生涯は全容を掴めていないが、古典古代における第一級の科学者という揺ぎ無い評価を得ている。彼が物理学にもたらした革新は流体静力学の基礎となり、静力学の考察はてこの本質を説明した。彼は革新的な機械設計にも秀で、シージ・エンジン[1]や彼の名を冠したアルキメディアン・スクリューなどでも知られる。数々の武器を考案したことでも知られる[2][3]。一般には、アルキメデスは史上まれな偉大なる古代の数学者という評価を受けている[4][5]。級数を用いて放物線の面積を求める取り尽くし法[6]、円周率の近似値計算[7]、彼の名で「アルキメデスの螺旋」とも呼ばれる代数螺旋の定義[8]、回転面(en)の体積の求め方や、大数の記数法も考案している[9]。てこを利用した投石機を用いて敵の海軍を打ち破った。アルキメデスはシラクサの戦い(en)において、彼には危害を加えないよう命令が下されていたにも関わらず、共和政ローマの兵士に殺害された。マルクス・トゥッリウス・キケロがアルキメデスの墓を参った言い伝えによると、彼の墓は球面に外接(en)する円柱を象っていた。あることを立証しており、彼自身この証明が最も成果があるものと見なしていた。発明した品々とは異なり、アルキメデスの数学に関する記述は古代においてほとんど知られていなかった。アレクサンドリアから伝わった数学は多くアルキメデスを引用していたにも関わらず包括的に纏められなかったが、530年にミレトスのイシドロスが編集し、6世紀にはアスカロンのエウトキオス(en)の著作が広く読まれ、初めて一般に知られるようになった。これらもまた中世までに廃れたが、ルネサンス期には多くの科学者に発想の元を提供する役目を持ち[10]、1906年に発見されたアルキメデス・パリンプセスト(en)からは、彼が得た数学的帰結に至る、知られていなかった洞察の過程についての情報を得ることができた[11]。生涯ベルリンのアルヒェンホルト天文台にあるアルキメデスのブロンズ像。ゲルハルト・ゲルダ作、1972年公開アルキメデスは紀元前287年、マグナ・グラエキアの自治植民都市であるシシリー島のシラクサで生まれた。この生年は、ビサンチン時代のギリシア(en)の歴史家ツェツェース(en)が主張した、アルキメデスは満75歳で没したという意見から導かれている[12]。(Phidias)」と告げている。プルタルコスは著書『対比列伝』にて、シラクサを統治していたヒエロン2世の縁者だったと記している[14]。アルキメデスの伝記は友人でもあるヘラクレイデスが書き残しているが、これは失われてしまい細部は伝わっていない[15]。彼は結婚したのか、子供はいたのかなど全くわからない。若い頃アルキメデスは、サモスのコノンやエラトステネスがいたエジプトのアレクサンドリアで学問を修めた可能性がある[13]。アルキメデスは紀元前212年、第二次ポエニ戦争のさ中にローマの将軍マルクス・クラウディウス・マルケッルスが率いる軍隊が2年間の攻城戦を経てシラクサを占領した年に死んだ。プルタルコスが記した俗説によると、まさに街が占拠された時アルキメデスは砂の上に描いた[9]数学図形(en)について熟考していた。ローマの兵士はアルキメデスをマルケッルスの元へ連行するよう命令を受けていたが、アルキメデスは思案中だとこれを拒絶した。これに兵士は激高し、剣をもって彼を殺した[16]。プルタルコスは、この殺害は連行される前の出来事だった可能性も示唆しており、この逸話によると、アルキメデスは製図器械を運んでいたところ、これを金目のものと見た兵士によって殺されたという。マルケッルス将軍はアルキメデスを有能な科学者と知っていたため危害を加えないよう指令を出していたにも関わらず、殺害されたという知らせに激怒したと伝わる[17]。球とそれに外接する円柱との体積および表面積の比は、いずれも2対3となる。アルキメデスの希望に沿って、彼の墓はこの球と円柱の形で作られた。circles)と伝えられる。これは、兵士が踏み込んだ際にアルキメデスは円の図を描いて数学的思索を巡らしている最中だったためである。この言い伝えには証拠は無く、プルタルコスの記述の中にも見出せない[17]。アルキメデスの墓は彼自身が好んだ数学的証明を題材に選ばれ、同じ径と高さを持つ球と円筒のデザインがなされたと伝わっていた。彼が亡くなってから137年後の紀元前75年、ローマの雄弁家(en)マルクス・トゥッリウス・キケロがクァエストルとしてシチリアに勤めていた頃、アルキメデスの墓について聞いた。