L.4〜)xIy&yIzからの1行目の展開は,以下の計算を(途中の計算を省いて)まとめて書いたものです。(下では「⇔」を用いていますが,「⇔」は「→」かつ「←」の意味なのですから,もちろん「(左辺)→(4番目の式)」が成立します。(xRy&yRz)&(yRx&zRy)(※括弧の追加)つまり,この部分の展開は基本的にIの定義によります。このあと,括弧は外してもよいこと,また出てきた4つの項は自由に順序を入れ替えてもよいことに注意します。(「&」(「論理積」つまり「かつ」)の計算は,通常の数学の「+」や「×」のように順序によらないためです。)2行目の展開は,以下の考え方によるものです。(※推移性の定義)つまり,2行目の展開は,基本的に2つの括弧について推移性の計算を施した結果です。この補題では,Rは準順序(反射性と推移性)ということになっていますから,その推移性を利用しました。(なお,上記では式を縦にそろえるために「→」の表記を用いていますが,「入れ替え」部分についてはもちろん前の式との間に「⇔」が成立します。)3行目は,1行目と同じく,基本的にIの定義によります。(2)の証明部分(2)の1行目の展開は,以下の考え方によるものです。(※一部の項のみを選択)つまり,Pの定義(P.14の定義1*1)とIの定義を用いたあとで,必要な2つの項のみを残しています。括弧の省略部分では,「→」という展開であって,「⇔」ではないことに注意します。「→」は,A&B&C&D&E→A&Cのように,一部の項目を選んで他を除いても問題ないことを思い出します。(例:「タマは猫だ&タマは黒い&タマはよく寝る→タマは猫だ」は問題のない推論と言えるでしょう。)(2)の2行目の展開はRの推移性を用いた結果です。xRzが得られましたが,証明したかったのはこのことではありません。欲しい結論はxPzなのでした。xPzは,Pの定義から「xRzかつ~(zRx)」です。そこで(xRzが得られたことは意味があるのですが),もうひとつ~(zRx)を証明しなくてはなりません。(本文中の「(2)はzRxのときのみ...偽となりえる」はこの意味であり,(xRzが得られている以上)xPzを証明する上で,後は~(zRx)の確認が必要十分であること(もし逆にzRxとなると(2)の命題が偽になってしまうこと)の指摘です。)以下,~(zRx)であることを背理法を使って証明していきます。,「~(zRx)でない」(つまり「zRxである」)ことを仮定して矛盾が生じることを証明していきます。xRzが証明されていたので,その上で「zRxである」と仮定するということは,「xRzかつzRx」を仮定することです。それは(Iの定義から),xIzと仮定することと同じです。よって,xIzと仮定して矛盾が生じることを考えてよいことになります。(本文中の「xIzと仮定せよ」はこの意味です。)以下の展開は問題ないでしょう。(急に登場するかのように見えるyIzは,もともと(2)の式の前提の1つでした。これがyIz⇔(yRz&zRy)⇔(zRy&yRz)⇔zIyのように変形された上で,(1)式と組み合わせて使われています。その後のxPyも,急に登場するように見えますが,もともと(2)の式の前提の1つでした。)(4)の証明部分1行目でxRzが得られるまではこれまでと同様です。「(4)はzRxのときのみ,...偽となりえる」の文意も(2)の場合と同様です。xPyから((3)を使って)zPyを得た,というように理解します。(xPyはもともと(4)の式の前提の1つでした。)こうして得たzPyがyPz((4)の式の前提の1つ)と矛盾することを確認して証明を終えます。この補題1*aではRの準順序性(反射性と推移性)が前提されていますが,推移性のみが証明に使われており,反射性は不要です。特定の記述項目について,読む上でのポイントを考えるものです。本ホームページの主旨や注意などについては,こちら(「読解のポイントを探る」項目リストページ)をご覧下さい。(最終アップデート:2012年1月19日)。