何の気なしに生きていく。第5問を様々な方法で解いてみるこの前、適当に数学の過去問を貪っていると、かなり面白そうな問題に出会いました。理系数学の第5問です。(画像は河合塾から拝借。)今回はこの問題(小問2)を誘導に乗らず様々な解法で解いてみたいと思います。問題文は長いですが、問うている内容は至極シンプル。証明までの道のりが多様に存在しそうに見えるのもあり、フェルマーの最終定理のように、挑戦してみようという意欲が湧きやすい良問だと思います。いえ一問辺り30分弱しか与えられない入試においては証明まで辿り着くのは厳しく、誘導が下手(個人の見解)なのもあり入試問題としてはかなり難問。僕も時間内では全く糸口が掴めなかった。入試には向かない問題と言えるでしょう。誘導の仕方も含め、ある意味東大らしいとは思いますが。河合塾の模範解答は以下になります。誘導に乗る解き方はこちら。http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/13/t01-21a/9.htmlさて、早速証明に取り掛かってみましょう。命題Pは自明とまではいかなくとも、n(n+1)(n+2)で表せる数は無限にあるのだし、nを大きくしていけばいつかは見つかりそうだと直感的には思うでしょう。いざ証明しようとすると、雲を掴むようで一歩目すら踏み出せない。そこでまずは三つの連続する自然数の積について言えること、また何をすれば証明となるかを書き出してみます。ある数列a_nを定義する。