INTEGERSインテジャーズスマートフォン用の表示で見るINTEGERS数、特に整数に関する記事。おいてはEuler積表示をもつため、その範囲では零点*1を持ちません:integers.hatenablog.comまた、階乗の記事integers.hatenablog.comで言及したように、ガンマ関数は零点を一切持ちません。零点を持たないことが分かります。零点ならばが成り立つ。零点のことを非自明な零点と呼ぶ。極である(階乗の記事を参照)ことから、命題1と合わせてが分かります。極を持たないので、次の命題が成り立つことが分かります。非自明な零点ならば、が成り立つ。非自明な零点はにおいてどのように分布しているのでしょうか?これに対する部分的解答を与えるのが所謂Riemann予想です*2。非自明な零点ならば、が常に成り立つであろう。ことをクリティカル・ラインと呼びます。非自明な零点はクリティカル・ライン上に乗っているであろう。言い換えることができます。知られているように、この予想にはクレイ研究所によって100万ドルの懸賞金が懸けられています。予想の根拠や応用性・重要性については(他の記事で将来的には述べたいと思いますが)ここでは述べません。素数分布の研究に役立つことがあるとだけ言及しておきます。非自明な零点ならば、が成り立つ。この定理から素数定理を如何にして導出するかについては次の記事で解説する予定です。今回の目標はこの定理の証明を解説することです。これは、簡単に分かる事実である命題2に現れる帯(クリティカル・ストリップ)における両端を取り除くだけの主張であって、一見難しくなさそうにも思えますが、そのことが素数定理を導出するほどに深い結果なのです。非自明な零点という主張は未だに証明されていません。それでは、定理の証明です。