名称は、数学・物理学者のカール・フリードリヒ・ガウスに由来する。この積分の応用は広い。変数の微小変化に伴う正規分布の正規化定数の計算に用いられる。積分の上の限界を有限な値に替えることで、誤差関数や正規分布の累積分布関数とも深く関連する。誤差関数を表す初等関数は存在しないが、リッシュのアルゴリズムにより微分積分学の道具立てを用いてガウス積分の値が解析的に求まることが証明できる。評価することができるのである。ガウス積分は物理学で非常に頻繁に現れ、またガウス積分の様々な一般化が場の量子論に現れる。考え、これを2通りの方法で計算する。一つは直交座標系に関する二重積分として計算し、その値は求める値の平方になることを確かめる。広義積分が現れることに注意して、これら2つの計算を比較して積分の値が求まる。\end{aligned}}}と計算できる。なることを用いている。上記の考察において、広義二重積分や二つの式を等しいとおいたことに対する正当性を再考しておこう。_{-a}^{a}\exp(-x^{2})\,dx}を考える。}I(a)}なる極限によって求められることになる。}が成り立つという事実を確かめればよい。\exp(-(x^{2}+y^{2}))\,dA}に等しいことが確かめられる。頂点集合とする正方形である。(1-e^{-2a^{2}})}なる評価を得ることができる。