推奨環境お願いトピの続きを新規トピで書いたり、「ご意見・ご要望」欄に書きますと、反映されませんので、レス扱いで書いてください。投稿の際は、必ず「発言小町の投稿ルール」(2019年2月1日改定)をよくお読みください。(毎週火曜)に、寄せられた投稿を掲載させていただく場合があります。発言小町の投稿の転載、利用を希望される方はこちらからお申し込みください。9:23DITAと申します。トピを開いてくださってありがとうございます。算数で扱う範囲、考え方、教え方など、いろいろ興味が出てきてしまいました。一言で「算数の常識」と言うのも、その中身には奥深さがあるんだなぁと。1:39かるさんの立場がよくわからないのですが、「現在の価値観で過去を断じない。12:16」では、どの程度の「順序の拘り」を想定しているのでしょうか?順序への拘りは、交換法則を習うまでではなく、延々高学年まで続くことがあるのです。長方形を横×縦では誤答、とする教師までいます。それは行き過ぎなのか、それも「見方によってはあり」なのか、お聞きしたいです。数学を専攻した小学校教員が「自分は納得できないが、学校の方針なので順序を指導しなくてはならない」と言っていた例もあります。理解している人が、多数が数学を理解していないので、嘘とわかっていても嘘を教えなくてはならないと言うのは、苦痛だと思います。数学を理解していない人が数学以外の場所(つまり算数教育現場)にいることで、このように苦痛を感じる人が生まれるというのは、弊害といえると思います。数学を理解していない人が算数を教えるのが一概に悪いとは言えないのですが、指導書通りの説明しか出来ない、やり方をたたき込むことしかできない教員はやはり困りものです。2:22(掛け算の順序の件)算数や数学で大事なのは、結果の一意性であって過程の一意性ではないはずです。教育上の配慮で特定の形式を教え込むということはあって良いのですが、正しいものを×にするというのは算数・数学観を歪める恐れがあると思います。現場の全ての先生にそこまでの見識を求めるのは無理ですから、指導要領できちんと説明して欲しいですね。9:58掛け算の順序と筆順というのは似ているように思います。筆順は、一応の手引きが示されてはいますが、正しい筆順というのはありません。書きやすいように書けばいいんです。文部省が手引きとして出している筆順と書家の筆順は違います。楷書の筆順と行書の筆順も違います。右と言う字の筆順は、筆で書くときとボールペンで書くときとでは書きやすさが違うので、現在では横棒から書いてもなんら問題はありません。実際に皆さんは右と左で書き順を変えていますか?掛け算の順序も、80x5でも5x80でも出てくる答えは同じだしどちらが正しいというものでもありません。ぼくは学習上の過程で、落ちこぼれや算数嫌いを減らすために掛け算の順序にある程度の指標を定めた方がいいと言う立場です。筆順にしても漢字を習得していく過程で、ある程度指標があるほうが学びやすいと思います。ところが、掛け算の順序にこだわらない人が、筆順にこだわるのは矛盾しているように思います。右という漢字を横棒から書いてXをもらった場合、なぜ抗議しないんですか?ユーザーID:1984691627トピ主です。10:12●かるさん疑問点へのレス、ありがとうございます。他の先生にとって悪影響をもたらす内容を、タスクとして教えている公務員がいると読めてしまい、これは大きな問題だと思います。算数の観点から、この順序でないといけないようなことも書かれています。「もし教育的効果がなかったとしても」という仮定の話でしょうか?少なくても、もし、かけ算の順序に正当性があるのであれば、それを教える教員の志望動機は問題にならないはずです。ご回答についてはとても参考になりました。他の「知識の上書き」に比べて批判の多い理由の1つに挙げられそうです。11:11ここ数週間答えを見つけ出せずに悩んでいる問題です。次の式のA~Iに1~9の数字を全て使って式を完成しなさいという問題です。どなたかエレガントな解法(理論的な)を教えてください。問題:1(A/BC)+(D/EF)+(G/HI)=1問題:2(A/B*C)+(D/E*F)+(G/H*I)=1アメリカの某数学者は、数分で解いたそうです。1:49DITAさん、いつも丁寧なご返事ありがとうございます。