場所は伝わっていなかったが、彼は探した末にシラクサのAgrigentine門の近く、低木が繁る省みられない場所に墓を見つけ出した。キケロが墓を清掃させたところ、彫刻がはっきり分かるようになり、詩を含む碑文も見出せるようになった[18]。評価が定まったアルキメデスの人生の記録は、彼が没してから長い時間が過ぎた後に古代ローマの歴史家たちによって記録された。』(普遍史)には70年前のアルキメデスの死が記されており、これはプルタルコスやティトゥス・リウィウスが出典に利用している。この書ではアルキメデス個人にも若干触れ、また街を防衛するために彼が武器を製作したことも言及している[19]。発見と発明アルキメデスは浮力の原理を用いて黄金の王冠が純金よりも密度が低いか否か判断したと言われる。広く知られたアルキメデスの逸話は、形状の複雑な物質の体積を調べる方法を思いついた一件である。ウィトルウィウスによると、ヒエロン2世が神殿に奉納するために黄金で作らせた誓いの王冠(en)について、アルキメデスは金細工職人が銀の混ぜ物をしてごまかしていないかどうか確認を依頼された[20]。密度を調べれば一目瞭然だが、それには王冠を溶かして体積を計算しやすい形に成形せねばならず、壊さずにこれを解決するには何かしら別の手法を考える必要に迫られた。この問題を解決するヒントをアルキメデスは入浴中に得た。浴槽に入ると、水面が高くなることに気づいたアルキメデスは、水は圧縮では容易に減容しない性質から[21]王冠を水槽に沈めれば同じ体積分水面が上昇し、容易に体積を測ることができると考えた。王冠の重量をこの体積で除すれば密度が求められる。比重が軽い安物の金属を混ぜていれば、王冠の密度は同じ体積の純金より低い。アルキメデスは「εὕρηκα!」(Eureka)、「ヘウレーカ!」[22]「分かったぞ!」の意)と叫びながら、興奮のあまり服を着るのも忘れて裸で通りに飛び出したという。確認作業は上手く行き、王冠には銀が混ざっていることが示された[23]。この黄金の冠の話は、伝わっているアルキメデスの著作には見られずアルキメデスが没してから約200年後ウィトルウィルスが著した文献に記述されているエピソードである。比重が大きい金の体積をこの方法で調べようとしても、水位変動が小さいため測定誤差を無視できないという疑問も提示されている[24]。実際には、アルキメデスは論述『浮体の原理』で主張するアルキメデスの原理である流体静力学の原理で解決したのではと考えられる。この原理では、物質を流体に浸した際、それは置き換える流体の質量と同じ浮力を得る[25]。これを利用し、天秤の一端に吊るした冠とバランスを取る同じ質量の金をもう一端に下げて、冠と金を水中に浸ける。冠に混ぜ物があって比重が低いと体積は大きくなり、置き換える水の量が多くなるため冠は金よりも浮力が高まる。天秤は冠側が上方に傾くことになる。ガリレオ・ガリレイもアルキメデスはこの浮力を用いる方法を考え付いていたと推測している[26]。詳細は「アルキメディアン・スクリュー」を参照アルキメディアン・スクリューは効率的な揚水に威力を発揮する。工学分野におけるアルキメデスの業績には、彼の生誕地であるシラクサに関連する。(en)の設計を依頼したという。シュラコシア号は古代ギリシア・ローマ時代を通じて建造された最大の船で[28]、アテナイオスによれば搭乗員数600、船内に庭園やギュムナシオン、さらには女神アプロディーテーの神殿まで備えていた。この規模の船になると浸水も無視できなくなるため、アルキメデスはアルキメディアン・スクリューと名づけられた装置を考案し、溜まった水を掻き出す工夫を施した。これは、円筒の内部にらせん状の板を設けた構造で、これを回転させると低い位置にある水を汲み上げ、上に持ち上げることができる。ウィトルウィウスは、この機構はバビロンの空中庭園を灌漑するためにも使われたと伝える[29][30][31]。現代では、このスクリューは液体だけでなく石炭の粒など固体を搬送する手段にも応用されている。アルキメディアン・スクリューは、ねじ構造を初めて機械に使用した例として知られている。ねじ構造はアルキメデスのような天才にしか思いつかないという人もおり、実際に中国でねじ構造を独自に機械として使用することはできなかった。「ねじは中国で独自に生み出されなかった、唯一の重要な機械装置である」とも言われる[32]。