無理数乗は無理数か2018年6月13日ここでは、無理数の無理数乗は無理数になるのかどうか、について考えていきます。やって定義したかを復習しましょう。【基本】実数の指数で見た通り、有理数乗を使って近づけていくのでしたね。する、というように決めるのでした。このような決め方なので、具体的にどんな数なのかはよくわかりません。無理数なのか、有理数なのかも、簡単にはわかりません。変な決め方なので、ひょっとしたらいつも無理数になってしまうのではないか、という気もします。ついて考え、無理数の無理数乗がどうなるかを考えてみます。どんな数なのか、手で計算して具体的に求めるのは難しいです。無理数であることの証明で使ったように、「有理数だと仮定すると、どこかで矛盾が生じる」というのも難しいです。おもしろい性質があります。乗を考えてみましょう。複雑さが増してしまう気がしますが、きれいに計算できてしまいます。指数が無理数の場合でも成り立ちます(【基本】実数の指数でも書いています。厳密には証明していませんが)。これより、次のように計算できます。\\&=&2\end{eqnarray}「ルート2のルート2乗のルート2乗」は、2になるんですね。無理数乗は無理数か、の答え【応用】実数の分類と四則演算で見たように、無理数と無理数の和は、無理数にも有理数にもなりえます。無理数の無理数乗はどうでしょうか。有理数になることはあるでしょうか。先ほど考えた内容からこの答えを出すことができます。無理数か有理数かはわかりません。2となり、有理数になることがわかりました。どちらかは、無理数の無理数乗が有理数になる例」ということがわかります。有理数になる、ということになります。有理数になる(2になるから)、ということになります。無理数か有理数か、どちらかわからなくても、「無理数の無理数乗が有理数となる例」が作れるということです。なんだか不思議ですね。無理数であることが知られています。「ゲルフォント=シュナイダーの定理」という定理から導けますが、その証明は難しいです。おわりにここでは、無理数の無理数乗が有理数となる例を見ました。無理数乗は変わった定義の仕方でしたが、だからといって無理数乗がつねに無理数になるわけではない、ということに注意しましょう。