倍だとすると以下の式が成り立つ。両辺のベクトルの大きさを取れば、となる。ベクトル内積の成分をみる内積の成分は以下で計算できる。すると内積の値は以下のように計算できる。内積のおかげ射影の長さの何倍とか何の意味があるの?と思うかもしれない。軸方向の単位ベクトルとの内積を考えよう。この絵から内積の力がわかるだろうか。軸方向の単位ベクトルについての内積の絵である。成分の値に対応するのである。軸方向の単位ベクトルについての内積の絵である。成分の値に対応するのである。単位ベクトルとの内積の値は、内積をとった単位ベクトルの方向の成分である。単位ベクトルで表すことができる。軸方向の単位ベクトルで表すことができる。このように、2つのベクトルを足したり引いたりして組み合わせて、平面上のベクトルをつくることを線型結合という。平行なベクトルを2つ用意した場合は、線型結合でつくれないベクトルがある。したがって、大きさが0でなくて平行でないベクトルを用意すれば、平面上のベクトルは線型結合で表すことができる。線型結合をつくるための2つのベクトルのことを「基底ベクトル」という。個の独立な「基底ベクトル」が取れる。基底ベクトルは互いに直交している単位ベクトルであると非常に便利である。この基底ベクトルのことを「正規直交基底」という。「正規」は大きさが1になっていることを意味する。この便利さは、高校数学の内容ではなかなか伝わらないと思う。以下の応用になるとわかるのだが...。なす角度がわかる内積の定義式を変形すれば、となる。ベクトル内積の応用をみる内積を使って何ができるか、簡単に応用例を説明する。ここからは、高校では学習しない話になる。フーリエ級数での例フーリエ級数はベクトル空間の拡張である、関数空間(矢印を関数に拡張した空間)における話になる。関数空間においては内積の定義が異なる。参考:線型空間のイメージを学ぶ。内積は関数同士をかけて積分するように決められることが多い。この基底の線型結合で作られる関数なんて限られているだろう。関数空間のイメージを理解するにはちょうどいい。「大きさ」の3倍であることを意味するのであった(1.3で述べた射影の長さの意味に対応)。ベクトルの「大きさ」はイメージできるが、「関数の大きさ」とは。それには内積の定義が必要である。ここでの内積を定義しておこう。「大きさ」は自分自身との内積(ノルム)のルートで与えられる。ノルムは、であることがわかる。ノルムで割ったものは、ノルム1の関数になる。あることが確認できる。直交するか確かめるために内積をとる。したがって、は正規直交基底である。あることがわかるだろう。cosとsinの内積がゼロで直交するので、sinの積の部分のみ計算すればよい。2つの正規直交基底を用いて線型結合で表すことができる。無限次元に拡張すれば、おなじみのフーリエ級数の式を得るだろう。ベクトル空間でのベクトルの成分とおなじイメージである。どのような波の重ね合わせで作られているか調べるのと同じである。cosとsinの直交性があるから、内積をとることでcosとsinの積は消えて、フーリエ係数が簡単に求められる。これ以上はここでは述べない。状態が似ているか?(量子力学の例)量子力学では状態をベクトルにしてしまう(状態ベクトル)。関数空間より抽象的な概念であり、新たに内積の定義などを行う必要があるので詳細は立ち入らない。以下では状態ベクトルの直交性について簡単に説明しておく。平面ベクトルが直交しているとは、ベクトル同士が90°異なる方向を向いていることである。状態ベクトルのイメージも同じである。大きさが1の2つの状態ベクトルを考えよう。状態ベクトルが直交しているとは、2つの状態が全く違う状態を表しているということである。ベクトル同士が同じ方向を向いていたら、そのベクトルはよく似ているといえるだろう。2つの状態ベクトルが似ている状態ならば、当然状態ベクトルの内積も大きくなる。抽象的な話になるのでここまでで留めておきたい。文章が似ているか?(cos類似度の例)量子力学の例で述べたように、ベクトルが似ているとはベクトル同士が同じ方向を向いていることだと考えられる。ベクトルの大きさが1(正規化したベクトル)の場合は、であった。「コサイン類似度」とよぶ。コサイン類似度が大きければ文章は似ている(近い方向を向いている)し、コサイン類似度が小さければ文章は似ていない(違う方向を向いている)。ディストピア小説であるジョージ・オーウェルの『1984』とファニーなセルバンテスの『ドン・キホーテ』はコサイン類似度は小さいと言えそうである。一方で『1984』とレイ・ブラッドベリの『華氏451度』は同じディストピア小説としてコサイン類似度は高そうである。(『華氏451度』を読んでいないので推測である。)私は人間なのでだいたいのコサイン類似度しかわからない。文章をベクトル化して機械による判別を行えば、いろいろな文章が似てるか似ていないか見分けることができるだろう。文章を分類する上で、ベクトルの内積の重要性がわかったと思う。まとめポップな絵を使ったベクトル内積の説明とうってかわって、後半の応用はやや複雑である。内積がいろいろなところで使われていてめっちゃ便利だということを知ってもらえれば嬉しい。お読みいただきありがとうございました。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。中心にお絵描きしながら学ぶ。計算ノートも兼ねて公開する。