上の任意の二つのベクトル空間は、その次元が等しいならば互いに同型である。それらの基底の間の任意の全単射はベクトル空間の間の全単射な線型写像に一意的に拡張することができる。あるようなベクトル空間を、次のように作ることができる。F-ベクトル空間である。上のベクトル空間の構造を持つ。K-ベクトル空間と見ることもできる。dimF(V).なる関係によって結ばれている。ベクトル空間の次元について、基底の濃度および空間自身の濃度に関するいくつか簡単な公式が知られている。V),などが成立する。一般化[編集]ベクトル空間をマトロイドの特別の場合とみることができて、後者にたいして次元の概念を矛盾なく定義することができる。加群の長さおよびアーベル群の階数は、いずれもベクトル空間の次元と同様のさまざまな性質をもつ。由来する、可換環のクルル次元は、環の素イデアルの昇列における真の包含関係の個数のうち最大のものとして定義される。(線型代数学)」も参照ベクトル空間の次元は、その恒等作用素のトレースとして特徴付けることもできる。({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}})=1+1=2}はトレースの定義から明らかだが、一般化には有用である。これにより自然な意味での基底をもたないがトレースが定義できると言う場合にも次元の概念を定義することができるようになる。「恒等変換のトレース」に対応するスカラー(一次元空間上の線型作用素)であり、これによって抽象代数に対する次元の概念を考えることができる。正規化して)この合成射が恒等変換となることを要求することがある。この場合には正規化定数が次元に対応することになる。無限次元空間上の作用素のトレースを定義することもできる。この場合、(有限な)次元が存在しなくても(有限次の)トレースを定義して、「作用素の次元」の概念を考えることができる。これらは、ヒルベルト空間上の「トレースクラス作用素」やもっと一般のバナッハ空間上の核作用素の考え方に該当する。一般化して、作用素の族のトレースを「捻られた」時限の一種と考えることもできる。これは表現論において顕著に現れる。χ(1)が表現の次元ということになる。V}が成立することによる。「捻られた」次元と考えることができて、次元に関する主張に対して、「次元」を指標や表現で置き換えたアナロジーや一般化を得ることができる。このようなものはモンスター群のムーンシャイン現象の理論において生じる。j-不変量はモンスター群の無限次元次数つき表現の次数つき次元であるが、次元を指標に取り替えることによりモンスター群の各元に対してマッケイ=トンプソン級数が与えられる[1]。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。Cookieに関する声明モバイルビュ。