上界に最小元があるならば、それを上限、下界に最大元があるならば、下限という。この有界という概念が、有理数と実数を分ける重要な概念になります。満たしますから有界です。有理数のなかでは、この上界は最小元を持ちません。この違いを完備といいます。定義するならこうなります。完備あるいは順序完備であるという。有理数から実数を作る前に先回りして定義してしまった感がありますが、これから実際に有理数を完備化して実数を構成してみます。実は完備化の方法は一つではありません。以下ではその一つであるコーシー完備化を説明しようと思いますが、切断による完備化などほかにも完備化の方法はありますし、厳密なことを言えば、コーシー完備は上の順序完備よりもゆるい条件であって同じではありません。有理数の完備化としてはどの方法をとっても同じものになることが証明されています。この辺のことは省略させてもらいます。有理数列が有理数に収束するとは限らない有理数から無理数へつなげていくためには、何か無限に関わる操作をしなければなりません。有限回の操作を行ったのでは、それはまた有理数になってしまうからです。そこで、数に対する操作の繰り返しとして数列を考えます。その極限として無理数が出てくるようなものを考えるのです。(1)という数列を考えます。いくつかこれを計算してみると、となります。これは、2から始まって加減乗除だけで計算していますから、どの項も有理数のままです。この数列は、どんどん差が縮まっていく性質を持っています。ε-δ論法で厳密に書くこともできますが、ここではそういう数列をコーシー列ということだけ覚えておきましょう。満たすような数になります。このように有理数の列があったとき、それがコーシー列になっていて極限をもっていたとしても、その極限がまた有理数の範囲に収まるとは限らないのです。これは前節の有界であるが上限をもたないのと同じことです。収束するということは有界なわけですが、その行き先がその集合自身に含まれているとは限らないわけです。そこで、有理数のコーシー列の極限を有理数に付け加えれば、その集合はコーシー完備になります。(厳密にはもうちょっと違う方法をとります。コーシー列そのものに同値関係を導入し、それの商集合として実数を定義します。)こうして、有理数から実数を作ることができました。一般にコーシー列がその集合の中で収束するように拡大することを「(コーシー)完備化」といいます。この数列をつかって定義できますが、ここで厳密な議論を展開するつもりはないので割愛します。完備化の中でもコーシー完備化を取り上げたのは理由があります。それは最初の疑問、有理数と無理数だけですべて尽くされるのか、ということです。「数」を有限小数と無限小数に分けることができるということは、言い換えれば、すべての数は小数で表現可能ということです。これを保証するのがコーシー完備性です。次回はこのことと、実数の濃度について考えてみたいと思います。