量子力学ウィキペディアに量子力学の記事があります。このページ「量子力学」は、書きかけです。加筆・訂正など、協力いただける皆様の編集を心からお待ちしております。ご意見などがありましたら、お気軽にノートへどうぞ。結晶を成す物質の内部エネルギーおよび熱容量を求めよう。このような取り扱いは結晶の具体的構造によらない普遍的な性質を議論する上で重要である。結晶を構成する分子は互いに相互作用するが、最も主要な効果を及ぼすのは最近接格子点上の分子であり、より遠距離にある分子同士の相互作用はそれらの間に存在する分子同士の相互作用として含めることができる。ここまでで扱うべき問題はかなり簡素になったが、結晶分子の運動がそれほど激しいものでない場合には(気体分子運動論の考えを援用すれば、この状況は結晶内部の温度が極めて低いことに相当する)、各分子は固定された平衡点近傍を振動していると見なすことができる。U}は、その平衡点を原点として以下のように表すことができる。つの自由度を持っている。つの自由度を持っている。x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}}によって決定されるからである。{kT}{2}}=3NkT}という関係が成り立つ。T}は熱力学温度である(以下、温度とは熱力学温度のことを指すとする)。}}に置き換えれば、上述の関係は気体定数を使って以下のように書き直すことができる。}}}T=3nRT.}気体定数を用いた形式では分子数が現れず、代わりに物質量という量が定義されることに注意しよう。ボルツマン定数を基本定数とする立場では単なる置き換えに過ぎないが、気体定数を基本定数とする場合、ボルツマン定数を用いた形式を与えるには分子の存在をあからさまに認める必要がある。T}}=3R}となる。結晶の比熱の測定値に一致する。この比熱は温度依存性がなく、常温の固体のモル比熱がほとんど一定であることを示す。デュロンとプティはこの法則が多くの物質について良い精度で成り立つことを実験的に発見した人物である。収束することを示唆する結果が得られており、低温領域での比熱の温度依存性および比熱の値はデュロン=プティの法則から外れることが知られている。n}は負でないとする)。次元調和振動子の集まりとする。}という飛び飛びの値を移り変わっているとする。ミクロカノニカル集合』のスターリングの公式を用いた統計力学モデルによる説明(大学中級~)を参照。統計力学的には他にも、ラグランジュの未定乗数法を用いてボルツマン因子の導入を行う方法もある)。(n)}とし、この確率がボルツマン因子に比例するとする。}{kT}}}}とならなければならない(なお、このZのような量子統計計算の規格化のための関数のことを「分配係数」または「状態和」という)。}{kT}}\right)\right\}\end{aligned}}}と表すことができる。)\end{aligned}}}を得る。}-1}}\end{aligned}}}と表すことができる。}-1}}}をプランク分布と呼ぶ。}}という形に漸近する。このプランク分布を利用して、結晶内部の比熱を得ることを考える。}-1}}}と表すことができる。}-1)^{2}}}}となる。収束するという点で低温領域における固体比熱の振る舞いと合致する。}k=3R}となり、これはデュロン=プティの法則に一致する。範囲でも、波の理論では、波長と位置とは、一つの波では、同時には決められない。パルス波のような境界のハッキリした波は、位置がハッキリしているが、このパルス波のようなギザギザした波形を、正弦波などの三角関数的な滑らかな波の重ねあわせで作るには、多くの種類の三角関数の重ねあわせが必要である。「うなり」を考えれば分かるだろう。波長の種類が多いほど、特定の一波長で代表させる事ができず、波長は不確定になる。この事は、数学の「フーリエ変換」という理論によって、量子力学を使わないでも、近代数学や古典物理の範囲内でも厳密に計算で証明できる。量子力学では、運動量によって波長が決まる。これまでの理論を組み合わせると、たとえば音波の「うなり」で時間と周波数が両立できないのと同様に、なんらかの横波の合成波でも位置と波長は同時に決められない事がわかる。