タクシーの乗り方の総数を数えていたら、自然数の和・2乗の和・3乗の和の公式が出てくる話2018年2月4日ここでは、自然数の和、2乗の和、3乗の和の公式を、場合の数の観点から導いてみます。変わったタクシーの乗り方の総数を数えていきましょう。以下では、和の公式を場合の数を使って導くため、ちょっと変わったタクシーの乗り方を考えます。以下のように、タクシーが1列に並んでいるとします。〇〇〇〇〇〇すべて左向きで、左が先頭だとします。4人が乗る方法を考えます。以下の2つのルールを満たすものだけを考えます。Aさんは1人でタクシーに乗る。Aさん以外の人は、Aさんより後ろのタクシーに乗る。Aさんが前から2番目のタクシーに乗ったとすると、他の人は前から3番目以降のタクシーに乗ることになります。逆に、Aさんが後ろから2番目のタクシーに乗ったとすると、他の人は一番後ろのタクシーにしか乗れません。いうルールでタクシーに乗る方法が何通りあるかを考えていきましょう。2人がタクシーに乗る方法を考えましょう。はじめはタクシーは6台並んでいるとします。〇〇〇〇〇〇Aさんがタクシーに乗る位置で場合分けをしましょう。Aさんが一番後ろに乗ると、Bさんは乗れないので、このケースはありえません。Aさんが後ろから2番目に乗れば、Bさんは一番後ろに乗る、つまり、乗り方は1通りです。Aさんが後ろから3番目に乗れば、Bさんは後ろから1番目か2番目に乗る、つまり、乗り方は2通りです。Aさんが後ろから4番目に乗れば、Bさんは後ろから1番目か2番目か3番目に乗る、つまり、乗り方は3通りです。同様に考えれば、後ろから5番目のときはBさんの乗り方は4通り、後ろから6番目(=先頭)のときは5通りです。これらの乗り方にはダブりがなく、これら以外にルールを満たす乗り方はありません。このタクシーの乗り方を、別の方法で求めてみましょう。先ほどはAさんの乗る位置で場合分けをしましたが、2人が乗るタクシーを先に決める、という方法で数えてみます。2人が乗るタクシーを決めれば、前の方にあるタクシーにAさんが乗り、後ろ側にあるタクシーにBさんが乗ればいいですね。乗るタクシーを選べば、乗り方は1通りに決まることになります。「Aさんが乗る方法で場合分けする方法」でも、「乗るタクシーを決めてから数える方法」でも、答えは同じになるはずです。これは自然数の和の公式そのものなんですね。ここまでは6台の場合で考えましたが、一般的な場合でも考えてみましょう。台のタクシーがあるとします。通り、となるので、乗り方の総数は\[1+2+3+\cdots+n\]通りとなります。\]が成り立つことがわかります。タクシーの乗り方を数えていたら、自然数の和の公式が出てきましたね。世界一わかりやすい英語の勉強法カリスマ講師・関正生の「大学入試のための英語勉強法」をあますところなく完全網羅。3人が、今考えているルールでタクシーに乗る方法を考えましょう。タクシーは6台並んでいるとします。〇〇〇〇〇〇Aさんがタクシーに乗る位置で場合分けをしましょう。Aさんが一番後ろに乗るケースはありません。Aさんが後ろから2番目に乗れば、BさんもCさんも一番後ろに乗る、つまり、乗り方は1通りです。今回は2乗が出てくるんですね。