幾何学こんにちは!ルシアンです。^みなさんは「コホモロジー」という言葉を聞いたことがあるでしょうか?「コホモロジー」はトポロジーの研究から誕生した概念で、今では多くの数学の中に見いだされ、分野を問わず大事な存在となっています。「昨日よりコホモロジーと仲良くなる」を目標に、コホモロジーの幾何的な意味について考えてみたいと思います!※この記事は「単体複体のホモロジー」を勉強したことがあると、大分読みやすくなると思います。曲面上で、‘‘エネルギー”を観測する今日は簡単のため、三角形で分割された曲面のみを扱っていきます。具体例としては、「正方形から正方形を切り取った」ような次の図形を考えてみましょう。頂点(vertex):辺(edge):面(face):で構成されているとみることができます。「様々な‘‘エネルギー”を観測する」ということを考えてみましょう。観測方法は3種類そもそも「いきなり‘‘エネルギー”ってなに??」と思ったかもしれませんが、具体例としては色んなものが当てはまります。「‘‘各地点におけるエネルギー”を観測する」ということを考えましょう。この具体例としては、「高さ」を考えるのが最も分かりやすいかもしれません。実際に‘‘エネルギーを観測する地点”として、全ての頂点を観測地とすることにします。具体的な観測結果として次の図を考えてみましょう。「右下から左上までの最も緩やかな経路はどれだろう?」などと想像を膨らませる事もできますね。このような観測方法で得られた結果から、「頂点全体の集合」上の関数が得られます。0次コチェインと呼びます。「2地点間の‘‘向きのあるエネルギー”を観測する」という方法を考えましょう。これは、上の例の「高さ」に合わせるなら「標高の変位」や「勾配」と見なすのがふさわしいでしょう。他にも、「風力」や「磁力」などでもよいです。この‘‘向きのあるエネルギー”の観測地点として、全ての辺を観測地とすることにします。具体的な観測結果を図に描くと次のようになります。(このとき、各辺には向きが指定されていることに注意してください。)そしてこの観測方法からは、「辺全体の集合」上の関数が得られます。1次コチェインと呼びます。「0次コチェイン」から「1次コチェイン」を得るここまで2種類の‘‘エネルギーの観測方法”と、その観測結果として得られる写像0次コチェイン1次コチェインを見てきましたが、これらには次の関係があります。この構成を実際に見ていきましょう。いう辺を選んだとします。向かっていると見なします。数式にするととなります。実際、上に示した1次コチェインの具体例は、実は先に示した0次コチェインから構成したものになっていました。1次コバウンダリと言います。コサイクル条件=「局所的な‘‘エネルギー保存則”」ここで、次のような問題を考えてみましょう。」という条件を少しじっくり考えてみましょう。ついてつまりが成り立つことを意味しています。値は変化しない」ということになります。保存則が成り立つ」とも捉えられますね。この考察を私たちの具体例に当てはめてみましょう。この具体例には頂点が16個ありますが、全ての頂点はいくつかの辺をつないでいくことで結ぶことが出来ます。したがって、結果的にが成り立つことが分かります。定数関数」という結論が得られます。」をコサイクル条件といい、コサイクル条件を満たす0次コチェインのことを0次コサイクルといいます。実数値の定数関数全体を満たしています。定数関数」という結論は、これまで考えてきた具体例以外でも通用するのでしょうか?実は、そう単純にはいきません。ここにコホモロジーが世界の形を測る力の一端を見ることが出来ます。今まで考えてきた例について、中央の4つの三角形を取り除いてみましょう。