このことを四元数で表現してみましょう。鏡映変換は合同変換によって表されたので、その合成は、です。鏡映変換にするために付けたマイナス符号ですが、合成することで消えてしまいます。求め、それの意味するところを考えましょう。直交する方向の単位ベクトルで、回転軸方向を表すベクトルです。符号と外積の順番に注意が必要です。マイナスが付きますが、合同変換の式にいれるとマイナスが2つになってキャンセルするので、負号の存在は変換の結果に影響を与えません。施せばよいということになります。実際に回転になっているか確かめる前節までの「鏡映変換の合成としての回転」は、式(8)を用いた合同変換というのを天下り的に提示することに抵抗があってその導出のようなことをやってみたわけですが、直接これが回転を表していることを示しましょう。(16)ここで第3項は直交するベクトルの内積により0になることを用いています。次にベクトル部を計算しましょう。(17)(18)(19)(20)(21)(22)ここで式(19)ではベクトル3重積の公式を用いています。用い、式(22)では三角関数で式をまとめなおしています。この最後の式がベクトルの回転を表していることを確認してみましょう。以下、簡略化のために、それぞれのベクトルに、(23)(24)(25)と名前を付けておくことにします。方向への射影になっています。直交する成分を表しています。中心に90度回転させたベクトルということになります。結局、この3つのベクトルは互いに直交する3つのベクトルになります。あり、直交する部分だけ回転したものになっていることが分かります。ベクトルの回転を表していることを確認できました。まとめ今回の計算はベクトルの内積・外積の性質を何度も使う大変なものでしたが、ベクトルの幾何学的イメージをできる限り残して議論することに力点をおきました。式(8)のような四元数がどこからくるのか、それが実際にどうやって回転を生み出すのか、ということをみることができたと思いますが、最初の合同変換の導入にまだ天下り感が残ります。これについては今後の改訂での課題とさせていただきたいと思います。これで四元数の話はほとんど終わりました。次回は全体のまとめとして少し物理との関連を書いておきたいと思います。いっても当初予定していたパウリ行列の話をすでに書いてしまったので、ネタがないというのが現状です。ネタの準備に少し時間がかかるかもしれません。