2012-42012-4(1)\(\sqrt[3]{2}\)が無理数であることを証明せよ。(2)P(x)は、有理数を係数とするxの多項式で、\(P(\sqrt[3]{2})=0\)を満たしている。このときP(x)は\(x^3-2\)で割り切れることを証明せよ。(1)\(\sqrt[3]{2}\)が有理数であると仮定し、矛盾を示す。有理数であると仮定すると、a,bは互いに素な整数とし、\(\sqrt[3]{2}=a/b\)とおくことができる。\(2=a^3/b^3\)\(2b^3=a^3\)となる。これを満たすためには、aは偶数である。\(a=2a’\)と置くと、\(2b^3=8(a’)^3\)となる。これを満たすためには、bは偶数である。a,bは互いに素な整数と仮定したが、a,bともに偶数となることは不可能である。したがって仮定は矛盾するので、\(\sqrt[3]{2}\)は無理数である。a=0,b=0,c=0を示せば良い。(a)に、\(x=\sqrt[3]{2}\)を入れる。(*1)\(\sqrt[3]{2}\)が無理数であり、\(bc-2a^2\)と\(b^2-ac\)が有理数であるから、(e)が成立する必要十分条件は、\(bc-2a^2=0\),\(b^2-ac=0\)である。(*2)\(b=2a^2c\),\(b^2=ac\)なので、\(a^2c^2=2a^2c\)つまりc=0となる。したがって、\(P(x)=(x^3-2)Q(x)\)の形になるので、\(x^3-2\)で割り切れる。無理数を直接示すのは大変なので、背理法(有理数と仮定して矛盾を示す)が良いだろう。(2)は、(*1)の部分が難しいかもしれない。(*2)の論理を用いるために逆算して\((\sqrt[3]{2})^2\)を消去することに思いつくかどうかが鍵。京都大学では過去にも整数有理数がらみの証明が出ているので、準備しておく必要がある。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。