ。<i|j>}のように書くことが多い。={ij}}が成り立つ。f(x)=<x|i>}で取る。定義を整合的にすることが分かる。このことを述べるためにまず、関数空間の内積について説明する。ここでは、一般的に波動関数がある複素関数であるとして考える。f^{*}(x)g(x)dx}を元f(x),g(x)の内積と呼ぶ。波動関数が0となる範囲については積分しなくてもよい。狭い範囲になるのである。|i>}の状態に変化することを表わしている。|i>}の状態に変化すること方法の全てをつくしていると考えるのである。|x><x|=1}のような表式はベクトルの完全性と呼ばれ、このあと頻繁にでてくる性質である。_{i}|i><i|=1}が知られている。数学的な証明は難しい場合が多い。波動関数の長さも、1つに定める必要があることが分かる。(x)|^{2}dx=1}とすることで満たされる。このことを波動関数の正規化と呼ぶ。ここまでで粒子がどの状態にいるのかを指定する方法が分かった。それらの量はどれも対応する波動関数を持つのである。どれも正規化されていなければならない。どの位置で発見されるのかという意味である。そのときにその粒子は様々な位置で発見されるように思える。その物体は位置の演算子が値を取り得る位置全体で見つかる確率がある。知ることが出来ないのである。<x|i>}で与えられることが予想される。対応する波動関数f(x)であった。ある場所xに発見される位置に見つかる過程について関係していることがわかる。ある粒子がその位置に見つかる確率となっているのである。}}}}e^{-x^{2}/2}}で与えられるとする。このとき、ある点xで粒子が発見される確率を計算せよ。この波動関数が正しく正規化されていることを示せ。P(x)=|f(x)|^{2}}が成り立つことを用いればよい。}}}e^{-x^{2}}}が得られる。dxP(x)=1}が得られ、正しい正規化がなされていることが分かる。とどまらず、より広い場合にあてはまる。<b|a>}をaからbへの確率振幅と呼ぶ。ある位置で表わされる状態への確率振幅といえる。|1>}との確率振幅を求めよ。正規化されていることを示せ。|1>}との内積を取ればよい。それぞれの状態は互いに直交していることに注意せよ。調べるにはそれぞれの状態の大きさが1となっていることを調べればよい。<1|1>=1}となり正しいことが分かる。{1}{2}}(1+0+0+1)=1}となり正しいことが分かる。{1}{3}}(1+0+0+0+1+0+0+0+1)=1}となり正しいことが分かる。<1|2>=0}となる。<2|2>=1}となって正しいことが分かる。dxx|f(x)|^{2}}がどのような意味を持つかを考える。上の式はxの期待値を表わす式そのものである。それほど簡単な解釈は持っていない。摂動などでよく使われる。詳しくは量子力学IIを参照。実際の物理的な系は常に時間に依存して変化する。何らかの仕方で時間依存性を持つ必要がある。時間と空間を統一的に扱う方法を得たことを思いだす。{x_{i}}}}}(ただし、i=1,2,3。{t}}}}のような置き換えが出来ることが予想される。特殊相対論的な考え方が適用できるのかということは疑問が残る。できず、観測をした瞬間に物体の位置が決定することが知られている。その速度は光速を超えてしまうように思える。ことは非常に困難に思え、上のような置き換えをする理由は定かでないように思える。与えることが知られるのである。詳しくは場の量子論を参照。{H}}}のようになる。