いう催しがあったらしく、旧帝大の理学部は密かに盛り上がっていたようです。このようなイベントを聞きつけては、数学愛好家として解かない訳にはいきません。実数$x$以下の最大の整数を$[x]$と表すものとする。)《考え方》さて、この数列$\{a_n\}$は一体どんな数列なのでしょうか。${}_{0}\mathrm{C}_{0}$や${}_{n}\mathrm{C}_{0}$、$0!$はいずれも$1$であるということを前提としておきます。a_0=1$$と求められます。a_1=0$$と求められます。a_2=1$$と求められます。a_3=2$$と求められます。これを順次繰り返して計算していくと、$a_4=9$、$a_5=44$、$a_6=265$、$\cdots$と求められます。$$1,0,1,2,9,44,265,\cdots$$という数列を見て何か規則性が見出せないか考えてみましょう。並べてみますと、$$1,1,3,11,53,\cdots$$となります。与えられるのではないかと見当が付くはずです。いうことは$$a_{n}=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2})$$という漸化式が成立するので、順次計算して$$a_{10}=1334961$$を得ます。\dfrac{1334961}{100}\right]=\color{red}{13349}$$と求められます。(コメント)答えを出すだけなら何でもアリの世界ではありますが、一応解説しておきましょう。本問の背景になっているのは「モンモール数は階乗数の二項変換により得られる」という事実です。「階乗数」というのは言うまでもなく$n!$のことで、「モンモール数」というのは完全順列(攪乱順列)の総数として与えられる数を指します。でない順列のことを言います。具体的な例で言うと「$1$から$n$までの番号が付けられたボールを、$1$から$n$までの番号が付けられた箱に入れるとき、ボールと箱の番号が同じにならないような組の総数」と説明できます。これがモンモール数の定義であり、本問の$a_n$の正体なのでした。x_k$$という演算により、$x_n$を新しい数列$y_n$に変換するという操作のことを指します。本問の場合は$a_n$が$x_n$に、$n!$が$y_n$にそれぞれ対応しますね。a_{n-1}+(-1)^n$$という漸化式が存在するので、こちらから$a_{10}$を計算しても良いですし、当然、ひたすら計算して$a_{10}$を求めても良いでしょう。代入すれば得られます。この関数はモンモール数の母関数(指数型母関数)となっています。