kよって、a_(M+1)の上から99桁は全て1である。(a),(b)を満たす自然数として存在する。(証明終)nが大きくなるとa_nの上部は殆ど変わらなくなる。それならいずれ上から99桁が殆ど変わらなくなることもあるという訳ですね。3からも同じような方法で示せますが、この証明との違いは殆ど無いので割愛します。次は証明結果(5~7)をイメージして、そこから1~4の性質が関連しない証明方法を探してみます。ある特定のn=Nにて、a_Nが条件(b)を満たすと示す。・・・5nがある条件Qを満たすとき、a_nは条件(b)を満たし、Qを満たすnが存在することを示す。・・・61がm回連続現れるa_nが存在すると仮定すると、1がm+1回連続現れるa_nが必ず存在すると示す。(数学的帰納法)・・・76は漠然としすぎててスタートラインにはしづらい。いうわけで5か7でしょう。5で始めてみましょう。1が99回出てくるような(n+1)n(n-1)を探せばいいのですが、証明1の辺りで述べたとおり、これを探し出すのは至難の業です。ここで、これまでの証明でも活躍した10の累乗に登場してもらいます。彼ならこの問題を解決してくれるかもしれません。10^2000でしょう。Mに適当な値を入れれば容易に3Mという数の中に1が99回連続で出てくるように出来ます。実は、この証明方法は誘導と同じ発想だと思われます。小問1の唐突な不等式はこうして導かれたんですね。これ以下の証明は模範解答と全く同じとなります。10^1000の項でも1が連続に出てくるように出来ますが、3M2に1が99回連続で現れるMを強引に見つけるという、証明1とかなり似通った証明となるのでこちらも割愛します。数学的帰納法は発想としてもすぐに浮かぶ物ではないですし、このような証明に帰納法が使えるかも未知数ですがとりあえずやってみましょう。感覚的には、1が少なくともm個連続で並んでいるa_nがいくつもあったら、その内15%~20%位は1がm+1個以上並んでいるa_nになりそうです。分の1よりも起こりづらい確率!)ではありますが、条件(b)を満たすa_nは存在します。a_nに1がm個以上連続で現れるときの、a_nに1がm+1個以上連続で現れる条件付き確率を算出することは現実的ではないので、別の方法を探しましょう。他には、この様な方法が考えられます。1がm個連続で並ぶa_nが一つ見つかった時、そのnに適当な処置をすれば、1がm個以上連続で並ぶ別のa_nが見つかるなどとすれば、1がm+1個連続で並ぶa_nも見つかるかもしれません。こちらも色々探しましたが見つかりませんでした。その”適切な処置”が見つからないのです。nを十倍すると、a_10nはa_nの大体1000倍になりますが、a_10nにも必ず1がm個並ぶとは言いきれません。3、4を使って、nを一つずつずらしていくというのは使えますが、結局証明4を遠回りして示すような証明になるので没です。そんなわけで、色々考えてみましたが数学的帰納法では効果的なアプローチが見つかりませんでした。あと一歩って気がするんですけどねえ。以上、4通り(割愛した分も含めると7通り)で示してみました。高校範囲ではこれが限界ではないでしょうか。数学的帰納法の可能性は残されてますが。難問に見えましたが意外と証明への道筋が多いのは面白いように思います。因みに、別に1が99個でなくとも、任意の数の並びが含まれるa_nは存在します。証明内でX(もしくはY)を適当な値に置き換えれば証明可能です。おまけになりますが、(b)の条件には「10進法で表したとき」とあります。証明5以下、2進法で記す。2^50)と、この数は1が100個連続(10進法表記)で現れる数である。よってこのとき(a),(b)を共に満たす。(証明終)証明6以下、28進法で記す。(10進法に直すと28^100)とおく。(Rが10進法表記で200回続き、0が同じく100回続く)である。(Rは10進法表記で27。2の積について考える((n-1)/3は整数。(n-1)(n+2)(n+5)/R=(n3+6n2+3n-A)/Rである。6n2+4n-A}/Rと書き換えられる。(n-1)n(n+1)/Rは1が10進法表記で200回続き、0が同じく100回続く数である。(6n2+4n-A)/Rは10進法表記で200桁の数である。(6n2+4n-A)/Rは10進法表記で上から99桁の間は1が続く。2の積が(a),(b)を満たす。(証明終)等といった証明も可能となります。手順としては簡潔ですが、2、28進数と10進数の間の翻訳の手間がかかるのでどっちにしろ面倒くさいですね。第5問を様々な方法で解いてみるTweet広告を非表示にする関連記事2019-10-26一人暮らししたいという話10月に放送されたザ・ノンフィクションを観た。スケール差の描写この間、pixivに一枚のイラストをアップロードした。レシピ覚書あけましておめでとうございます。