名前が基礎円直径と似てるが、基準円と基礎円とは、別物なので注意。基礎円直径は、インボリュートを書くときの円柱の直径のこと。平歯車の場合は、歯底円の近くの直径になる。歯底円とインボリュートの基礎円とは異なるので混同しないように注意。(module)メートル系の規格を採用してる国では、歯車の歯の大きさを表すのに、これから説明するモジュールという値を用いるのが一般である。定義は、歯数をzとして基礎円直径をd[mm]とした場合、モジュールは、m=d/zである。2つの歯車を噛み合わせる場合は、両歯車のモジュールを等しくさせる必要がある。歯の大きさは、モジュールの値が大きいほど歯の大きさが大きくなる。2mと定められている。歯形の曲線には、インボリュートという曲線が、一般に用いられることが多い。インボリュートとは、円筒に糸を巻きつけて、ゆるみなく引きほどいていったときに、糸の先端が描く曲線。circle)という。名前が基準円(ピッチ円)と似ているが別の円なので、間違えないように。インボリュート歯形は、歯車の歯形では標準的に使われ、ほとんどの歯車の歯形はインボリュート歯形である。歯形には、インボリュートの他にも、サイクロイド歯形、トロコイド歯形、円弧歯形などの歯形もあるが、特に断らない限り本書ではインボリュート歯形を例に説明する。基礎円の付近でのインボリュート拡大図インボリュートの幾何学的な特徴として、インボリュート曲線と、その基礎円との接線とは、直角(=90°)で直交する、という性質が有る。後述するが、その結果、インボリュート歯車の作用線と歯形曲線とは、直交をする。定理インボリュート曲線と、その基礎円との接線とは、直角(=90°)で直交する。証明そもそも円とは、正多角形の角数を無限に大きくしたものでもある。(小学校などで円の面積の公式を学んだ時の論法を思い出そう。証明の方針を述べると、まず、この正多角形に糸を巻きつけて、糸をゆるみなく引きほどいていったときに、糸の先端が描く曲線について、定理を証明すれば良い。そのあとに、角数を無限大に増やせば、円の場合について証明ができる。インボリュート曲線の、多角形化した場合のモデル。図は6角形に巻きつけた糸を解いていく場合。60度、ほどくごとに、半径が変わるが、たとえ半径が変わっても、接線と半径との直交関係は同じままである。正六角形に糸を巻きつけた場合で考えよう。糸をほどくと、60°ほどくたびに、半径が変わるが、それであっても、正六角形の各頂点を中心とした円弧の組み合わせで、ほどいた曲線を表現できる。円弧の接線と、その接点を通る円弧の半径とは直交するという幾何の定理(いわゆる「接弦定理」の一例。接弦定理とは、「円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の中にある弧に対する円周角に等しい」という定理。弦が円の中心を通る場合の円周角は、円周角の定理より円周角が90°なので、接弦定理により、円周角と等しい「円の接線とその接点を通る弦が作る角」も90°になる。したがって、接弦定理と円周角の定理により、正多角形に糸を巻きつけた場合の糸の軌跡は、円弧で表現できる糸の軌跡と、円弧の半径に相当する糸とは、直交をする。60°ほどくたびに、円弧の中心位置と円弧の半径長さが変わるが、その場合でも、接線の方向は変わらないので、半径と接線とが直交するという関係も変わらない。このほどいた時に半径長さが変わる現象は、インボリュート曲線では、ほどいた糸の長さが、ほどいた角度に応じて変わり続けることに相当する。円に巻きつけた糸をほどいたインボリュート曲線でも、糸と軌跡との直交関係は変わらないということに対応する。数学の「微分積分学」や「微分幾何学」などの数学教科書を読んでも、インボリュートの糸と軌跡の直交関係が証明されておらず、暗黙の前提として、直交関係を利用している。要するに、日本の数学者が、インボリュートの証明をきちんと理解していない。)以上は正六角形を例に説明したが、同様の証明が、正四角形でも正八角形でも、正多角形でも成り立つ。正多角形の角数を無限大にすれば、円になる。よって、インボリュート曲線の基礎円の接線とインボリュート曲線とは直角に直交する。)余談かさ歯車などの歯形に用いられるインボリュート等についても、同様の証明が、円と正多角形との場合だけでなく、円錐と角錐との場合も成り立つので、かさ歯車などについてインボリュートを拡張する場合は、以上の証明での「正多角形」を「正多角錐」に置き換えれば良い。直交座標でのインボリュートの式の導出[編集]もし、読者が高校三年レベルの微分積分とベクトルと三角関数との知識を知っていれば、座標幾何学的な計算を用いて、より詳細に、インボリュートと基礎円の接線との直交を証明できる。読者がそれらをまだ知らなければ、この節は読み飛ばして頂きたい。直交座標上での式インボリュート曲線の式は、媒介変数表示を用いて以下の式である。次の式で、θは、基礎円上での、ほどかれた角度に相当し、θの単位はラジアン表示(弧度法)である。)\end{cases}}}これを導出しよう。θであることが分かる。