関する適当な同値類の部分集合となるときにいう。関する同値類の合併になる。定める分割の細分となるときに言う。相等関係は任意の集合上で最強の同値関係であり、自明な関係[9]はどの二元も互いに同値となるような最弱の同値関係となる。上の同値関係の全体は幾何束(英語版)を成す[10]。決めると、これは同値関係になる。呼ばれる)に分割される。書かれ、自然に演算が定義できて、加法に関するアーベル群、さらに乗法をいれて可換環になる(剰余類環)。同様の例として、商線型空間(商ベクトル空間)、剰余群(剰余類群、商群)、剰余環(商環)、商位相空間などはそれぞれ適当な同値関係による商集合(に適切な構造を付与したもの)として定義される。半順序は反射的・反対称的かつ推移的な二項関係をいう。相等関係は半順序かつ同値関係となるような関係である。相等関係は反射的・対称的かつ反対称的な唯一の関係である。半同値関係(英語版)は推移的かつ対称的である。反射的かつ対称的な関係は、それが有限なとき従属関係(英語版)といい、無限なとき容認関係(英語版)という。反射的かつ推移的な関係をいう。合同関係は適当な代数系の台集合上で定義される同値関係で、付随する代数構造と両立するようなものをいう。一般に、合同関係は準同型の核と同じ役割を果たすもので、それによる商集合に商代数系の構造を入れることができる。多くの重要な場合において合同関係は考えている構造の部分構造として実現することができる(例えば、群の合同関係は正規部分群に対応する)。1同じものに等しいもの同士は互いに等しいという公理がある。今日において、上の公理の「等しい」という部分をすべて「関係する」と書き換えた性質を満足する関係はユークリッド的(英語版)であると言われる。aRbの二種類が考えられる。与えられた左(または右)ユークリッド関係が反射的ならば、その関係は対称的かつ推移的となる。証明は以下のようにすればよい。