これらを用いれば、複素数の商は次のようになります。(19)(20)(21)積と商については、形も複雑ですし、慣れないうちは大変かと思います。積と商の意味するところについては、第7章の複素平面で考えるとより明確になるかと思います。ひとつ変わった点は、複素数はもはや順序体ではないということです。順序完備ではありません。連続性などの性質はもっていますから、ほとんどの議論は十分成立します。負数の平方根を認めて複素数を作ったときに、矛盾なく加減乗除という計算が定義でき、自然に数を拡張することができるということを確認してください。代数学の基本定理さて、虚数、あるいは複素数の存在を一度認めたならば、2次方程式には必ず解が存在することになります。ここでも、新しい問題(2次方程式)を、数の世界を広げることで「解ける」ようにしたわけです。3次方程式以降はどうなのでしょうか?3次方程式の解を表現するには、また新しい虚数のようなものを導入して数を広げる必要があるのでしょうか?その答えは「No」です。逆に言えば、複素数を認めてしまうと、すべての代数方程式に解が存在することが証明できます。これを「代数学の基本定理」といいます。この代数学の基本定理を証明することは、代数学の力だけではできません。複素関数論という解析学(微分・積分)の定理か位相幾何学の定理を使わなければならないのです。分野が分けられていますが、それぞれが独立であるわけではなく、お互い別の分野の成果を用いて成立している部分があり、やはり数学は全体で一つの学問分野として成り立っているわけです。今回のメインディッシュ、代数学の基本定理の証明に行きましょう。厳密に展開せず、ストーリーというか大まかな流れだけを見たいと思います。ここでは、一般的に目に触れる解析的な証明を紹介します。少なくとも1つ存在する」ということである。証明は大きく分けて2段階あります。複素数上で最小値を持つ。実は、その最小値は0である。なる点が存在することになる。絶対値の大きな値に変えて行ったとしよう。書けば次のようになる。絶対値も大きくなっていく。