アルキメデスの鉤爪アルキメデスの鉤爪(en)とは、シラクサ防衛のために設計された兵器の一種である。呼ばれるこの装置は、クレーン状の腕部の先に吊るされた金属製の鉤爪を持つ構造で、この鉤爪を近づいた敵船に引っ掛けて腕部を持ち上げることで船を傾けて転覆させるものである。World」でこれが製作され、実際に役に立つか検証してみたところ、クレーンは見事に機能した[33][34]。アルキメデスは海岸に複数の鏡を並べて放物面反射器(en)として太陽光線を集め、シラクサを攻撃する洋上の船に火災を起こしたという説がある。「アルキメデスの熱光線」は嘘か真実か2世紀の著述家ルキアノスは、紀元前214年-紀元前212年のシラクサ包囲(en)の際にアルキメデスが敵船に火災を起こして撃退したという説話を記している。数世紀後、トラレスのアンテミオスはアルキメデスの兵器とは太陽熱取りレンズ(en)だったと叙述した[35]。これは太陽光線をレンズで集め、焦点を敵艦に合わせて火災を起こしていたもので「アルキメデスの熱光線」と呼ばれたという。このようなアルキメデスの兵器についての言及は、その事実関係がルネサンス以降に議論された。ルネ・デカルトは否定的立場を取ったが、当時の科学者たちはアルキメデスの時代に実現可能な手法で検証を試みた[36]。その結果、念入りに磨かれた青銅や銅の盾を鏡の代用とすると太陽光線を標的の船に集めることができた。これは、太陽炉と同様に放物面反射器(en)の原理を利用したものと考えられた。1973年にギリシアの科学者イオアニス・サッカスがアテネ郊外のスカラガマス(en)海軍基地で実験を行った。縦5フィート(約1.5m)横3フィート(約1メートル)の銅で皮膜された鏡70枚を用意し、約160フィート(約50m)先のローマ軍艦に見立てたベニヤ板製の実物大模型に太陽光を集めたところ、数秒で船は炎上した。模型にはタールが塗られていたため、実際よりも燃えやすかった可能性は否定できない[37]。学生グループは一辺1フィート(約30cm)の四角い鏡127枚を用意し、木製の模型船に100フィート(約30m)先から太陽光を集中させる実験を行った。斑点状の発火が見られたが、空が曇り出したために10分間の照射を続けたが船は燃えなかった。この結果から気候条件が揃えばこの手段は兵器として成り立つと結論づけられた。MITは同様な実験をテレビ番組「怪しい伝説」と協同しサンフランシスコで木製の漁船を標的に行われ、少々の黒こげとわずかな炎を発生させた[38]。シラクサは東岸で海に面しているため、効果的に太陽光を反射させる時間は朝方に限られてしまう点、同じ火災を起こす目的ならば実験を行った程度の距離では火矢やカタパルトで射出する太矢の方が効果的という点も指摘された[3]。その他てこについて記述した古い例は、アリストテレスの流れを汲む逍遙学派やアルキタスに見られる[39][40]が、アルキメデスは『平面の釣合について』において、てこの原理を説明している。4世紀のエジプトの数学者パップスは、アルキメデスの言葉「私に支点を与えよ。すれば地球を動かしてみせよう。κινάσω)」を引用して伝えた[41]。プルタルコスは、船員が非常に重い荷物を運べるようにするためにアルキメデスがブロックと滑車(en)機構をどのように設計したかを述べた[42]。アルキメデスは第一次ポエニ戦争の際にカタパルトの出力や精度を高める工夫や、オドメーター(距離計)も発明した。オドメーターは歯車機構を持つ荷車で、決まった距離を走る毎に球を箱に落として知らせる構造を持っていた[43]。publica)にて紀元前129年にあった逸話を採録している。紀元前212年にシラクサを占領した将軍マルクス・クラウディウス・マルケッルスは、2台の機器をローマに持ち帰った。これは、太陽と月そして5惑星の運行を模倣する天文学用機器であり、キケロはタレスやエウドクソスが設計した同様の機器にも触れている[44]。キケロは、マルケッルスの機器についてガイウス・スルピキウス・ガルス(en)がルキウス・フリウス・フイルス(en)に説明する下りを残している[44]。regione.訳:ガルスが球を動かすと、天空に見立てた青銅製の装置上で何度も回転が起り、月が太陽を追った。月と太陽が一直線に並ぶところでは月の影が地球に落ち、日食が再現された[44][45][46]。これはまさにプラネタリウム[13]か太陽系儀の説明である[44]。