基礎円の根本の位置ベクトル(x_b,y_b)と、ほどいた糸のベクトル(x_s,y_s)とを組み合わせれば、インボリュートの直交座標上でのベクトル式(x,y)が導出される。)}以上で導出は、おわり。直交座標でのインボリュートと基礎円接線との直交性の導出[編集]インボリュートの接線ベクトルを求め、この説ベクトルと、糸の根本から先端までのベクトルとの直交性を調べるため、ベクトルの内積を計算すれば良い。内積を取れば計算すればいい。)=0}となり、内積がゼロになるので、軌跡と基礎円の接線とが直交することが分かる。作用線[編集]インボリュート歯車では、噛み合う歯車の接触点の軌跡(この軌跡を作用線という)が、円のインボリュートの幾何学的な性質により、両歯車の基礎円の共通接線になる。その結果として、もし取り付けの際に両歯車の軸中心間の距離が少しずれても、インボリュート歯車どうしなら、一定の回転速度でかみ合うので、便利である。action)接触点と作用線と歯形曲線の関係なぜ、軸中心が少しずれても、一定の回転速度でかみ合うかというと、もし軸中心の距離が少しずれても軌跡としている共通接線が少し変わるだけで、共通接線を軌跡とするという性質が変わらないからである。angles)という。angle"とよび区別することがある。angle"は等しくなる。angle"に相当する、歯面の法線方向と半径方向の角度の定義を持って、「圧力角」の定義としているので、注意。バックラッシュとも呼ぶ)という。この隙間は必要であり、バックラッシによって歯車は滑らかに動くことができ、また潤滑や誤差の吸収や熱膨張の吸収にも必要である。ある方向に回転していた歯車を逆方向に回転させたときに、バックラッシの長さの分だけ、かみ合わない状態が生じ、その結果として衝撃が生じることがある。歯車へのバックラッシの設け方は、二つの方法があり、取り付け時に歯車の中心間距離を少しだけ広げる方法と、歯車製作時に歯を少しだけ細く作る方法とがある。歯を細く作りバックラッシを設ける方法では、製作時の工具による歯切りのときに、切込み深さを標準の切込み深さよりも少し深くして切り込むことで、歯車を少しだけ細くしてバックラッシを設ける。gear)が、かみ合いながら自転しつつ公転する構造を持った機構である。これら太陽歯車と遊星歯車に、さらに内歯車を付け加えた機構を含めて、遊星歯車機構と呼ぶ場合もある。回転比の式の導出[編集]転がっている剛体は、地面との接触点を中心にして、自転をしている。公転と自転と回転数の関係式を計算する際、太陽歯車と遊星歯車からなる遊星歯車機構のモデルは、角柱の周りを別の角柱(ただし、両柱の一辺の長さは同じとする。)が滑りなく公転するモデルで、初等幾何的に計算できる。このとき、角柱の辺の数は、各歯車の歯数と同じにすれば良い。center)という。この角柱モデルでの説明では、自転と公転を区別することにする。遊星側の角柱の自転の中心は、転がっている遊星側の角柱と太陽側の角柱との接触点になっている頂点の位置になる。(一時的に点接触ではなく、線接触になる瞬間があるが、虫をする。)なお、今回のモデルにかぎらず、一般に、平面の転がっている剛体の回転中心は、剛体と平面との接触点になる。証明を知りたければ、多角形を転がした場合を考えれば良い。説明の都合のため、角柱は、遊星側・太陽側の両方とも正多角柱とする。ふたつの角柱は、辺の数は、違っていても構わないが、一辺の辺の長さは同じとする。自転の定義と公転の定義[編集]なお、今までの説明で特に断らなかったが、このモデルでの剛体における自転の定義は、運動をした剛体上のある1個の線分が、座標系のx軸などの基準線(これは運動によらず固定とする。)となす角度が、運動の前後で、どのくらいの変化量をしたかで定義する。この角度は、剛体上のどの線を選んでも変わらない。