グラフラプラシアンといいます。対応する固有ベクトルとなります。グラフラプラシアンは接続行列と呼ばれる行列によっても特徴付けられます。枝に一意な番号と任意に向きを付けます。はじめに与えた例のグラフの枝に次のように番号と向きをつけてみましょう。この枝に番号と向きの付いたグラフは次の行列と対応付けることができます。割り当てるというルールで枝に番号と向きの付いたグラフを行列表現できます。このような行列を接続行列といい、正確には次のように定義されます。重み付き無向グラフの接続行列を定義したとき、各枝には番号が付いています。いうように定義されます。用いて次の関係で結ばれます。この等式は枝に任意に向きを付けた接続行列から、グラフラプラシアンという枝の向きに独立な行列を構築できることを意味しています。少なくとも一つ持つ半正定値対称行列であることが即座に分かります。この等式の証明は以下の通りです。グラフラプラシアンという名前の由来グラフラプラシアンという名前はベクトル解析で登場するラプラシアンという作用素に由来します。なる無向グラフのグラフラプラシアンがどのようにラプラシアンに関係しているかを説明します。作用は次のようになることに注意します。次に、以下のような向きと重みのない格子グラフを考えます。-\phi(x-1,y)-\phi(x,y+1)-\phi(x,y-1)\end{align}となると考えられます。\frac{\phi(x,y+h)+\phi(x,y-h)-2\phi(x,y)}{h^2}\end{align}となります。\frac{\phi(x+h,y)+\phi(x-h,y)+\phi(x,y+h)+\phi(x,y-h)-4\phi(x,y)}{h^2}\end{align}となります。(-1)倍の離散化とみなせます。グラフラプラシアンの名前の由来のもう少し深いところ上で説明したように、グラフ理論のグラフラプラシアンとベクトル解析のラプラシアンには密接な関係があります。ここでは先ほどと同様に重みのない無向グラフを対象として、もう少し深いつながりを見たいと思います。\end{align}のことです。発散(divergence)の作用素を表します。ラプラシアンは勾配と発散の合成によって表現されます。このことと同様なことがグラフラプラシアンでも言えて、接続行列の転置が勾配に対応し、接続行列が発散に対応します。