ご質問の主旨がよく分かりました。私が「極めて実務的」と書いたのは、「難易度の調整」のためではなく、たんに「あいまいさを除くために必要最小限の但し書きをつけた」という意味です。いう言葉を使うわけにもいかないので、「かけられる数」、「かける数」という微妙な説明になってしまっているだけだと思います。「長方形の面積を横×縦では誤答」というのは、論外な気がします。長方形の面積は、むしろ、交換法則を教えるための恰好の材料ですよね。長方形を横から見れば、さっきまで縦だった辺が横になり、横だった辺が縦になるわけですから。3:56ええい!メンドクサイ!!プログラム書いた方が早い!私はプログラマーなんだ!!ってことで。総当たりプログラムをちゃちゃっと書いて実行したところ以下のような結果が出ました。1これの入れ替えパターンしか無いですね。あると解釈すると(本来そのはず)、解無しですね。式の書き間違いでしょう。論理的な解き方私も知りたい。14:09どうも色々調べていくと、「かけ算の順序」は数学の真理とは関係ないようですね。教える側が、方便であることを自覚しているならさほど問題はないのかもしれません。「順序を教える」となると、よくわかっていない教員までもがこれで教えることになって、弊害が出てくるようです。これを回避するために、学校で「かけ算の順序」の指導を禁止したらどうか?禁止されたらやめてしまう指導法なら、所詮その程度の指導法というわけです。付和雷同の人は、この教え方をやめることになります。「かけ算の順序は優れた指導法である」と確信を持っている人は、禁止されてもやるでしょう。「違法行為」をするのだから、様々な批判にも反論できるだけの根拠をもつことになるでしょう。かけ算の順序が不必要な理解している生徒に強要することもしないでしょう。「今まで順序をうるさく言ってきたけど、本当はどっちでもいいのです。」と「上書き」もするでしょう。現実味はありませんが、一律に教員に順序の指導を強要して、長方形の面積を横×縦にしては駄目、などというアホな自体よりはましだと思います。ユーザーID:8503241366トピ主です。他教科との比較をもって「矛盾」とするのはどうなのでしょう。極論すると「道徳では答えは1つとは限らない」のような話にもなりますが...。論理の一貫性を求めるのに、書家の筆順という芸術的要素までを含める必要があるのでしょうか。「点画の長短,接し方や交わり方などに注意して,筆順に従って文字を正しく書くこと」という項目があります。少なくても書写において筆順はどうでも良いとは思えません。順序にある程度の指標を定めた方がいいと言う立場です。・指標の強制力などのバランス次第と考えます。一律統制は、指標がさほど合理的でもないのに強制力が大きく、バランスを欠いていると思います。ユーザーID:3716159584トピ主です。22:58まずは、数学犬さん、面白い問題をありがとうございます。有理数の範囲で雲をつかむようなものになってしまうんですよね。1などを出発点としましたが、ダメでした。論理的な解き方私も知りたい。答えを見てしまったら、もう17という素数しか頭に浮かばない(汗)。「さっぱり分からん!」というレスタイトルに答えが載っているとは思わなかった...(笑)。方がむしろ自然と言うことになります。それが今では万国共通で使われています。逆の順序でも問題ありません。ように書いたことが多かったようです。βと書くことが多いです。非可換な行列の場合ですら、状況に応じて転置して掛け算の順序を入れ替えることが日常的に行われていることがよく分かりますね。15:05数学的な議論はともかく小学生に指導するということに限って言えば順番が逆なら×とするべきだと思います。そもそも「2+2+2のように2を3回足すことを2×3と表記する」というのがかけ算の導入です。1mあたり7kgの棒が5mある。7kgの棒が5つ分あるから7+7+7+7+7=7×5と指導(子供は理解)するんです。5×7では5+5+5+5+5+5+5という意味になるので×としているのです。少なくともa×5=5×a=5aと書くと習う中学までは立式の段階では順番を気にするべきだと思います。(筆算する際、上下逆にして計算し易いようにするのは大いに結構だと思いますが)大人はオフィスで紙をくっつけるのにスティックのりを使うでしょう。