X証明の流れについて「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「あらゆる3選択肢集合が価値制限(VR)を満たす」が成立することと,逆向きの矢印が成立しないことを確認しようとしています。(なお,チェーンは順序の特別な場合でした。)を満たすときでした。多数決決定法の場合,反射性と完備性が満たされるのは当然ですので,推移性の成立が1つのポイントになります。「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「あらゆる3選択肢集合が価値制限(VR)を満たす」の確認です。定理10*7では,「個人の選好の(「完全無差別以外の順序」に限定された)集合が多数決決定SWFの定義域に属する」⇔「あらゆる3選択肢集合が極値制限(ER)を満たす」を示しました。チェーンの集合は,"「完全無差別以外の順序」に限定された集合"の一種でした。よって,定理10*7を介して,「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「個人の選好の(「完全無差別以外の順序」に限定された)集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「あらゆる3選択肢集合が極値制限(ER)を満たす」が成立します。(最後の「→」は「⇔」でもよいのですが。)つまり,「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「あらゆる3選択肢集合が極値制限(ER)を満たす」ことが確認されました。補題10*eより,個人的選好がチェーン(反対称的)の場合には,ER→VRが成立するので,「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「あらゆる3選択肢集合が価値制限(VR)を満たす」が得られます。以上より,必要性を確認できました。「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」←「あらゆる3選択肢集合が価値制限(VR)を満たす」が成立しないことの確認です。VRが満たされるのに,社会的選好関係が推移性を満たさない例を1つ示し,反例を挙げるかたちで議論しようとしています。書籍の2人の選好を見比べると,xが「最悪でない」,yが「最良でない」,zが「中間でない」といった特徴があり,VRが満たされています。xIzの社会的選好関係が導かれるのはよいでしょう。このとき,(推移性が成立していれば,xPyかつyIz→xPzでなければならないはずですから)社会的選好関係について推移性が成立していないことが判ります。以上,十分性が満たされないことが確認できました。必要十分条件について「定理10*7で与えられた通り」とされており,つまり,「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」⇔「あらゆる3選択肢集合が極値制限(ER)を満たす」の意味と考えられます。必要性,すなわち「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「あらゆる3選択肢集合が極値制限(ER)を満たす」については,すでに上述の議論で確認済みでした。十分性,すなわち「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」←「あらゆる3選択肢集合が極値制限(ER)を満たす」については,定理10*4(P.215)から理解できます。(定理10*7でも,定理10*4に基づいて十分性を確認していました。特定の記述項目について,読む上でのポイントを考えるものです。本ホームページの主旨や注意などについては,こちら(「読解のポイントを探る」項目リストページ)をご覧下さい。(最終アップデート:2015年11月23日)。