コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの過程に関係なく、pであるとする。最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率を$P_n$とする。記号○がn個出た段階で操作は終了する。$P_2$をpで表せ。3$のとき、$P_n$をpとnで表せ。「○が表示される確率はp」というのが普通ですが、ここでは、「前回と同じ記号が表示される確率がp」となっていて、ちょっと見慣れない表現になっています。そのため、普通なら「○か×か」を考えますが、この問題では、「前回と同じ記号かどうか」に着目して考えていきます。(1)は、あてはまる場合をすべて書き出して計算するほうが確実です。(2)は、×が1回だけの確率はすぐに求められます。問題は×が2回のときです。「前回と異なる記号が表示される回数」で場合分けをします。1回目2回目が「××」なら、「前回と異なる記号が表示される」のは1回だけです。「×○」なら、「前回と異なる記号が表示される」のは3回となります。そのため、1回目2回目が「××」か「×○」かで状況が変わってくるので、場合を分けて考えていきます。