(8)なんてこったい・・・ルートの中が負になってしまいました。私が中学生だった1○年前はこういう問題も出まして、「解なし」と習ったものです。最近の中学の教科書やら入試問題集では、こういう方程式の存在は無視され、ないことにされているようです。(2012年度からまた指導要領が変わりますので、この辺の事情は変化するかもしれません)ちょっと上では「最終兵器」とか言っておきながら、難攻不落、絶対に解けない2次方程式があるのです。それはそもそも「解がない」のだから解きようがないということになります。虚数登場2次方程式の解の公式の原型は、古くバニロニアの時代からあったようですが(もちろん当時はまだ負の数の概念もありませんから、今のような形にはなりませんが)、少なくとも5世紀から6世紀にかけてのインドでは今のような形で存在したようです(フワリズミの代数学)。)」というのはあり得ない数として避けられてきました。その状況が変わるのは3次・4次の代数方程式の解の公式が発見される16世紀ごろになってからです。この解の公式を計算する過程で、最終的な解が実数解になる場合でも、計算途中に負数の平方根を(形式的にであっても)使わなければならないという状況が発生したのです。当初、これはあくまで便宜的なものであって、実際はありえない数とされてきました。これを覆し、負数の平方根も認めようとしたのはガウスです。ガウスは、次に述べる「代数学の基本定理」を証明する際に、負数の平方根を認めれば、すべての代数方程式に解が存在することを証明しました。「imaginary=想像上の」、あるいは「虚」という語にあるように、当時は実在の対応物を持たない、概念上のものとされたようです。形に書ける数)が平面上の点と対応することを示しました。複素平面についてはこの文章の別の章を割り当てて詳しくみることにしたいですが、現代の物理学では、波動関数、あるいは状態と呼ばれる基本的な量が本質的に複素数であり、虚数なしには物理を表現することは難しくなっています。その意味では、もう「虚」という言い方は実態を表していないといえるかもしれません。ここでは、虚数・複素数の性質と基本的な計算について確認しておきましょう。一度、定義からはじめます。ルートを使うよりも、「自乗して-1になる数」という定義にしておきます。これを使えば、(10)などと書き表すことができます。実数×虚数単位の形に書ける数を「純虚数」といったりします。number)といいます。似た形をしていますが、普通の平方根を使った数は数直線上にありますが、この複素数はもはや数直線だけで表すことはできません。その辺の事情はまた場所を改めて解説していきたいと思います。ここでは、複素数の上に加減乗除の計算を定義しましょう。和と差については、平方根の計算と同じようにできます。あったとき、この2数の和と差は、(12)となります。注意して計算すれば、(13)(14)(15)となります。次は商ですが、その前に複素数の逆数について計算しておきましょう。これは「分母の有理化」の要領です。