行列と対応しているため結合則を満たします。同じことを結合性があるとも表現します。結合性と反交換性から他の組み合わせの積を導きます。すべてに反交換性が確認できました。念のため行列の積でも確認します。\end{aligned}まとめると、次の性質を持った代数系が得られました。これは分解型四元数と呼ばれます。分解型複素数の虚数単位に由来します。四元数に似ていますが別物です。四元数の性質と比較します。四元数と分解型四元数で異なります。表現行列の成分は分解型四元数では実数ですが、四元数では複素数です。今回は分解型四元数についての説明が目的のため、四元数についてはこの辺で切り上げます。機会を改めて取り上げる予定です。成分が実数の行列です。この種の行列を実二次正方行列と呼びます。分解型四元数の表現行列を再掲します。\end{aligned}これによって任意の実二次正方行列を分解型四元数で表現できます。\end{aligned}具体例を示します。計算が入るため、ぱっと見で対応付けるのは困難です。\end{aligned}実二次正方行列と分解型四元数は相互に変換が可能です。行列の和と積と、対応する分解型四元数の和と積は、同じ結果となります。実二次正方行列と同型のため、二重数も表現できます。二重数の分解型四元数での表現としては簡単です。表現行列の逆行列が分解型四元数の逆数に対応します。\end{aligned}行列での結果より、次のように逆数を求めれば良いことが分かります。逆数の存在する条件です。分解型符号数となっています。逆数の分子より、分解型四元数の共役を次のように定めます。分解型四元数は分解型複素数のような直和分解ができません。分解型四元数の積には色々と興味深い性質があります。複素平面に相当するものをどのように構築するかとも関係します。次回はそれらを見ます。冪零行列から微分に応用できる二重数を構成します。2019-11-17行列の分割とケイリー・ハミルトンの定理ケイリー・ハミルトンの定理は非正則行列で特に有用です。連立方程式と対比して行列の演算を定義します。連立方程式と対比して行列の積の性質を調べます。(1)はてなブログをはじめよう!n7shiさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。