0Tweet場合の数では、図形との融合問題が出題されることがあります。そんな問題の中でも、中学受験生が「難しい」と感じる応用問題にチャレンジしてみましょう。底面が角BAC=90°の直角三角形で、側面が全て長方形である下図のような三角柱があります。点P、Qは、次の【ルール】に従って動く点です。・大小2つのサイコロを同時に1回だけ投げる。・大きなサイコロの出た目を□とすると、点Pは辺AC上をA→C→Aの順に□cmだけ動く。・小さなサイコロの出た目を△とすると、点QはAB、BE上をA→B→Eの順に△cmだけ動く。このとき、次の問いに答えましょう。A、D、P、Qを結んでも三角錐ができないサイコロの目の出方は全部で何通りですか。A、D、P、Qを結んでできる三角錐の体積が、図の三角柱の体積の1/3倍となるサイコロの目の出方は全部で何通りですか。三角錐ができないサイコロの目の出方(1)から解いていきましょう。大きなサイコロの出た目が2、小さなサイコロの出た目が1のとき、【ルール】に従って点P、Qを取ると、下図のような三角錐Q-ADPができます。(角BAC=90°とあるので、三角形ADPを底面、QからADに下した垂線を高さとしました)この図からも分かる通り、三角錐ができるためには4点が必要です。PがAに重なってしまう場合、下図のように3点しかないため、これらの点を結んでも三角錐にはなりません。PがAに重なるのは、大きなサイコロの出た目(□)が6のときです。小さなサイコロの出た目(△)は1~6のどれでも構いません。したがって、A、D、P、Qを結んでも三角錐ができないサイコロの目の出方は(□、△)=(6、1)(6、2)(6、3)(6、4)(6、5)(6、6)の6通りです。三角柱の体積の1/3倍となるサイコロの目の出方(2)は場合分けが必要な問題です。サイコロの目の出方を考える前に、三角柱の体積を求めましょう。柱体の体積は「底面積×高さ」で求められるので、図の三角柱の体積は3×2÷2×4=12(cm2)です。A、D、P、Qを結んでできる三角錐について、三角形ADPを底面、QからADに下した垂線を高さとすると、高さ(青い線)の取り方は下図の通り2パターンが考えられます。÷3」から三角錐Q-ADPの体積を求めます。三角錐Q-ADPの体積=x×4÷2×y÷3=x×y×2÷3これが三角柱の体積の1/3倍である4に等しいので、x×y×2÷3=4x×y=6x=1、2、3のいずれかで、y=1、2のいずれかです(上図の左がy=1、右がy=2)。yが2パターンしかないので、yで場合分けしてみます。y=1のとき、x=6にならなければならないので、この場合は存在しません。y=2のとき、x=3になります。y=2となるとき、小さなサイコロの出た目(△)は2、3、4、5、6のいずれかです。x=3のなるとき、大きなサイコロの出た目(□)は3しかありません。したがって、求めるサイコロの目の出方は(□、△)=(3、2)(3、3)(3、4)(3、5)(3、6)の5通りです。頭を使って確実に正解できる方法を考えよう立体と動点、場合の数が組み合わさった問題なので、一見すると難しく感じられます。「『三角錐ができない』というのはどういうこと?」「三角柱の体積を式で表すとどうなるの?」と考えると、解法の糸口が見つかります。サイコロが2つの場合、全ての場合を検討しても36通りしかありません。いえ、今回のような問題では計算が面倒なので、地道に全ての場合を検討する方法はやめた方がいいでしょう。頭を使って確実に正解できる方法を考えることが大切です。頻出の「過不足算」を、面積図を使って考えます。不足をどう処理すればよいのかを、パターン暗記ではない方法で理解しましょう。後半には「長いす問題」の解説もあります。記事を読む【相当算】線分図で分数を視覚化!割合の公式を使わずに文章題を解く中学受験生の苦手分野である相当算を視覚的に解いてみましょう。「相当算=割合」と思い込んでいる中学受験生に、公式当てはめではなく、線分図を描いて考えるという視点を提供することが目的です。記事を読む小学生必見!計算ミスをなくす方法で効果的な“割り算禁止”って何?計算ミスの多い生徒や計算の遅い生徒は割り算でつまずきます。彼らの悩みを解決するための実践的な方法を紹介します。「~しなければならない」という思い込みを捨てると、今までできなかったことが簡単にできるようになります。記事を読む【場合の数】場合分け?数え上げ?規則的に考えて抜け漏れを無くす多くの中学受験生が苦手とする「場合の数」。その応用問題を解説しながら、場合の数を攻略するための視点を提供します。時計算とは、時計の長針と短針の作る角度やその角度になる時刻を求める問題です。これは追い越しの旅人算なので、絵やダイヤグラムを描くと理解しやすくなります。両針の動きを視覚化して問題を解いてみましょう。記事を読む【ニュートン算】線分図で状況を視覚化!