(これは解析学の定理なので説明していませんが、コンパクト・連続といったところで出てくる初歩的な定理なので、解析系の教科書を見てください。なって、結局複素数全体の範囲にわたっての最小値になる。これで第1段階が終了です。存在することを示します。ない限り、絶対値をさらに小さくすることができます。厳密な証明については解析あるいは線形代数の教科書などを参照してください。0でなければならないことになります。第1段階で使っている連続性、第2段階で使っている性質、それぞれが代数的というより解析的な性質なわけですね。「代数学の基本定理」については、ダランベールやラプラス、オイラーといった数学者たちが挑戦し、ガウス単独のものではありませんし、どうやらガウスの証明も厳密には穴があって先取権は別の数学者かもしれないという説もあります。数学史にもまだまだ取り組むべきことは多いようです。数を広げるという観点から、今回は複素数を導入しました。これによって、すべての代数的な方程式に解の存在が保障されます。最終目標の四元数まではもう一息なのですが、その話に入る前にもう少し方程式について話をしておきたいと思います。方程式に解が存在することは分かったとして、その解を見つけることができるか、という問題が残っているからです。2次方程式には解の公式が存在しました。それ以上の方程式にも解の公式があるのかというと、5次以上では存在しないことが証明されていることは上にも書きました。それでは解を求めるにはどうしたらいいのでしょうか?次回は、因数定理とそれを応用した方程式の解法について触れたいと思います。その次からは複素数のさまざまな側面を検討する中で、四元数へと近づいていきたいと思います。