皆さんが三角関数を習ったときに「有名角」というものを一緒に教わったと思います。sin・cosの値がよく知られている角度としては、三角定規の角度でもある30°、45°、60°、90°などでしょうか。呼ばれているようです。これらの角度は三角比を習うときに必ず登場します。その理由は$\sin$(正弦)や$\cos$(余弦)の値が非常に単純な形で表せるからです。それぞれの値は次のようになります。30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$慣れてしまえばパッと出てくる値なのですが、三角比を習いたての高校1年生には少し複雑に見えるようです。これらの値は三角定規の辺の比として考えると分かりやすいのではないでしょうか。90°以上の有名角を含めた三角比の値を1つの単位円にまとめると以下のようになります。定義域において、$-1$から$1$までの任意の実数値をとります。\theta$が連続関数であることに通じるのですが、その証明で必要となる「ε-δ論法」は大学教養レベルの数学で扱われます。有名角として知られる30°、45°、60°などは様々な入試問題(高校入試も?)で出てきますが、それ以外にも重要な角度が存在します。準有名角とは?有名角の他に、高校数学で扱うことのある角度に15°や36°などがあります(補角はそれぞれ75°、54°です)。これらの$\sin$・$\cos$の値はそれなりに簡潔な表示をもつことが知られています。36^{\circ}=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$と表すことができます。-30^{\circ})$$という関係から、加法定理を用いることで正弦の値を求めることができます。36°の場合は以下のような二等辺三角形における相似比の関係から正弦の値を求めることができます。これらの角度は「準有名角」と呼ばれることがありますが、この「準有名角」という名称はあまりメジャーではないようです。Googleで検索を掛けると「有名角」では約2億件がヒットするのに対し、「準有名角」では約300万件しかヒットしません(2018/10/16現在)。「準有名角」の検索結果の中には「有名角」のみに該当するものも含まれるため、実際に準有名角を扱っているページはもっと少ないと思われます。半角の公式などを用いれば75°を半分にした37.5°や、45°を半分にした22.5°などの正弦・余弦の値も導出可能です。興味のある方は是非、導出にチャレンジしてみてください。本稿では整数の角度に絞り、さらに他の角度の正弦・余弦の値について見ていきたいと思います。1^{\circ}$は有理数か。1^{\circ}$などは近似値でしか求めることができません。1^{\circ}$を厳密に求めるには少なくとも$48$次方程式(!)の解析解を求めなければならないので、これは現実的に不可能です。3^{\circ}$であれば厳密な数値が得られることが知られています。3^{\circ}$を求めることができます。3^{\circ}$の値は高校数学の範囲で求められることが分かります。3^{\circ}$の値が分かったことで、加法定理や和積公式を用いることにより、$3$の倍数の整数角であれば幾らでも正弦・余弦の値を求めることができます。3^{\circ}$を根とする最小の多項式は$16$次なので、加法定理を使わずに腕力だけで解析解を求めるというのはあまりオススメできません(笑)。以下、$3$の倍数の整数角について正弦・余弦の値を列挙します。1$これ以上はキリがないので取り敢えず$90^{\circ}$まで掲載しました。$90^{\circ}$より大きい角の$\sin$や$\cos$はこれらの値をもとに導くことができます。\dfrac{\pi}{32}$などが求められます。\dfrac{\pi}{n}$が求められることが知られています(※注:$3$、$5$、$17$、$257$、$65537$はいずれもフェルマー素数です)。\dfrac{\pi}{n}$が求められれば幾らでも倍角の正弦・余弦の値を導くことができます。\left(\dfrac{1}{2}\pi-\dfrac{\pi}{60}\right)$$として加法定理から求めることができます。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。