「うなり」では、時間と周波数のあいだに不確定性がある。横波の合成波では、位置と波長のあいだに不確定性がある。量子力学的に重要な結論として、同様に量子力学でも位置と運動量が同時に決められない。よって、量子力学では、位置と運動量のあいだに不確定性がある。我々の住むこの世界の物質を構成する原子や電子などの物質が量子力学の法則にしたがう事から、つまり、この世界では、位置と運動量を同時に厳密には測定できないという制約がある、というのが定説である。位置を正確に測定しようとすると、どんな測定方法でも、運動量の誤差が大きくなってしまう。同様に、運動量を正確に測定しようとすると、どんな測定方法でも、位置の誤差が大きくなってしまう。このような、位置と運動量の不確定性がある。同時には小さくできない、という事である。古典力学において、そのような不確定が観測されないのは、単に、不確定性によって大きくなる誤差の大きさが、日常的な物理量の大きさとくらべたら、とても小さい値なので、観測者が気が付かないだけである、というのが定説である。}{2}}}の程度である。}は「エイチ・バー」と読む。}であるさて、この記事(wikibooks『量子力学』)では今後、位置と運動量が同時に定められないことを前提として認めてしまい、ある物理的状態を表わすために必要な物理量がどんなものであるかを考える。関数の波動性にもとづく数学的なフーリエ解析的な「不確定性」とは別に、波動とは無関係に測定そのものの原理的限界としての「不確定性」を考える場合がある。啓蒙書や、古い物理学書では、これら別々の「不確定性」が、混同されている場合があるので、読者は注意が必要である。電子の二重スリットの回折実験の結果を、「不確定性」の現象と解釈する流儀もある。仮に、物理学の量子力学で言われる「不確定性」を、おおまかに以下のように分類したとしよう。波動とは無関係に、測定器が測定対象を擾乱(じょうらん)してしまう、という原理的限界を考えての「不確定性」。電子の二重スリットの干渉実験の結果を「不確定性」の現象と解釈する流儀。パターンBの「不確定性」とは、波動とは無関係に、微細な物質を測定する際には、測定器が測定対象にぶつかるなどして、測定対象を動かしてしまう・・・という発想である。極端な事を言えば、「仮に電子に波のような性質が無かったとしても、電子は微細であるので、測定の際には、測定器が電子に近づいたり、ぶつかったりするなどのように、測定器が測定対象を擾乱(じょうらん)してしまう現象が怒ってしまうので、電子の位置が動いてしまう。そのため、電子の正確な位置を測れない。」・・・という発想である。いう意味で、量子力学の「不確定性」を解釈している物理学書もある。二重スリット実験の結果パターンCの「電子の二重スリットの干渉実験の結果を「不確定性」の現象と解釈する流儀」とは、例えば「二重スリットのうち、どちらのスリットを電子が通ったのか?」という疑問は、そういう疑問は粒子的な疑問であるとして、波動を扱う量子論では無意味な疑問である、とする発想である。高校物理で習うような(通常の)光についての二重スリットをもちいた干渉実験において、光はスリットの穴の2つのうち、「二重スリット実験で干渉を起こす光は、どちらのスリットを通ったか?」なんて考えない。それと同様に、量子力学においても、電子はどちらのスリットを通ったかは考える必要は無い・・・とする発想である。どちらのスリットを通ったかハッキリとさせるために(位置をハッキリさせる事に相当する)、もし片方のスリットの穴の付近に測定器を近づけてしまったら、そもそも純粋な「二重スリット」ではなくなってしまい、そもそもキレイな(歪みない)干渉現象が起きなくなってしまうだろう・・・という発想である。干渉結果がゆがんでしまう事を、それは波長(つまり運動量)が歪んだ事だと解釈し、よって、位置と運動量との「不確定性」だと解釈する、・・・という流儀である。一般の読者や大学学部生にとっては、当面は、この数種類もある「不確定性」の区別にこだわる必要はないだろう。分野ごとに、どちらの意味の「不確定性」を重視しているかは異なる。学生は、それぞれの分野に合わせるが良い。