今回はこの文章の一番の目的である「四元数を用いた3次元回転の表現」についてがテーマです。四元数の積の構造を崩さないような変換がどのような形になるのかを見た上で、それの特別な場合が鏡映変換になることを示します。次に回転を鏡映変換の合成として考える方法を解説します。それをもとに回転を四元数で表す方法を作ります。四元数の合同変換いま四元数の中での変換として次の2つの条件を満たすものを考えます。四元数)積について「同型」であること。2つ目の条件について少し考えてみましょう。なり、積についての同型にはなっていません。そこで四元数とそれの逆元になっている四元数で挟んだ変換を考えます。(1)これならば、(2)となって、同型になります。これが線型性をもつこともすぐに確認できると思います。このような変換を合同変換と呼びます。合同変換するとどうなるか調べてみましょう。直交するので0になります。用いて、(6)より、(7)これの幾何学的な意味を考えてみましょう。方向に分解したベクトルになります。直交する方向へ分解したベクトルになるはずです。垂直な平面での「鏡映変換」になっています(図参照)。各ベクトルの関係つまり、純虚四元数での合同変換は鏡映変換を表すということが分かりました。なっていることに注意してください。鏡映変換と回転この節では幾何学的な考察を少し加えます。異なる二つの平面による鏡映変換を合成することを考えます。します(図では法線ベクトルは省略しています)。