Sphere-Making』でこれら機器の設計について触れていると述べた。近年、アンティキティラ島の機械やギリシア・ローマの古典時代に同じ目的で製作された機械類の研究が行われている。これらは、以前はオーパーツ視されていたが、1902年に発見されたアンティキティラ島の機械を通じて、古代ギリシア時代には機構の重要部分に当たる差動装置の技術は充分に実用可能な域に達していたと確認された[47][48]。機械や装置の設計で著名であるが、アルキメデスはまた数学の分野にも大きな貢献を残した。2]と記した[49][50]。アルキメデスは取り尽くし法を駆使して円周率を求めた。アルキメデスは、現代で言う積分法と同じ手法で無限小を利用していた。背理法を用いる彼の証明では、解が存在するある範囲を限定することで任意の精度で解を得ることができた。これは取り尽くし法の名で知られ、円周率π(パイ)の近似値を求める際に用いられた。アルキメデスは、ひとつの円に対し辺が接しながらそれをくるみ入れる大きな多角形と、円の中で頂点が触れながらすっぽり収まる小さな多角形を想定した。この2つの多角形は辺の数を増やせば増やす程、円そのものに近似してゆく。アルキメデスは96角形を用いて円周率を試算し、ふたつの多角形からこれは31⁄7(約3.1429)と310⁄71(約3.1408)の間にあるという結果を得た[51]。彼は、円の面積は半径でつくる正方形に円周率を乗じた値に等しいことを証明した。『球と円柱について』では、任意の2つの実数について、一方の実数を何度か足し合わせる(ある自然数を掛ける)と、必ずもうひとつの実数を上回ることを示し、これは実数におけるアルキメデスの性質と呼ばれる[52][53]。『円周の測定』にてアルキメデスは3の平方根を265⁄153(約1.7320261)と1351⁄780(約1.7320512)の間と導いた。実際の3の平方根は約1.7320508であり、これは非常に正確な見積もりだったが、アルキメデスはこの結果を導く方法を記していない。ジョン・ウォリスは、アルキメデスは結論だけを示し、後世に対して方法をそこから引き出させようとしたのではと考察している[54]。球の体積は無限小・積分を用いることで公式を発見した。[55]また球の表面積は無限小・積分・カヴァリエリの原理を用いることで公式を同じ高さの円柱の側面の表面積と等しいことを示した。アルキメデスが立証では、上図にある直線で区切られた放物線の面積は、下図にある内接する三角形の面積の4/3倍に等しくなる。『放物線の求積法』でアルキメデスは、放物線が直線で切られた部分の面積が、放物線と直線の交点と直線と平行な接線が接触する3点を頂点とする三角形の面積の4⁄3倍になることを証明した。これは、無限級数と公比(en)を用いる。最初の三角形の面積を1とし、この三角形の2辺を割線(en)とし、放物線の隙間に同様な手段で2つの新しい三角形を想定すると、この面積の和は1/4となる。3}.\;}となる[6][56]。『砂の計算』では、アルキメデスは宇宙空間を砂ですべて充填するとした時、果たして何粒が必要かという試算に挑んだ。1063(1000那由他)を超えないと結論づけた[57]。評価アルキメデスはギリシア最大の数学者と評される一方で、有用な機械や兵器を数多く発明し、ローマ軍に恐れられた。この2つの側面を併せ持つアルキメデスは、数学に限らずこの時代の学者としては異例な存在だった。ギリシア的学問は純粋に論理を展開することに美しさを見出して重視し、実利的・営利的な技術などの知識はむしろ軽蔑された。アルキメデス自身もその価値観を持っており、プルタルコスもそのように書き残している[16]。この矛盾する2つの側面をアルキメデスは共存させながら、ピタゴラス的な数の概念とは大きく異なる「天文学的数字」を『砂の計算』で想定したり、現代の積分法に繋がる方法で面積を求めつつユードクソスの方法で証明しなおしたりと、自己内に相克を見せた。このような論理と技術の鬩ぎ合いは特に近代ヨーロッパ以降で表面化した数学の現象であり、それが数学を進歩させた原動力となった。アルキメデスが生きた時代にはこのような矛盾を孕んだ発展は望むべくも無く、彼以後のギリシア数学は形骸化した権威に沈んだ[16]。その他フィールズ・メダル月の北緯25.3°西経4.6°には、アルキメデスの名を冠したクレーター「アルキメデス(en)」があり[58]、小惑星「アルキメデス(en)」も彼の名に由来する[59]。