)\end{matrix}\right.\end{align*}を満たすことを関数の直交性といいます。これらの関数の集合を直交関数系といいます。\}\)を用いて任意の関数\(f(x)\)は、\begin{align*}f(x)=a_{0}f_{0}(x)+a_{1}f_{1}(x)+a_{2}f_{2}(x)+\cdots+a_{n}f_{n}(x)=\sum^{n}_{i=0}a_{i}f_{i}(x)\end{align*}前回の記事はこちら直交関数系をベクトルの線形結合と類似して考えてみよう。関数の集合を(1)のように直交性を満たす三角関数(sin、cos)として考えます。k_{n}x\end{align*}と書けます。これはフーリエ級数展開と呼ばれています。dx=L\delta_{ij}\end{matrix}\right.\end{align*}の直交性を満たします。使って任意関数を表そう。\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{ik_{n}x}\end{align*}と書けるよ、という話をしたいと思います。これは複素フーリエ級数展開と呼ばれています。dx\tag{12}\end{align*}※\(e^{ik_{n}x}\)は\(2L\)周期関数ですので、任意関数\(f(x)\)も同じ\(2L\)周期関数に限った話であることに注意しましょう。こちらの記事もどうぞオイラーの公式を使ってフーリエ級数展開のサイン、コサインを指数関数で書いてみよう今から行う流れを示しておきましょう。フーリエ級数展開から、複素フーリエ級数展開を考えていきます。k_{n}x\tag{1}\end{align*}と記述できるというのがフーリエ級数展開というのを前段でお話しました。級数展開が\(\sin\)と\(\cos\)で別れているのもちょっと見にくいです。フーリエ級数展開を複素数まで視野を広げて、指数関数\(e\)を使って見やすくしてやりましょう!それにはオイラーの公式を使います。+i\sin\theta\tag{2}\end{align*}このようなオイラーの公式と呼ばれている「指数関数と虚数\(i\)と三角関数」が結びついているような奇跡の公式があります。-i\sin\theta\end{matrix}\right.\tag{3}\end{align*}(3)式を使って、\begin{align*}\left\{\begin{matrix}\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\end{matrix}\right.\tag{4}\end{align*}(4)式を(1)式の\(\sin,\cos\)に代入します。\frac{a_{0}}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}\bigg[\frac{1}{2}\big(a_{n}-ib_{n}\big)e^{ik_{n}x}+\frac{1}{2}\big(a_{n}+ib_{n}\big)e^{-ik_{n}x}\bigg]\tag{5}\end{align*}指数関数の係数を\(c_{n}\)と\(c_{-n}(=c^{*})\)とおいてやります。すると、\begin{align*}f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}\bigg(c_{n}e^{ik_{n}x}+c_{-n}e^{-ik_{n}x}\big)\tag{6}\end{align*}とまとめることができました。ここからもう少しまとめることができます。\(k_{n}=\frac{n\pi}{L}\)とおいていたので、(6)式を展開します。和の部分をまとめることができました。フーリエ級数展開の(1)式のときは、和の\(n=0\)も含めてしまうと\(\sin,\cos\)の両方に\(n=\)の係数が出てきてしまうので和には\(n=0\)を含めませんでしたが、今回は\(n=0\)も和に含めてしまった方がすっきりするので、\begin{align*}c_{0}=\frac{a_{0}}{2}\end{align*}と書いておくと、\begin{align*}f(x)=\sum^{\infty}_{n=1}c_{n}e^{ik_{n}x}\tag{7}\end{align*}と書くことができます。これを複素フーリエ級数展開といいます。L\)]とし、関数の集合、\begin{align*}\{1,e^{ik_{1}x},e^{ik_{2}x},\cdots,e^{ik_{n}x},\cdots,e^{-ik_{1}x},e^{-ik_{2}x},\cdots,e^{-ik_{n}x},\cdots\}\end{align*}※\(k_{n}=\frac{n\pi}{L}\)が関数の直交性を満たしているかを確認しておきましょう。)\end{matrix}\right.\end{align*}と表せることでしたが、複素関数の場合は異なる関数(もしくは自身と同じ関数)との複素共役との掛け算を積分した値が以下を満たすときに関数の直交性があると呼びます。)\end{matrix}\right.\end{align*}つまり、今の場合は↓これです。)\end{matrix}\right.\tag{8}\end{align*}では、(8)式を計算してみましょう。※虚数\(i\)と添え字の\(i\)が紛らわしいので、添え字を\(n\)や\(m\)で表すことにします。n\)に場合分けして積分します。)\end{matrix}\right.\tag{11}\end{align*}もし、\(m=n\)のときに積分した値が1になるようにしたかったら、関数の集合を\begin{align*}\{\frac{1}{\sqrt{2L}},\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{ik_{1}x},\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{ik_{2}x},\cdots,\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{ik_{n}x},\cdots,\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{-ik_{1}x},\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{-ik_{2}x},\cdots,\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{-ik_{n}x},\cdots\}\end{align*}としておけば良いです。複素フーリエ級数展開の係数\(c_{n}\)はどのように記述できるのかここから、フーリエ級数展開の係数\(c_{n}\)をどうやって求めることができるのかを示します。n\)同士の掛け算の積分は値が0になるというのを利用します。わかりやすくするために(7)式の和の部分を展開します。\(n\)番目の係数\(c_{n}\)が欲しい場合には、\(e^{ik_{n}x}\)を掛けて積分すると得ることができます。dx\tag{12}\end{align*}まとめ今までのところをまとめておきましょう。フーリエ級数展開から複素フーリエ級数展開を考えました。やったことの流れは以下です。\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{ik_{n}x}\end{align*}と書けるよ、という話をしたいと思います。これは複素フーリエ級数展開と呼ばれています。dx\tag{12}\end{align*}※\(e^{ik_{n}x}\)は\(2L\)周期関数ですので、任意関数\(f(x)\)も同じ\(2L\)周期関数に限った話であることに注意しましょう。\(m=n\)のときに積分した値が1になるようにしたかったら、関数の集合を\begin{align*}\{\frac{1}{\sqrt{2L}},\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{ik_{1}x},\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{ik_{2}x},\cdots,\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{ik_{n}x},\cdots,\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{-ik_{1}x},\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{-ik_{2}x},\cdots,\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{-ik_{n}x},\cdots\}\end{align*}としておけば良いです。使って任意関数を表そう。直交関数系をベクトルの線形結合と類似して考えてみよう。【フーリエ変換】非周期関数を考える。複素フーリエ級数展開の周期性を無限大にしよう。【フーリエ変換をイメージでわかりやすく】フーリエ変換によって異なる波数の波がどれくらい含んでいるかがわかる。【フーリエ変換をイメージでわかりやすく】フーリエ変換によって異なる波数の波がどれくらい含んでいるかがわかる。-【理想気体の比熱の温度依存性(8)】量子論で2原子分子の比熱を計算。低温極限で調和振動子の量子化エネルギーは凍結している。【CAE解析の目的とは?】CAEは実機の代替えなのか?精度を無視してパラメータスタディすることは意味がないのか?【Udemyがお勧め理由5つ】プログラミングを勉強するなら動画学習おすすめ【まとめ】比熱の温度依存性について。古典論と量子論から理解する。コメントを残すコメントをキャンセルプロフィールカマキリ(^^)大学以上の物理を勉強してブログに書いていきます。大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。CAE解析(流体解析)・毎日note更新しています。内容は、「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」を書いています。1DCAEの操作方法などを動画にしています。youtube・Qiitaではプログラミング言語の基本的な内容をまとめています。