説明のため、おおまかにパターンAとパターンBとパターンCの3種類だけに分類したが、実は物理学の議論では、もっと多くのパターンが混在しており、いまだに論争中である。パターンAとパターンBとパターンCを合わせて、ひとつの「不確定性」の用語で説明する、別のパターンもある。これとは別に、さらに、例えば、パターンAの不確定性とパターンBの不確定性とを区別すべきだ、という主張の「不確定性」もある。このように「不確定性」の説明については、何種類ものパターンがあり、この何種類もの「不確定性」をどう整理するかは、まだ物理学者が議論中なので、学生は深入りする必要は無い。電子の二重スリットの実験編集なお、二重スリットの実験では、電子を打ち込む実験の代わりとして、1999年にはツァイリンガーによりフラーレン分子C60を打ち込んだ実験も行われており、C60でも干渉縞を生じることが報告されている。意味を持つかについて考える。ある物体の持つ位置や運動量のことである。得ることが出来、これらの間に特別な関係は無かった。値を適当に取ってもよい量であったのである。量を定めることで物体がどのような状態にあるかを指定することが出来る。それらの量を任意に選ぶことが出来なくなることである。ある物体の位置と運動量は同時に定めることが出来ない。このことは、古典的には位置と運動量について、運動量が物体の位置を動かす微小変換に関する保存量になっていることによる。このことについては解析力学のネーターの定理が詳しいので、詳細を知りたければ参照せよ。量子力学においては、運動量はけっして単なる観念上の量ではなく、物質波の波長に関わる実在的な量である、という事が重要である。ここで、解析力学の知識を援用して、ある物体の持つエネルギーEが古典的にハミルトニアンHという量で表わされることを用いる。張られるベクトルを取る。持ち、このような操作は不可能に思える。初期に大きな数学的な問題となった。工夫することで、この様な作業が実際可能であることが示されている。詳しくはw:ヒルベルト空間などを参照。あるエネルギーを持った状態として存在する。E_{1}}を持っていたとする。_{1}}と表わせる。1つの基底として持つような行列として考えられている。古典的な考え方と変化することは無い。持っているものと考えることが出来るからである。全て求めることになる。{H}}}の固有ベクトルであると考えられる。完全に区別されることを仮定して来た。正しくなく、ある2つの量子的状態が等しいエネルギーを持っていることがある。この時には、各々の量子的状態は互いに区別することが出来ない。位置、運動量や角運動量なども含まれている。それらの量を区別することが出来る。位置x、運動量pなども量子的状態によって張られる「行列」のような物となることが予想される。(「作用素」ともいう。行列とそうでない量を区別する。行列でかかれる量をq-number,行列でかかれない量をc-numberと呼ぶことがある。)ここまでで位置xと運動量pが行列でかかれることが分かった。出来ないということを用いる。存在しないことに対応する。取れることが知られる。{x}}}が成り立つことを示している。[A,B]=AB-BA}で定義する。[A,B]=-[B,A]}に注意。}が成り立つことが知られている。2つの量を同時に定めることが出来る。古典力学とよく適合していることが分かる。}の交換関係が存在することが分かった。満たすような行列を用意することはしばしば困難である。関数空間とはある変数に関する関数をベクトルとして取る手法である。範囲での関数の積分を用いる。詳しくはw:関数空間を参照。その関数にかかるオペレーターとして表わされる。{x}}}}を対応させることがあげられる。xとpが互いに入れ換え可能であるという解析力学の結果に適合している。x^{2}}}}が対応することが分かる。(x)}に関する2階微分方程式になる。未知数が含まれている形の微分方程式を特に固有関数方程式と呼ぶことがある。ここまでで、量子的な状態を計算する手法が1つ得られた。{x}}}}の置き換えをする。}の微分方程式を解き、対応する微分方程式を解くことで、量子的状態が計算される。