world)が刻銘に使われている。裏面には、彼がその関係を発見した球と円柱が描かれている[60]。アルキメデスの肖像は切手にも用いられ、スペイン(1963年)、ニカラグア(1971年)、ドイツ民主共和国(1973年)、サンマリノ(1982年)、ギリシア(1983年)、イタリア(1983年)と多くの国で使われた[61]。著作アルキメデスの著述は古代シラクサで使われたギリシア語の方言ドーリス地方(en)語であった[62]。彼の著作はエウクレイデスのもの同様に原典は伝わっておらず、7つの論文は他者の参照などから判明しているに止まる。東ローマ帝国の建築家ミレトスのイシドロス(530年頃)はアルキメデスの著作を蒐集し、6世紀にアスカロンのエウトキオス(en)が注釈を加えて世に知らしめた。1187年)がラテン語へ翻訳した。Princeps)」をバーゼルで発刊した[63]。1586年頃ガリレオ・ガリレイは、アルキメデスの仕事にヒントを得て空気と水で金属の重量を計測する天秤を開発した[64]。アルキメデスは「私に支点を与えよ。すれば地球を動かしてみせよう」[16][13]と豪語し、てこの原理を端的に言い表したという。Planes)本書では、第1巻で7つの公理に基づく15の提議、第2巻で10の提議が示されている。この研究でアルキメデスはてこの原理であるトルクについて説明し、「大きさは、質量と相互的に比例した距離に均衡する」と述べた。多くの幾何学図形の面積と重心を求める法則を用いた[65]。通信という形式を取り、3つの短い提議が示されている。2つ目の提議では、円周率は223⁄71と22⁄7の間にあることを示し、特に後ろの分数は中世そして現代に至るまで円周率の近似値として用いられている[69]。Spirals)本書における28の提議もまたドシセオスに宛てたものであり、アルキメデスのらせん(代数螺旋)についての定義を示す。bを用いる以下の等式で説明される。}これは、ギリシア数学において動く点の軌跡がつくる曲線に対する考察の初期の例に当たる。rの円筒の間にある関係を述べている。両者の体積はそれぞれ、球が4⁄3πr3、円筒が2πr3となり、表面積はそれぞれ球が4πr2、円筒が上下の平面を含み6πr2となる。この結果から、球の体積と表面積は常に円筒の2⁄3になる。Spheroids)本書にはドシセオスに向けた32の提議があり、この中でアルキメデスは円錐、球、放物線を切り取った際の、断面の面積や体積を計算する方法を示している。Bodies)第1巻では、アルキメデスは流体が重心のまわりに集まって球状で均衡する様を説明した。これは、地球が丸いというエラトステネスなど当時のギリシア天文学者らの説明を理論化する目的があった可能性がある。彼はあらゆる物質が球体を成す落下点を想定しており、物質自らの重力によって集まるような状況は想定していない。第2巻では、彼は放物線の切片が均衡する状態を計算しており、そのうちいくつかは氷山のように下部は水中にありながら上部が水上に出ているものを扱っており、これは船体を想定したものとみなされる。浮力についてのアルキメデスの原理が考察され、以下のように述べられている。displaced.訳:どのような物体が全て、または一部が液体に浸かっているとき、その物体が置き換えた体積と同じだけの液体が持つ質量と同じだけの力が、方向を逆にして、物体を押し上げる。Parabola)本書もドシセオスへ24の提議を行う通信形式で、アルキメデスは放物線を直線で区切った部分の面積が、直線と平行な線を接線とする点と2つの交点でつくる三角形の面積の4⁄3倍になることを証明した。これは比1⁄4の等比級数(en)を用いて求められた。((O)stomachion)これはタングラムに近い切断パズル(en)であり、後にアルキメデス・パリンプセスト(en)として詳しく説明された。本書にてアルキメデスは、正方形に組み立てられる14個のピースの形状を示した。これを研究していたスタンフォード大学博士のリヴィエル・ネッツは2003年に、アルキメデスはこの14個のピースを用いて正方形を組み立てる際に、果たして何通りの組み合わせがあるかを問題にしていたと発表し、それは17,152通りあると見込んだ[71]。回転や反射など対称となるものを除くとそれは536通りとなる[72]。このパズルは、組み合わせ数学の初歩的な例に当たる。στόμαχοςが語源と推測される[73]。