よって(N-1)N(N+1)の初めの100桁は全て1である。以上より、(N-1)N(N+1)が条件(a),(b)を満たす自然数として存在する。(証明終)長さとしては証明1と変わりませんが、幾ばくか理解しやすくなったように思います。答案用紙に書くなら証明1でやろうとしていても途中で証明2にルート変更したいですね。次はn3のほうを無視する方法。nの計算が一部非常に簡単になります。説明しても分かりづらいので、証明を先に記してみます。10^1000のとき、nは1099桁の数である。10^3000なので、n3は下から3000桁目までは0が続く。1が99個連続で現れる箇所がある。ときの(n-1)n(n+1)が(a),(b)を共に満たす自然数として存在する。nの結果が一部とはいえ楽になります。nに1が99回連続で発生するようにMに適当な値を代入すれば良いだけです。あんな難問に見えた問題がこんな簡単に示せるとは意外ですね。手前味噌ですが先ほどの証明よりだいぶシンプルで美しい証明だと思います。3、4から、証明してみましょう。3、4について一度再確認してみましょう。・・・44より、a_(n+1)とa_nの比率はnが大きくなれば徐々に1に近づくと分かります。増加率はどんどん下がっていくため、nが十分大きい時にはa_nの上から99桁の数はゆっくりとしか変わっていかないことになります。それならば、11111...(中略)...11110で始まるa_nと11111...(中略)...11112で始まるa_nの間に11111...(中略)...11111で始まるa_nがあると言えそうです。ある数列a_nを定義する。と1が99個続く数をXとおく。いう不等式を満たせることが分かる。(i)(i)式を満たすnの一つをNとする。ここで自然数kを定義する。いう不等式を満たすとする。a_(n+1)を満たすnが一つのみ存在するはず。(ii)このnをMとおく。Nなので、Mは(i)式を満たす。