使い時」を解説します!最後には数学的帰納法による証明を身につけるための練習問題も用意しました。数学的帰納法は整数問題をはじめ、数学全般の証明で頻繁に使われます。数学的帰納法とは、ある命題がすべての自然数\(n\)に対して成り立つことを証明する証明方法です。数学的帰納法で証明するべきことは2つ。1\(n=1\)で成り立つ2\(n=k\)で成り立つとき、\(n=k+1\)でも成り立つこの2つが示せると、このように、すべての自然数\(n\)に対して成り立つと言えます。そのまま覚える数学的帰納法のテンプレート数学的帰納法の証明は以下の4つのSTEPに沿って書きます。このSTEPさえ覚えれば簡単に証明できてしまうので、この場で覚えてしまいましょう。例題を解きながら、4つのSTEPを見ていきます。STEP1:\(n=1\)のときを示す数学的帰納法の証明は\(n=1\)で成り立つことを証明するところから始めます。よって\((左辺)=(右辺)\)が成立する。STEP2-1:\(n=k\)で成り立つと仮定する\(n=1\)での場合が示せたあとは、証明したい命題が、\(n=k\)で成り立つと仮定します。\(n=k\)で成り立つと仮定すると、\[1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}\]STEP2-2:\(k\)以下のすべての自然数で成り立つと仮定するSTEP2-1のように、\(n=k\)で成り立つと仮定しただけでは対応できない問題もまれに存在します。そんなときはこちらのSTEP2-2を使ってみましょう。STEP3:\(n=k+1\)で成り立つことを証明するSTEP2で仮定したことを使って、\(n=k+1\)で成り立つことを証明します。数学的帰納法の証明は、このSTEP3が山場です。STEP2で仮定したことをうまく使って証明しましょう。\[=(右辺)\]よって\(n=k+1\)でも成り立つ。この証明では、のようにSTEP2での仮定を使いました。STEP4:数学的帰納法から、すべての自然数\(n\)で成り立つSTEP3まで完了したら、「数学的帰納法から、すべての自然数\(n\)で成り立つ」と書いて証明終了です。よって\((左辺)=(右辺)\)が成立する。\[=(右辺)\]よって\(n=k+1\)でも成り立つ。数学的帰納法から、すべての自然数nで成り立つ。練習問題それでは数学的帰納法を使って証明問題を解いてみましょう。問題1\[\frac{1}{1×3}×\frac{1}{3×5}×\frac{1}{5×7}...×\frac{1}{(2n-1)×(2n+1)}\]\[=\frac{n}{2n+1}\]を示せ。よって\((左辺)=(右辺)\)が成立する。\(n=k\)で成り立つと仮定すると、\[\frac{1}{1×3}×\frac{1}{3×5}×...×\frac{1}{(2k-1)×(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}\]となる。\[=(右辺)\]よって\(n=k+1\)でも成り立つ。数学的帰納法から、すべての自然数\(n\)で成り立つ。問題2\[(1+2+3+...+n)^2=1^3+2^3+3^3+...+n^3\]を示せ。よって\((左辺)=(右辺)\)が成立する。\[=(右辺)\]よって\(n=k+1\)でも成り立つ。数学的帰納法から、すべての自然数\(n\)で成り立つ。数学的帰納法は覚えてしまえば簡単いかがでしたか?数学的帰納法を使った証明は、ここで紹介したSTEP通りにやるだけで簡単にできます。一度身に付けてしまえば怖いものはもうありません。さんの意見を聞かせてください!合格サプリWEBに関するアンケートアンケートに回答する!RECOMMENDこちらの記事も人気です。2017.2.19【数学B】等比数列の要点まとめ数学2017.4.8【3分で分かる!】順列と組み合わせの違いと公式(練習問題つき)古文2016.11.13【古典文法】断定の助動詞「なり・たり」ABOUTこの記事をかいた人はるにゃんこ都内の大学で数学を勉強しています。顔が石川佳純に似ているらしいです。