剛体上で選んだ線分の種類によって、運動後の基準線との角度変化量が異なったとすると、回転演算を逆算すると剛体の各質点の間隔が変わったことになり、剛体が変形したことになるので、もはや剛体の定義と矛盾する。剛体の定義は、質点の集まりとしての物体のうちで、質点相互の間隔が変わらないもののことを言う。このモデルでの剛体の公転の定義は、剛体上の一点と基準点(これは運動によらず固定とする。)とのなす角度が、運動の前後で、どのくらい変化をしたかで定義をする。剛体上の、どの点を選んでも、自転の場合と同様に、公転の結果は変わらない。点の種類によって公転の角度変化量が変わったとすると、自転の定義の場合と同様に、回転演算を逆算すると物体が変形したことになり、やはり剛体の定義と矛盾する。center)という概念があるが、これは剛体の速度分布から求めた中心点である。自転の中心と一致するとは限らないので、読者は混同しないように気をつけるべきである。他にも混同しやすい例として、縮閉線(インボリュート展開の逆操作によってもとめた点の軌跡のこと)の中心や、曲率中心(軌跡を静止した円で近似した場合の、その円の中心点)と間違えやすいが、これらとも瞬間中心は異なる概念である。平面の上を円盤や円柱が転がるときは、平面と円との接触点を瞬間中心と見なせる。この場合は、自転の中心と瞬間中心がおなじになる。瞬間中心の図1点A1,B1が移動して点A2,B2へ移った場合、図中の点Pが瞬間中心である。遊星歯車の頭文字"p"とは無関係なので混同しないように。(偶然の一致)瞬間中心の図2図中の矢印は速度方向を表している。角柱モデルでの遊星機構の説明[編集]遊星歯車機構の惑星歯車の自転と太陽歯車の公転の回転比についての、多角形モデルの外角で表した場合の原理図。太陽側の角柱を静止させて、固定させたモデルで検討をする。説明の簡単化のため、内歯車をもつ場合の機構は、別途、後述する。太陽側の歯数をZsとしよう。これをモデル化した角柱は、正S角柱だとする。遊星側の歯数はZpとしよう。これをモデル化した角柱は、正P角柱だとする。遊星側の角柱が、太陽側の角柱を接触しながら転がって、ある一辺から隣の辺に移る際の遊星側の角柱の自転角度は、幾何学的に考えれば、遊星側の角柱の外角Epに太陽側の角柱の外角Esを足した角度Ep+Esと同じである。公転が時計回りなら自転も時計回りなので、公転の向きと自転の向きは同じ向きであるので、計算では足しあわせて良い。{360}{p}}}である。{360}{P}}}で表される。公転の角度については、遊星側が太陽側の一辺を転がって隣の辺に移るたびに、太陽側の角柱の外角と同じだけ公転する。{S}{P}}}になる。余談だが、摩擦車などの周りを滑りなく転がす場合も同様の手法で自転と公転の比を、幾何学的に証明できる。この場合は、摩擦車の円周長さを、角柱の角数に置き換えて、同様に証明すれば良い。次に、円形の枠の内側に歯がついた内歯車の場合のモデルを説明する。この場合は、内歯車のモデルは、穴が空いた型枠のモデルで考えれば良い。正多角形の穴が空いた型枠を、内歯車のモデルにする。多角形の型枠の中を、別の多角形が転がる問題を考えよう。説明の便宜上、型枠の角数もS角形としよう。(太陽sunの頭文字を用いるのは不合理だが、太陽歯車の公式と内歯車の公式の2つの公式を対照的に比較できるので、この説明では型枠を正S角形とする。外側の型枠の正多角形Sは固定されて、内側の正P角形が転がる場合を考えるとする。遊星歯車の公転と自転の方向は、内歯車のモデルの場合では、逆向きになる。{S}{P}}}になる。一般的な大学レベルの機械工学の教科書では、この歯車のまわりを公転する歯車の図形問題で、外角のモデルを採用しておらず、公式丸暗記である。数学書や数学啓蒙書などでも、外角モデルを採用しておらず、円のユークリッド幾何学などから「証明」している。数学の啓蒙書に、ときどき「十円玉の円周に、別の十円玉を接触させて、すべらずに十円玉を1回公転させたら、十円玉が公転を何回するだろうか?」