μάχη、machē)の合成語「Ostomachion」だと言った。Box」(アルキメデスの小筥)とも呼ばれる[74]。problem)この原稿は1773年にドイツのウルフェンビュッテル(en)にあるヘルツォーク・アウグスト図書館で、ゴットホルト・エフライム・レッシングが発見した、エラトステネスとアレクサンドリアの数学者に宛てた44行の詩の形式[75]で纏められている。アルキメデスは太陽神ヘーリオスが持つ牛の群れが果たして何頭なのか、ディオファントス方程式の整数解を求める問題として提示した。Amthorが初めて解き[76]、その数は7.760271×10206544という非常に大きなものとなった[77]。Reckoner)この著作では、アルキメデスは宇宙空間を埋め尽くす砂粒の数を試算している。ここで彼は、太陽系についてアリスタルコスの地動説と、地球などおのおのの天体間の大きさや距離についても当時の知識を用いた。超えないと結論付けた。(Phidias)」について触れている。この書(別名:Psammites)はアルキメデスが天文に言及した、確認されている唯一の資料である[57]。Theorems)本書は、1906年に発見されたアルキメデス・パリンプセスト(en)によって存在が知られ、アルキメデスが思考した概念を集約した書籍と評価される[68]。ここでは無限小を用いて、どのように面を無数の小片に分けて面積や量を求めるかという方法を示した。彼自身はこの方法が厳密さに欠けた箇所があると考えた模様で、結論を得るために取り尽くし法を考案したと思われる。本書は『牛の問題』同様、アレクサンドリアのエラトステネスに宛てたものとして書かれている。アルキメデス・パリンプセストストマッキオン(en)は、『アルキメデス・パリンプセスト』(en)の中で見つかった切断パズル(en)である。近年発見されたアルキメデスの著作は『アルキメデス・パリンプセスト』である。1906年、デンマーク人の教授ヨハン・ルーズヴィー・ハイベア(en)がコンスタンティノープルで1229年[79]に完成した174ページの山羊皮紙の祈りの書を調査した際、それがパリンプセスト(一度書かれた文字のインクを削るなどの方法で消し、別な文字を上書きされたもの)であることを発見した。調査の結果、山羊皮紙にかつて書かれていた文章は、それまで知られていなかったアルキメデスの提議を10世紀に写したものと判明した[80]。数百年コンスタンティノープルの修道院図書館に所蔵されていたこのパリンプセストは1920年代に民間へ売りに出され、1998年10月29日にはニューヨークのクリスティーズで競売に掛けられ、匿名の落札者が200万ドルで入手した[81]。その後落札者は写本の情報をデータ化するため素粒子物理学者など多様な解読の協力者を集め解読プロジェクトを始めた。彼らは画像を撮るため、本の背の糊を取り除き解体し、礼拝時にろうそくを使用したため付着したろうも取り除き、断片を元の場所にあてがった。さまざまに波長を変えた光を紙にあて画像を合成し、金箔でおおわれている部分については蛍光X線分析を行いインクに含まれる鉄成分の分布を調べた。[79]このパリンプセストは、唯一のオリジナルであるギリシア語で書かれた『浮体の原理』を含む7つの論文が写されていた。ここには、既に失われてしまったスーダ辞典を参照した『方法』についての唯一の情報があり、『ストマッキオン』も以前には発見されていなかった切断パズルがより完成度が高い解説つきで見つかった。他の4つは『平面の釣合について』『螺旋について』『円周の測定』『球と円柱について』である。合わせてヒュペレイデスの演説やアリストテレスの文章の注釈書も発見された[79]。このパリンプセストは現在メリーランド州ボルチモアのウォルターズ・ミュージアム(en)に保管され、隠された文字の全貌を明かそうと、紫外線やX線照射など先端技術を用いた研究が行われている[82]。アラブ語で書かれた写しが知られている。学者のT.L.ヒース(en)とマーシャル・クラーゲット(en)は、現在確認できるこれらの書がアルキメデスの著作をそのまま伝えているとは考えにくいと主張し、他の人物が引用しながら変更されたものだと述べた。この元になった考察はアルキメデスの初期の著述であり、これは失われていると述べた[83]。この公式について信頼に足る証拠は1世紀にアレクサンドリアのヘロンが提唱したものしか無い[84]。朝日出版社、1981年。