このオイラーの多面体定理は、平面グラフの頂点や辺、面についても成立します。それでは、実際に証明してみましょう。ここに、左上のような三角柱があったとします。(図9)この三角柱を平面グラフに埋め込むと右上の図のようになります。(図10)ここで注意してほしいのは、グラフの一番外側(図のピンクの部分)も一つの面と考えるということです。立体を無理やり平面にしたので、底面が外側にはみ出してしまったのですね。「三角形」です!なぜかというと、頂点が3つ、辺が3本(水色の部分)ありますからねぇ。(そんな...)この、「外側の領域も一つの面である」という考え方は超重要ですので、しっかり押さえておいてください。次に、どのような多面体でも同じ議論ができるように、平面グラフの面をすべて三角形に分割します(緑の辺)。そんなことしてもいいの?」という気がしますが、辺を1本引くと面も1つ増えるので、「頂点-辺+面」の値は変わらないのです。ここまで準備が整ったら、外側の三角形から順番に消していきます。下の水色を消してみました。(図12)辺が1つ減りますが、面も1つ消えたので、「頂点-辺+面」の値は変わりません。先ほどと同じく、辺と面が1つずつ消えた形になっています。(図13)今度は、左の三角形を消しました。(図14)辺が2本(水色と赤色)減りましたが、頂点と面も1つずつ減ったので、やはり「頂点-辺+面」の値は変わりません。以下、同様の作業を続けます。すると、最終的に平面グラフはたった1つの三角形になってしまいます。ちなみに、さらに辺や頂点を消去していって、最後はたった1つの頂点になったとしても、式は成り立つので、この定理の奥深さを感じます。以上、四色問題の証明に必要な予備知識についてのお話でした。次回は、いよいよ四色問題をエレガントに証明(します)したいです。四色問題の塗り絵パズルアプリで、周りを4色で囲まれてしまい、行き詰まった時の対処法をお教えします。記事を読むクラトフスキーの定理の証明(7)そして完結へクラトフスキーの定理の証明第7弾。3-連結グラフが平面的であることを示し、ついに証明が完結します。完全グラフ、細分、位相的マイナーといった用語を解説し、クラトフスキーの定理を紹介しています。記事を読むクラトフスキーの定理の証明(2)点連結度から1-連結の証明までクラトフスキーの定理の証明第2弾。点連結度の解説と最小の非平面的グラフが1-連結である証明まで。記事を読むクラトフスキーの定理の証明(4)3-連結の証明と縮約・拡逆クラトフスキーの定理の証明第4弾。記事を読む四色問題とは何か?四色定理の歴史と塗り絵パズルのコツ四色問題(四色定理)の説明と塗り絵パズルのコツ、四色問題の歴史についての記事です。記事を読むクラトフスキーの定理の証明(6)3-連結は凸埋め込みを持つ証明クラトフスキーの定理の証明第6弾。凸多角形の説明と、3-連結グラフが凸埋め込みを持つ証明。記事を読むクラトフスキーの定理の証明(5)3-連結は平面的を証明する準備クラトフスキーの定理の証明第5弾。3-連結グラフが平面的になることを証明するための準備です。記事を読むクラトフスキーの定理の証明(3)誘導部分グラフから2-連結の証明クラトフスキーの定理の証明第3弾。記事を読む四色問題とは何か?四色定理の歴史と塗り絵パズルのコツしゃっくりはなぜ出るのか?原因と止める方法。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。生活・暮らし人気記事一覧お悔やみメールの文例。友人や友達に硬くない文面を送りたいとき。