上で証明したグラフラプラシアンと接続行列の関係式は、ベクトル解析のラプラシアンが勾配と発散によって関係づけられていることから自然な関係式なのだということが分かります。対応することを示します。第k列の第i成分は1、第j成分は-1になります。自身は枝上に定義された関数として解釈できます。したがって、ベクトル解析の勾配はスカラー場(関数)をベクトル場(関数)にしましたが、グラフ上の勾配(接続行列の転置)は節点集合上の関数を枝集合上の関数にすると解釈できます。対応することを示します。\end{align}を意味しています。以下のような感じです。これは、ベクトル解析の発散のイメージそのものです。ガウスの定理の証明あたりを参考にしてください。以上をまとめると、以下の対応関係が得られます。先ほどまで、勾配、発散、ラプラシアンはユークリッド空間上の関数に作用させていましたが、リーマン多様体上の関数に対しても勾配、発散、ラプラシアンが定義でき、上のような対応関係が得られます。リーマン多様体については、以下を参考にしてください。記事を書くにあたって参考にした文献です。重み付きグラフとグラフラプラシアンの定義のところを参考にしました。グラフ理論の初歩的な内容の解説と、初歩的なグラフ理論の制御工学の問題への応用が分かりやすく説明してあります。ベクトル解析の勾配、発散、ラプラシアンがグラフ理論の接続行列の転置、接続行列、グラフラプラシアンにそれぞれ対応しているという解説を参考にしました。この本は電気回路のネットワークの性質をグラフ理論の概念を使って色々解析しています。リーマン多様体上の関数への勾配、発散、ラプラシアンの作用素が詳しく説明されています。はてなブログPro佐藤一宏です。東京大学で講師をしています。見る月別アーカイブ注目記事はてなブログをはじめよう!ogyahogyaさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。