他の特殊算と同じ解法で解く中学受験算数の鬼門とされる「ニュートン算」。このニュートン算も、線分図を使って状況を視覚化し、他の特殊算と同じ解法で解けば難しくありません。牧場と牛に関する典型問題を使ってニュートン算の解法を考えます。記事を読む【速さと比】歩数と歩幅の問題が苦手?線分図があれば公式は不要だよ中学受験算数の「速さと比」の単元には、歩数と歩幅に関する問題があります。この問題の解説を通して、逆算思考や情報整理の流れを紹介します。解法丸暗記ではなく、「なぜ?どうして?」を掘り下げてみましょう。記事を読む「量の単位のしくみ」でSI接頭辞を極める~単位換算の簡単攻略法~小学生が苦手とする単元に「量の単位のしくみ」があります。「3kmは何cmですか?」のような単位換算で、多くの小学生たちが混乱します。難しそうな単位換算について、SI接頭辞を踏まえた攻略法をお伝えします。記事を読む【容器と水量】水面の高さの求め方を攻略!水の深さと体積の関係は?容器と水量に関する問題のうち、おもりを水に沈める問題を解説します。水面よりもおもりの高さが高いときは場合分けが必要です。この場合分けの練習を通して、「ある状況を仮定する」という方法に慣れましょう。多くの中学受験生たちが苦手とする「過不足算」。そんな過不足算を視覚的に考えるためのツールに“線分図”があります。ガムの枚数と人数を求める問題を図に表しながら、“線分図”を用いた解法を説明します。中学受験生が苦手とする「場合の数」の分野から、旗のぬり分け問題を解説します。4色で5つの部分をぬり分けるのはどうすればいいのでしょうか?具体的な問題を通して、公式当てはめでは解けない問題の攻略法を検討します。記事を読む【旅人算】速さの和と差から出会い算と追い越し算を再考する中学受験算数の「旅人算」では、「出会い」「追い越し」という言葉のせいで多くの受験生が混乱しています。彼らのために、具体的な問題の解説を通して、速さの和と差を適切に使い分けるための視点を提供します。「食塩水の濃度(濃さ)」に関する問題で役立つ天秤法を紹介します。典型的な混ぜ合わせ問題から蒸発ややりとりに関する問題まで、天秤図を描きながら解いていきます。体積が同じ柱体は、底面積と高さが逆比の関係になります。この関係に言及しつつ、中学受験算数に頻出の逆比を乱用することの危険性を考えます。中学数学の方程式にもつながる式変形の考え方を紹介します。記事を読む【速さと比】ダイヤグラムで旅人算を図形的に考える(基本編)多くの中学受験生が苦手とする「速さと比」を、ダイヤグラムを描きながら図形的に考えてみましょう。旅人算でダイヤグラムを用いた解法が役立ちます。混乱しがちな逆比の関係については、実際に例題を解きながら説明します。中学受験や高校受験の算数・数学の図形問題では、補助線の引き方がとても大切です。「どうしてそこに補助線を引くの?」という疑問を解決するため、図形に補助線を描く際に必要な2つの視点を紹介します。記事を読む相似比と底辺比から面積比を求める!基準となる三角形を探せ!図形の面積比に関する問題の解説を通して、相似比や底辺比から面積比を求める手順を確認します。このタイプの問題では、基準となる三角形を見つけることが大切です。どの三角形の面積を1にすればいいのでしょうか?記事を読む【相似】平行線と三角形の問題ではちょうちょかピラミッドを探せ!多くの中学受験生が苦手とする算数の相似について、問題を解くときのポイントを解説します。平行線と三角形の問題ではちょうちょかピラミッドを探しましょう。後半では、有名な「ちょうちょの標本」問題にチャレンジ!記事を読むこんでいるのはどっちかな?~「単位量あたりの大きさ」を理解する~小学5年の算数で学ぶ「こんでいるのはどっちかな」という単元は、多くの小学生が混乱する単元です。混乱の原因を考えながら、「単位量あたりの大きさ」について理解しましょう。切断面を作図する!切り口の多角形はどんな形?中学受験生が苦手とする空間図形分野のうち、立方体の切断面を作図する問題を解説します。一見すると複雑怪奇な作図方法ですが、きちんと手順を踏んで考えれば簡単です。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。メトロ半蔵門線沿線で、小学生から高校生、社会人まで指導しています。まで、幅広く対応します。ライターとしても活動中です。さまざまなメディアでのWebライティング、取材・インタビュー、学校や塾などで使用する教材・模擬試験の作成、市販の書籍の執筆・改訂などを行なっています。家庭教師・ライターに関するお問い合わせは、以下のメールフォームよりお願いいたします。本サイト内の文章及び画像の無断転載を一切禁じます。記事中に間違いを発見された場合は、「お問い合わせ」ページ、もしくはコメント欄からご連絡ください。明らかな間違いは修正します。