solid)とは、すべての面が同一の正多角形で構成されてあり、かつすべての頂点において接する面の数が等しい凸多面体のこと。ように表すことができる。これをシュレーフリ記号という。シュレーフリ記号は半正多面体(別名:アルキメデスの立体)にも拡張することができる。五種類のみであることを示すことができる。同じことは、オイラーの多面体公式あるいはデカルトの不足角の定理からも示すことができる。正多面体の定義[編集]ユークリッド「原論」第13巻で、球に内接する5つの正多面体の構成が論じられ、最後に、「いま述べた五つの図形以外に、等辺等角で互いに等しい図形に囲まれるほかの図形は作られない」[1]と記述されている。面は等しい面は正多角形であるすべての頂点は同一球面上にあるという条件をすべて満たす多面体である、と理解できる[2]。条件3については、1、2を満たす凸多面体であることを前提とすれば、すべての二面角は等しいすべての頂点形は正多角形であるすべての立体角は合同すべての頂点に同数の面が集まると言い換えることもできる。もつことを正多面体の定義とした。すれば、概略下記となる。[編集]正多面体どうしの間には、もれなく内接・外接の関係がある。[3]双対[編集]いずれの正多面体の各面の中心を頂点とする立体もまた、正多面体となる。これを正多面体の双対関係という。以上の3通りであるが、正四面体どうしの場合は特に自己双対という。面接触関係[編集]外接する正多面体に対して、内接する正多面体が複数の面を接する関係には次の3通りがある。)内に内接正多面体を示す。正四面体(正八面体)正四面体(正二十面体)正八面体(正二十面体)辺接触関係[編集]外接する正多面体の各面に対して、内接する正多面体の辺が接する関係には次の4通りがある。正六面体(正四面体)正六面体(正十二面体)正六面体(正二十面体)正十二面体(正六面体)点接触関係[編集]外接する正多面体の各面の面心に対して、内接する正多面体の一部の頂点が接する関係には次の3通りがある。正四面体(正六面体)正四面体(正十二面体)正八面体(正十二面体)外接する正多面体の一部の面心に対して、内接する正多面体のすべての頂点が接する関係には次の3通りがある。正八面体(正四面体)正二十面体(正四面体)正二十面体(正六面体)外接する正多面体の一部の辺の中点に対して、内接する正多面体のすべての頂点が接する関係には次の2通りがある。正十二面体(正八面体)正二十面体(正八面体)外接する正多面体の一部の頂点に対して、内接する正多面体のすべての頂点が接する関係は次のとおり。正十二面体(正四面体)一覧表[編集]正多面体の相互関係を次の表に示す。赤丸は接触点、太線は接触辺、塗りつぶし面は接触面である。裏側は図に描かれていない。[編集]正多面体を自分自身に重ねる三次元空間中の回転操作(回転変換)全体のなす群をいう[4]。これは三次元回転群の部分群になる。q}と書ける正多面体を自分自身に移す回転には次の3つのタイプがある。正四面体の場合は面の中心と頂点とが相対するので1と2が融合したものとみなす。次の表において、1,2,3には単位元でないものの数を示した。6これらの群の位数はさまざまな方法で記述できる。solids)という幾何学的概念の成立についての伝承としては、紀元前後のユークリッド『原論』の写本に残された次のようなメモが広く信頼されている。この第13巻では5個のいわゆるプラトン立体を扱っているが、これはプラトンによるものではない。ピタゴラス学派によるものであり、正八面体と正二十面体はテアイテトスによる。プラトンが「ティマイオス」においてこれらに言及したためにプラトンの名前が付いたのである。この巻にユークリッドの名前も載っているのは、かれがこの巻を原論に収録したからである。{210}正多面体による空間充填[編集]正多面体のみによる空間充填には次の2通りがある。正四面体と正八面体による空間充填。正十二面体は単独で空間を埋め尽くすことはできないが、単純立方格子状に配置すると、正六面体とジョンソン立体91番とによって空間充填する[6]。正二十面体も単独で空間を埋め尽くすことはできないが、単純立方格子状に配置すると、下図の三角二十面体と楔形の黄金四面体(辺の比1:φ)とによって空間充填する。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。Cookieに関する声明モバイルビュ。