上のベクトル場が与えられると各点に馴染みのある矢印のベクトルがくっついてるというように考えることができます。表現して風というベクトル場を可視化していると考えることができます。\end{align}と定義します。加群ということになります。上のベクトル空間の構造も入っていることになります。要素であることに注意してください。いうように書けたので1階の微分作用素だとみなせます。局所座標表示すると2階の微分作用素だとみなせます。2階の微分作用素だとみなせます。1階の微分作用素となります。Lie(リー)括弧積と呼ばれています。リー括弧積は以下の性質があります。リー代数と呼ばれています。リー代数という代数構造も持ちます。上で紹介した天気予報でよく出てくる風のベクトル場を可視化した矢印たちを眺めていると曲線が見えてくるかもしれません。以下では、そのような曲線を数学的に考えます。速度ベクトルを考えることができて、速度ベクトルは曲線上の点の接空間の元、つまり接ベクトルになっていました。曲線上の各点の速度ベクトルを集めると曲線上のベクトル場が定義できたことになります。積分曲線は以下のように定義されます。局所座標系を使って表してみます。