a{height:48px;width:48px}.screen-reader-text{border:0;clip:rect(1px,1px,1px,1px);-webkit-clip-path:inset(50%);clip-path:inset(50%);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute!important;width:1px;word-wrap:normal!important}.blogcard-snipet{display:none}じっくり丁寧に。苦手な理系科目もきっと...。数学の公式・定理集あります。物理のヒント集もあります。数学II式と証明|恒等式の証明についてスポンサーリンク式と証明|恒等式の証明について数学IITwitterFacebookはてブPocketLINEコピー2019/03/09スポンサーリンク今回から等式や不等式の証明に関する単元に入ります。恒等式の証明について学習しましょう。恒等式は文字にどんな値を代入しても左辺と右辺の値が等しくなる等式のことです。ここでは、恒等式であることを示すにはどのような方法があるのかを学習します。例題からここで学習することを探ってみましょう。例題\begin{align*}&\text{次の等式を証明せよ。\big)^{\scriptsize{2}}\end{align*}「等式を証明せよ」という問題です。これまでは等式が恒等式になるように、未知の定数の値を定めるのが主題でした。ここでは未知の定数は存在しません。気になるのは、左辺と右辺が一見して同じ式には見えないことです。「等式を証明せよ」というのは、左辺と右辺が同じ式であることを示せという意味だと考えられます。左辺と右辺が同じになる等式は恒等式です。恒等式の証明とは、左辺と右辺が同じ式となることを示すことだと言えます。等式を証明する方法にはいくつかあります。これらの方法を与式に応じて使い分けます。一方を変形して、他方を導く。複雑な式の方を変形するのが原則。それぞれ変形して、同じ式を導く。1番目や2番目の方法は、左辺と右辺が同じ式になることを示す方法です。等式が恒等式であることを示す方法と言えます。3番目の方法は、直接的で分かりやすい方法です。等式が成り立つならば、左辺と右辺を引き算すれば必ず0となるはずです。この考え方は、不等式の証明での理解の助けになるので、しっかりと理解しておきましょう。例題を解いてみようそれでは、実際に例題を解いてみましょう。例題\begin{align*}&\text{次の等式を証明せよ。例題(1)\begin{align*}&\text{次の等式を証明せよ。\big)\end{align*}3通りの方法で証明できます。使い分けできるようになるには、実際に使ってみて体感するのが一番効果的です。できるだけ、3通りの方法を使って演習しましょう。左辺と右辺の一方を変形して、他方を導く場合、原則、複雑な式の方を変形します。例題(1)では、右辺の方が複雑です。右辺を展開して整理します。\big)\end{align*}両辺をそれぞれ変形して、同じ式を導く方法この方法は、右辺と左辺の一方を変形して、他方を導くことが難しい場合に用いられます。例題(1)では、右辺を展開すれば、左辺を導くことができそう(実際にできた)なので、この方法を採用することはありません。左辺を因数分解すると右辺と同じ式になるので、やはりこの方法を採用することはありません。一方を変形しても他方を導くことが難しいと感じたら、両辺を変形してみよう。\big)\end{align*}少し計算過程が多くなりますが、きちんと証明できます。展開して同類項を整理する程度の計算であれば、引き算による証明もそれほど面倒ではありません。例題(1)の等式であれば、右辺を変形して左辺を導く方法が模範解答です。与式を見て、3通りの方法から適切なものを選択して使いましょう。割り切れることが分かります。自然数とすると、以下のことが成り立ちます。\big)\end{equation*}これは既知の事柄なので、覚えておくと良いでしょう。例題(2)\begin{align*}&\text{次の等式を証明せよ。\big)^{\scriptsize{2}}\end{align*}例題(2)を証明する場合、どの方法を用いると楽に証明できるでしょうか。左辺と右辺の一方を変形して他方を導くことは可能でしょうが、少し難しく感じます。なると、両辺を変形して同じ式を導く方法か、左辺と右辺を引き算する方法のどちらかになります。どちらの方法であっても両辺をそれぞれ展開する必要があります。面倒さはほとんど変わりません。ここでは、両辺を変形して同じ式を導く方法で証明します。両辺をそれぞれ展開して整理します。同じ式が得られるはずです。\big)^{\scriptsize{2}}\end{align*}両辺をそれぞれ変形する方法が上手くいきました。これを引き算にすると、左辺と右辺を引き算する方法になります。変形が少し面倒ですが、別解として、右辺を変形して、左辺を導く方法で証明します。例題(2)の等式であれば、左辺も右辺も同じような複雑さです。どちらかを選んで変形します。ここでは右辺を変形します。\big)^{\scriptsize{2}}\end{align*}等式の証明は、必ず両辺が同じ式になるという事実を踏まえて取り組みましょう。証明問題では、基本的にゴールが分かっているので、そこを意識するかどうかでだいぶ変わってきます。証明問題では、結論を意識して方針を立てよう。次は、恒等式の証明を扱った問題を実際に解いてみましょう。最新情報をお届けします。数学1|図形を扱った入試問題を解いてみよう2020/02/18運用力を鍛える英文法基礎【第8回】2020/02/162020/02/18図形と方程式|三角形の面積について2020/02/15運用力を鍛える英文法基礎【第7回】2020/02/132020/02/18図形と方程式|直線に関して対称な点について2020/02/12スポンサーリンク気になる教材があればコチラで探せます。その1(立式の基本)2017/06/052019/03/07積分法|定積分と区分求積法の関係について2016/07/012019/02/27中学数学|正負の数の四則混合算を解いてみよう2016/06/282018/06/15中学数学|正負の数の加減算を解いてみよう2016/06/272018/06/122次関数|2次関数のグラフの平行移動について2017/06/072018/08/08スポンサーリンクツイートkiriこのサイトでは、できるだけ図や表を使い、丁寧な過程を記述することを心掛けながら解説しています。このサイトの記事が、苦手意識や壁を取り除くきっかけになれば幸いです。中学生の先取り学習や高校生の受験対策、社会人の学び直しなどに役立てて下さいませ。数学1|図形を扱った入試問題を解いてみよう2020/02/18運用力を鍛える英文法基礎【第8回】2020/02/162020/02/18図形と方程式|三角形の面積について2020/02/15運用力を鍛える英文法基礎【第7回】2020/02/132020/02/18図形と方程式|直線に関して対称な点について2020/02/12スポンサーリンク気になる教材があればコチラで探せます。その1(立式の基本)2017/06/052019/03/07積分法|定積分と区分求積法の関係について2016/07/012019/02/27中学数学|正負の数の四則混合算を解いてみよう2016/06/282018/06/15中学数学|正負の数の加減算を解いてみよう2016/06/272018/06/122次関数|2次関数のグラフの平行移動について2017/06/072018/08/08スポンサーリンクタイトルとURLをコピーしました。