幼稚園児が工作するのに、手が汚れるから、すぐに乾かないから・・・といってスティックのりを使わせるべきでしょうか?幼稚園児がでんぷんのりを使うのには教育的な意味があるんですよ。かけ算の話も同じ事です。かけ算の順番は理解度を測る方法の一つとして重要な意味を持つものだと思います。ユーザーID:1511092203トピ主です。さん「作法」というのは、まあ、なんというか、皮肉のつもりです(笑)。個人的には、あくまでも、その小学校の授業での「良く分からない、非数学的な何か」というイメージです。算数や数学の作法であれば、作法を守らなくても数学的に正しい限り、やっぱり×にはして欲しくないなーと思います。指導はなされても良いでしょうね。読みやすさへの配慮から、作法に従って記述することが望ましい、という場合も多々ありそうですし。代数的に等価である限り、どう書こうが不正解にはならないであろうものの、そこはかとなく記述の対称性に美意識が感じられる、というのが、いかにも「作法」な感じで(笑)。ユーザーID:3716159584トピ主です。「かけ算の順序」は数学の真理とは関係ないようですね。大半が教育上の理由なのは間違いないでしょうね。二立さんもおっしゃっていますが、クラス全体の底上げを図る狙いがあるのかと。「底上げという効果」と「統制による弊害」とのバランスを、どの程度、客観的かつ定量的に評価できるかがポイントではないかと思います。(数学的に云々な話は「弊害」に含まれるでしょう)特に「現状、かけ算の順序を教えることにより、底上げの成果がどれだけ挙がっていて、そのうち一律統制による(プラスの)成果はどのくらい」という評価が必要と感じます。本来二極化すべきでない議論を招きかねません。「できない子を見捨てるのか!」のような感情的な話になったらお手上げです(笑)。このあたり、客観的に評価する方法ってあるのでしょうか?ユーザーID:3716159584「順序はどうでもいい」と発想できる積極的意義がある。2:45(1)かけ算を、まず最初は、(1つ分)×(いくつ分)で導入する。(2)その後、交換法則もやり、(いくつ分)×(1つ分)という解釈でもいいとなる。(3)そのうち、(1つ分)×(いくつ分)も、(いくつ分)×(1つ分)も同じ事だとわかり、気にしなくなる。(4)(1つ分)×(いくつ分)とか(いくつ分)×(1つ分)から飛躍した、「かけ算」という概念を獲得する。これは私が考える、小学校でのかけ算習得のプロセスです。少なくとも、6年までにはかけ算の順序はどうでもいい、と積極的に思えないとまずいと思います。4×5を見て、「4が5つ」という発想しか出来ないのはまずいと思います。(1)の段階が理解できない子には、そこを徹底する意味はあるかと思いますが、全員に一律で小6まで、(1)の段階を強要するのは行きすぎだと思います。先ほど、5×7を(1つあたり)×(いくつ分)とする強引な解釈を述べましたが、こんな強引な解釈を持ち出さなくても、かけ算を文章題によらず常に数に抽象化し面積で置き換えて考える生徒には、順序云々はナンセンスなわけです。3:18直前の書き込みに書き忘れましたが、これは、DITAさんの問題提起への1つの回答です。小学校卒業までに、「かけ算は本質的に可換な演算であり、順序に意味はない」となっているべきです。自然数の四則演算が不十分な生徒がいるから、と高学年になっても分数を教えないのと同様に思えます。それまでの学習内容が不十分である生徒への配慮は必要です。高学年では高学年で定められた内容はやらなくてはなりません。高学年での分数と同様に、「順序の解除」が積極的に行われるべきです。「(1つ分)×(いくつ分)が正式だけど、今後は余り気にしなくてもいいよ」ではなくて、「実はどっちでもよかった。3×4は3が4つというイメージだけでは駄目だよ。4が3つというイメージも大切。イメージが浮かぶようじゃ駄目だな。『4×3は4×3』と思えないと」という具合。9:27統制は弊害でしょうか。統制というと言葉は悪いのですが、教室では教師の指導に従うべきです。底上げの効果と教師の指導に従わせることの可否については、教師の責任において教師の判断で行うべきです。学校の教師より、塾の先生がこういったといって、教師の指導に従わないような生徒が出てくると、学級崩壊につながりかねません。