組み合わせればマイナスが出ません。そこで次のペアを考えます。$ak+bi$)に意味を持たせることも可能です。機会を改めて取り上げる予定です。これを2次元平面と対応付けます。向かう矢印と考えてベクトルと呼びます。ベクトルは方向と大きさ(長さ)を持った量で、矢印はそのイメージです。長さ1のベクトルを単位ベクトルと呼びます。縦方向の単位ベクトルです。分解型四元数の積には幾何学的な意味があります。ベクトルの長さベクトルを2乗すると長さの2乗が得られます。\end{aligned}長さが必要な場合は平方根を取ります。異なるベクトルの積を計算します。積の実部を内積、虚部を外積と呼びます。\end{aligned}積によって得られた内積と外積はベクトルとは異なります。生じているのは、表すものの違いが基底に現れていると考えます。同じベクトルを掛けると長さの2乗が実数値として得られました。これは内積の特別な場合です。異なるベクトルの内積も長さに関係がある量です。どちらか片方のベクトルに向かって垂線を下ろして方向を揃えてから、長さを掛けた量です。垂線はどちらに向かって下ろしても結果は変わりません。ベクトルの長さを固定したまま角度を変化させてみます。角度を小さくすれば内積は増大して、同じ向きの時に最大となり、長さの積となります。ベクトルの2乗がその例です。