という問題が書いてあって、その証明で、円のユークリッド幾何学などから「証明」している。(「証明」だと、その数学書は主張している。円のモデルでは、楕円のまわりで楕円を転がす場合に拡張されると、円のユークリッド幾何学では手におえず、もはや理解不可能になる。円錐に接触させた別の円錐を転がす問題でも、手に負えなくなる。要するに、日本の数学者が、円的な図形の周りを公転する図形の問題についての、外角モデルの証明を知らない。要するに、日本数学界が、何も知らない。)遊星機構における自転と公転の回転比の公式[編集]最終的に機械技術者が知りたいのは、幾何学の角柱の性質ではなく、機械工場での実務の歯車計算である。上記の式を歯数ZsおよびZpを用いた表現に直そう。{Z_{s}}{Z_{p}}}}となる。{Z_{s}}{Z_{p}}}}になる。太陽歯車を回転させた場合[編集]二つの外歯車について、太陽側を回転させて、遊星側を固定した場合は、ただの平歯車同士の回転である。目新しい説明事項はないので、これについては説明を終える。太陽歯車と遊星歯車と内歯車を、公転を止めて自転させた場合[編集]かさ歯車の場合[編集]かさ歯車の使用例(画像では、2個のかさ歯車が噛み合っている。)かさ歯車の場合で、自転と公転の比を求めたい場合は、角柱における外角の代わりに、円錐のとなりあう2個の斜面の法線(垂直線)の変化量を、外角の代わりとして用いて同様に計算すればよい。便宜上だが、角錐や円錐のような立体図形でも、外角の定義を法線の概念によって、拡張できると見なすこともできる。図形が可展面(「かてんめん」。その図形を紙で作った場合に、切れ目を入れれば、平らな平面にできる図形のこと)である必要がある。転位歯車[編集]歯の強さ[編集]曲げ強さ[編集]sが危険断面。歯が太いほうが、直感的に言って、曲げに強いだろう。詳しくは、あとで計算する。歯車の最も弱い部分は、根本のくびれてる部分だから、この断面を定義し(危険断面と言う。右図ではsと表されてる。)その断面での、せん断応力を考えればいい。危険断面の位置と、円ピッチの位置とは異なるが、単純計算なので、歯の太さについては、とりあえずはbtで近似できると考えることにする。せん断応力の算出には、歯を片持はりと見なして計算すれば良いだけである。かみあい率については、計算の単純化のため、考えない。曲げ強さの計算では、1枚の歯に力がかかるとする。それに強さを計算するのならば、最悪の場合である1枚の歯にのみ力がかかる場合を計算するのが合理である。一般に,ピッチ円の接線方向の力が1枚の歯先に作用するものと考える。すると、直感的には、歯の強さの式は、次のような形の式になるだろう。bty}これをルイスの式という。歯形係数といい、圧力角などの形状などに依存する係数である。ルイスの式を定義することもある。こちらの定義の場合のほうが多い。Hoferの危険断面[編集]歯の曲げ強さ歯でもっとも破壊しやすい場所の曲げ強さを考えれば、じゅうぶんである。そのような、もっとも弱い場所は、歯の根元付近にある。この面を定義するため、歯形中心線(歯先の中央点から、半径方向に歯車中心点へと下ろした線。)と角30°をなして歯元に下ろした直線が、歯元の歯形曲線と内接する2点を点B,点Cとする。この線BCからなる断面を、歯の危険断面という。危険断面とは、強さの解析などの際、もっとも破壊しやすいと予測される場所のことである。(ホーファー)の30°接線法という。歯に働く力[編集]では、解析を進める。歯の円周方向の力がF[N]だとしよう。[m/s]を割れば求められる。Pやvの実験値から、F=p/vが求まる。これは、歯面で歯が受けた力(Fnとする)のうち、まず、歯を曲げようとする力はcosβ方向のぶんのみである。sinβ方向は、歯を中心軸へ向けて圧縮しようとする方向であり、曲げ方向ではない。