教師が非常識な指導をするようだったら、校長なり教育委員会を通じて是正を図るべきですが、ある時期、生徒の理解度を判断した上で、指導上の流れで掛け算の順序を定めて指導することは、非常識にはあたらないと思います。16:40分かってる子にとって順番を強制することがさも理解にブレーキをかけるかのように思っていらっしゃる方がいますが、その程度のことはきちんと理解できている子にとっては何ら障害となるものではありません。意味も分からずにただ問題文に出てきた数字をかければいいと思っている子ときちんと意味を理解している子を区別する手段として有効なものであると思います。17:06RESの反映が遅いので、前後するかもしれませんが、僕は基本的には積分定数さんの4つの段階論に賛成です。(1)かけ算を、まず最初は、(1つ分)×(いくつ分)で導入する。(2)その後、交換法則もやり、80X5も5X80も答え同じということを理解する。(3)そのうち、(1つ分)×(いくつ分)も、(いくつ分)×(1つ分)も同じ事だとわかり、気にしなくなる。(4)「かけ算」という概念を獲得する。1の段階では順序が違うとXでもやむをえない。2以降の段階で順序が違ってもOK。この段階移行については教師が判断し、その指導に従うということです。僕は交換法則云々ということより、文章題の文章をろくに読まないで式をたてる生徒が多いのが心配です。かれらは、言葉という抽象的なものから、具体的な概念を想起する力が弱いのです。そのため、問題文にイラストをつけるとか、単位に注目させるとか現場ではいろんな実践があります。自分の教室の生徒の力をよく知っているのは教師です。指導方法や段階移行は教師に任せていいのではないでしょうか。23:52かけ算の順序徹底による「底上げ効果」を厳正に評価すべきです。順序徹底が完全に普及していないならば徹底された生徒と、されなかった生徒で6年時の算数の成績を比較できると思います。違いはでないと思います。かけ算が、算数つまずきの、トップ10に入るなら違いが出るかもしれませんが。有意差がない場合は、順序の徹底は止めた方がよいと思います。教師側への悪影響が気がかりだからです。台形の面積=2つの三角形の和をバツにしそうで恐ろしいです。文章題に弱いのは、慣れの問題と思います。0:00仕方がないので自分自身で相手をします。1-1≠0と仮定したのですから、当然この背理法の証明は成り立ちません。?それはやっぱり自分で考えて下さいね。わかっている人には当然のことなのですが、当然じゃない証明をしようとしたから意外と盲点なのですかね。0:05順序の指導は全面的に否定されるべきとか、全面的に肯定されるべきとかではなく、段階と程度の問題だと思います。長方形の面積を縦×横として誤答、高学年で3つの積や簡単な文字式(指導要領解説を見たら、小6で文字導入だそうです)をやる高学年まで指導するのは行き過ぎだと思う。二立さんの見解とそれほど違いはないと思います。最初の段階も、無条件にバツではなくて、何故その式を立てたのか、生徒に確認してほしいとは思います。かけ算を教える前の段階で、「7人に2個ずつ蜜柑を」という問題で、「2+2+・・・」とやって、「大変だな」と思った生徒が、ふと、「7+7でも求められる」と気づかないとも限りません。かけ算の記号を導入した後も同様のことがあり得ます。かけ算を教える前に、実質的な交換法則をこのように気づかせるのもいいと思います。式にしてしまうと、□×○と○×□が混乱するわけで、「□を○個足す」と「○を□個足す」では、違いは一目瞭然。答えが同じ、という部分で不思議さを感じ、なぜなのか考えることが出来れば面白いと思います。授業で教えた方法しか正解にならないのはおかしいのでは、と言うことです。4:26むー太郎さま、トピ主さまへ失礼しました。それでは追加の問題です。今度は紙と鉛筆で挑戦してください。同様に1~9の数字を全て使ってください。問題3:ABCDE-FGHI=3333問題4:ABCD*E=FGHI1~8の数字を全て使ってください。問題5:ABC*D=EFGH数学犬は、問題3は何とか解くことができました。問題4と5は挑戦中です。ユーザーID:5297300341トピ主です。9:27の二立さんの投稿では、教育についての一般論的な話をされているようですので、それに追随したレスをします。