中央公論社、1972年。ギリシア哲学者チームと、ドイツ近代哲学者チームが、サッカーの試合をするというコメディ。哲学者たちは思索にふけって全く試合にならないのだが、突然アルキメデスが「Eureka」と叫んで走り出し、ソクラテスとともに得点をあげるという筋立て。アルキメデスは『螺旋について』にてペルシウムのドシセオスに宛てた序文を載せているが、そこで彼は「コノンが亡くなってから何年もが過ぎた」と書いている、サモスのコノンは紀元前280年から紀元前220年を生き、この言葉はアルキメデスが著作を書いた時は晩年だった可能性を示す。Calendar』がある。II』『円周の測定』『砂の計算』だと主張した。Mathematics、1991年)では「一般にヘロンの公式と呼ばれる三辺の長さから三角形の面積を求める公式は、ヘロンよりも数世紀前の人物であるアルキメデスの仕事だとアラブの学者は伝える。彼らはまた、broken-chord定理もアルキメデスの作だと考える。アラブ人は、いくつもの定理をアルキメデスが証明したと報告している」と述べられている。2010年7月2日閲覧。2010年7月2日閲覧。2007年7月23日閲覧。2008年6月9日閲覧。2010年7月2日閲覧。2007年8月7日閲覧。2010年7月2日閲覧。2010年7月2日閲覧。2007年8月7日閲覧。2007年10月14日閲覧。2010年7月3日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年1月2日閲覧。1994年(初版1988年)、第12刷、45-50頁。4-06-158844-3。2007年1月2日閲覧。2007年1月2日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年8月30日閲覧。2008年2月27日閲覧。他にもエウレカ、ユーリカ、ユリーカ等、英語形(Eureka)を元にした日本語表記がある。ドイツ語、デンマーク語などではHeurekaと表記される。2007年7月23日閲覧。2009年3月24日閲覧。2007年7月23日閲覧。2009年3月24日閲覧。2010年7月10日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年8月12日閲覧。2007年9月14日閲覧。2007年8月12日閲覧。2010年7月3日閲覧。2010年3月20日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年9月14日閲覧。2010年7月3日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年9月18日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年7月23日閲覧。ベレ出版〈数学の風景が見える〉、2000年。4939076490。2009年8月10日閲覧。2010年7月3日閲覧。2010年7月3日閲覧。2009年11月7日閲覧。2010年7月3日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年9月13日閲覧。2007年9月13日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年8月25日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年9月14日閲覧。2007年10月14日閲覧。2010年7月3日閲覧。2010年7月3日閲覧。4486011023。2010年7月3日閲覧。朝日出版社〈科学の名著〉、1981年。425581029X。2007年7月23日閲覧。2008年5月18日閲覧。2007年9月14日閲覧。2008年5月9日閲覧。2010年7月3日閲覧。2007年9月14日閲覧。2010年7月3日閲覧。2008年1月24日閲覧。2008年1月15日閲覧。2007年7月23日閲覧。2007年8月7日閲覧。ウィキソースにアルキメデスに関するブリタニカ百科事典第11版のテキストがあります。ウィキクォートにアルキメデスに関する引用句集があります。ウィキメディア・コモンズには、アルキメデスに関連するカテゴリがあります。アルキメデス写本』光文社、2008年。ライブラリー〉、2006年。