そこには引き算、割り算、平方根などの、新しい問題(計算)を、数の概念を広げることによって解けるようにしていくという流れがありました。今回からは、もっと一般の「代数方程式」というものを考え、それを解くためには何が必要なのかを見ていきます。今回からは代数の話に入っていきます。多項式を定義しておきます。(1)と書き表される式を(n次)多項式と言います。形にかける方程式を代数方程式と呼びます。おなじみなのは、1次方程式や2次方程式でしょう。これまでの議論も、「方程式の解」という観点でまとめることができます。1次方程式(2)の解として現れます。認めるということです。ここまでは1次方程式の話です。して必要になってきます。実は、実数というのは代数方程式の範疇だけで考えられるものではありません。有理数だけを用いた代数方程式の解として求めることはできません(こういう数を超越数といいます)が、今回は代数方程式の方向で話を進めていきたいと思います。一般の2次方程式、(5)の解法は、教科書的にいえば中学3年生で習うことになっています。そこでは因数分解や平方完成、解の公式といったものを習うわけですが、その一つ一つが数学のいろいろな場面で使われる重要な道具立てになっています。「解の公式」、(6)は、中学に出てくる数式の中では異例の複雑さで、中学生には嫌われることこの上ないものになっています。この「解の公式」のおかげでどんな2次方程式であっても、係数を公式に代入しさえすれば解くことができるのです。「解の公式」は2次方程式に対する「最終兵器」といっても過言ではないでしょう。ビバ!解の公式!!と持ち上げたところで、これに待ったをかけるような方程式が現れます。(7)なんの変哲のない、簡単な方程式に見えます。これを解の公式を用いて解いてみましょう。めんどくさいルートの中から計算しておくといいですね。