二立さん、いつも真摯なコメントをありがとうございます。私はおおむねこの3つを分けて考えています。私はおおむね二立さんと似た立場だと思います。児童は先生に敬意を払い、指導に従うべきで、親としてもそう教えていくのが望ましいと思います。算数教育を優先するあまり、道徳がないがしろになってしまうのは有害と考えます。ユーザーID:3716159584トピ主です。教師の裁量が求められることは多々ある、という点で恐らく二立さんと似通っています。標準を考えることなく、教師の裁量だけを正とするのは良くないと思います。標準的な指導となる指標の存在価値は大きいと考えます。(1)ですが、現状の指導法が最善であり続ける保証もありませんし、そもそも最善かどうかも分かりません。望ましい指導法に関する議論は、常にあるべきと思います。その上で、かけ算の順序は、まさに(1)の議論ではないかと思います。「教師に従うべき」という主張をもって、理想の指導法についての結論を導くべきではないと考えます。私はどちらかというと害のほうが大きいと考えます。13:33>台形の面積=2つの三角形の和>バツにしそうで恐ろしいです。私が懸念するのもそこです。指導書にはかなり丁寧に別解が載っているので、これも載っていいるとは思います。「だから、教えた方法以外で解いたからバツと言うことではない」と市教委の人は言うのですが、「別解にない=誤答」ともなりかねません。実際、公式に当てはめさせるのが算数だと思っている教員も多いようです。近所の小学校であった実例です。適当な言葉を書く問題。したとこと、(1)は正解だが後者はバツ。なっていたのか?とふと思いました。14:02高校生に教えていて感じるのは、「問題ごとに解法・公式を当てはめるのが数学の勉強」という考えの根強さです。順列組み合わせの問題で「これはC?P?、『取り出す』だから、やっぱりP?」と質問されるたびに悲しくなります。自分で公式や解法を見つけだす、という態度は理系の生徒にも欠如しています。指数・対数を理解していない文系の生徒に、指数を一通り教え、対数の定義を教えて3^(log38)=?を出題したら、程なく解けました。理系の多くの生徒は、公式をこね回して、結局挫折しました。「教えられた解法・公式に従って問題を解くことが算数・数学」という考えが蔓延し、そういう人が教員になり「教えた解法・公式に従って問題を解かせることが算数・数学」となって、ますますこの傾向が蔓延する、というのが心配です。算数・数学の面白さは、試行錯誤して考えて正解に行き着くことだと思います。「順序」を重視する人の多くもこれは否定しないというか、むしろ「然り。考え方が大切だから順序が大切」と言うのですが、現状の「順序」の指導は、それとはだいぶ違ってきているように思えます。14:04答えが二つずつあるようですね。エレガントな解法は思いつきません。14:41連立方程式単元のテストで食塩水問題が出たとしましょう。答えを求めるだけならいちいち連立方程式など立てずに数直線をかけばすぐ求まります。出題意図を考えるとやはり式がないと(あるいは間違っていると)×でしょう。理解している子は出題のねらい・評価者が何を見ようとしているのかを分かっています。大人が期待する答えを書きます。小学生の文章題はかけ算を習ってるときはかけ算ばかり、わり算を習ってるときはわり算ばかり出てきます。わり算については順序を逆にすると答えも違ってくるから教師も親もまた本人も理解できてないということを知ることができます。かけ算は「今かけ算を習っているから出てくる2つの数字をかけておけばいいんだろう」と適当にやっても順序が違っても答えが合ってしまうのです。私は順序を理解していた側の子供でしたから、「順番が違う子は×にしてほしい」と思ってましたね。適当にかけ算して答えを求めた人と同じ評価をされるのはイヤですから。理解できている子とそうでない子を峻別する意味でも小学生の段階ではかけ算の順序にこだわるべきだと思います。学ぶ9この歌詞のタイトルを教えてください。孫を手放す勇気、背中を押してください気になるで賞なぜ人はパン屋でトングを持つとカチカチするのか(駄)令和らしいで賞AIにはできない職業(駄)ほっこり賞おばあちゃんってなんで私がいつも腹ペコだと思ってるの?エール賞19歳、余命宣告されました。