黄金律は、一定の伸び率で進む経済成長のうちで、消費が最も多い経済成長である[1]。黄金則とも書く[2]。エドムンド・フェルプスの寓話は、むかしむかしソロヴィア王国の百姓オイコ・ノモスが黄金律を思いつきました、という筋書きだが[3]、本当はフェルプスをふくむ6人の経済学者がそれぞれ独自に黄金律を発案した[4]。フェルプスらの定理によると、利子率が成長率に等しいのが黄金律である[5]。黄金律では資本が稼いだ収益をそのまま資本に投資して蓄積する。このことを蓄積の黄金律[6]とも資本蓄積の黄金律[7]ともいう。黄金律では資本収益を全て再投資しないといけないので、資本を所有するだけの不労所得生活者は何も消費できない[8]。黄金律の実現は経済の成熟を示す[9]。黄金律は単純なので分かりやすい[10]。最適成長理論の基本中の基本とされる[9]。政策当局は黄金律に魅せられてその実現を試したいと思うことがある[10]。均斉成長(黄金時代)黄金律を提唱したフェルプスは、全ての経済変数がそれぞれ一定の伸び率で成長する道すじを黄金時代の道すじとよんだ[11]。この黄金時代の概念は1956年にジョーン・ロビンソンが定義した[12]。現実には経済が厳密に一定の伸び率で成長しつづけることはないので、黄金時代という言葉には「実現しない神話的な状態」という意味がこめられていた[13]。黄金時代はギリシア神話上の時代区分のひとつであり、最も古く長くつづいた時代であったとされる[14]。フェルプスが黄金律を初めて提唱したときの寓話は、古代ギリシア風の架空の王国を舞台とし、その主人公は古代ギリシア語の「経済」をモジったオイコ・ノモスという名であった[3]。黄金律が提唱された1960年代当時は経済学で黄金時代という言葉がつかわれていた[15]。現在は経済学で黄金時代という言葉をつかわず、かわりに均斉成長[16]という。これを恒常状態[17](持続状態[18]とも定常状態とも訳す)ともいうが、経済学者によっては成長率がゼロの場合に限ってこれを恒常状態とよぶことがあるというので気をつける[19]。現代の成長理論において、均斉成長は現実を要約して記述する概念として有益であると考えられている[20]。均斉成長において技術進歩は資本の生産性を高めるよりも労働の生産性を高めるかのようなかたちになる[21](#宇沢の定理)。フェルプスは、1961年に黄金律を初めて提唱したとき、このことに気づいていなかったが、1965年の訂正論文でこれを取りいれた[22]。均斉成長において資本と生産は同じ伸び率で成長する[21](#宇沢の定理)。ピケティは『21世紀の資本』の「おわりに」で資本が生産より速く急成長すると論じた[23]。このような成長は均斉成長から外れてゆく。これに対し普通の成長理論は均斉成長を基準にして経済成長を考える[20]。(黄金時代)は成長率が一定であるというだけで、それ自体が望ましいというわけではない。黄金時代(ゴールデン・エイジ)で望ましいルールを黄金律(ゴールデン・ルール)という[3]。黄金律は消費を最大にする黄金時代(均斉成長)と定義される[4]。資本収益率(利子率)が成長率に等しくなる均斉成長が存在する場合、その均斉成長が消費を最大化する黄金律である[4](#フェルプスらの定理)。黄金律のアイデアは1947年にモーリス・アレがフランス語で著した論文にさかのぼるといわれるが、黄金律の名で広く知られるようになったは、1961年にフェルプスが寓話のかたちのペーパー[3]をアメリカン・エコノミック・レビュー誌で発表してからである[25]。その後フェルプスは1965年に同誌で訂正論文[4]を発表し、1966年に著書『経済成長の黄金律』[26]を刊行した。この間、黄金律と同様のアイデアは、モーリス・アレやジョーン・ロビンソン、トレイヴァー・スワン(英語版)、カール・クリスティアン・フォン・ヴァイツゼッカー(ドイツ語版)、ジャック・デルソー(フランス語版)によっても発表された[4]。2006年フェルプスがノーベル記念経済学賞を受賞した際、フェルプスの業績の一つに黄金律に関する研究が挙げられた[25]。黄金律貯蓄率フェルプスの寓話はソロヴィア王国を舞台とする[3]。一定と仮定するモデルであった。中から消費を最大化する黄金律をえらぶという考え方をしていた[3]。等しくなるという関係が成りたつ[3]。この関係をフェルプスは蓄積の黄金律[6]とよんだ。資本蓄積の黄金律[7]ともよばれる。黄金律貯蓄率という[27]。黄金律貯蓄率は、きちんと定義された選好から導かれたものではないので最適性の特質を持たない過去の遺物であるといわれることがある[28]。レポート『黄金成長』によると、黄金律は最適成長理論で最も基本的な命題であると今も多くの経済学者が考えているという[9]。話はそれほど簡単ではない。1960年代、フェルプスらの黄金律の研究と並行して、デイヴィッド・キャスやチャリング・クープマンスが最適成長モデルをつくりあげた[29]。最適成長モデルは経済の進むべき望ましい道すじを一本えらぶ。その結果は、望ましい道すじの先にある均斉成長において、資本収益率が成長率を上まわり、消費が黄金律より少なくなる。最適成長モデルが黄金律に達しないわけは、黄金律に達すると社会厚生(英語版)が無限大になってしまって都合がわるいからである[30]。このことは次のように説明できる。最適成長モデルでは、人々の日々の消費を数値で評価し、その数値を無限の未来まで積みあげて社会厚生を計算し、その社会厚生を最大にするように経済の進む道すじを一本えらぶ。日々の消費を評価するにあたっては、未来を先にゆけばゆくほど日々の消費を割り引いて評価する。これは、目先の消費を優先して、先ゆきの消費を犠牲にする傾向があるということなので、長い目でみると消費が黄金律より少なくなる。先ゆきの消費をあまり割り引かないようにすれば長い目でみて消費は増えるが、そうして消費を増やして黄金律に近づけてゆくと、社会厚生が無限大になってしまう。社会厚生が無限大というのは素晴らしいことのように思えるが、無限大のまわりどれも無限大なので、一本の道すじをえらべない。道すじを一本えらべるようにすると黄金律に達しない。最適成長モデルでえらばれないという点に関して、フェルプスは、その場合でも黄金律は動学非効率性の境界線として規範的な意義をもつと主張した[4]。動学非効率性というのは、消費を一方的に増やせる機会があるのに、その機会を活かしていないという意味で無駄のある状況をいう。資本が黄金律を超えるほど無駄に蓄積され、資本収益率が成長率を下まわるほど低下すると動学非効率におちいる。現代の教科書でも黄金律は動学効率性の議論で役に立つとされる[28]。マンキューはピケティ『21世紀の資本』を批判するペーパーで、動学非効率性の境界線として黄金律に言及している[31]。批判されたピケティも実は『21世紀の資本』のオンライン補足資料で黄金律が動学非効率性の境界線になることを論じていた[32]。見いだし、それを根拠にして、現実経済の動学非効率性を否定した[32]。マンキューは、もっと緻密な実証方法で先進国の動学非効率性を否定する結果をえたことがあった[33]。修正黄金律もともと最適成長モデルは望ましい経済成長をえらぶためのものであったが、今はこれを市場経済のカリカチュアに使いまわす[34]。これを新古典派成長モデル[35]とか標準的新古典派モデル[34]、あるいはラムゼイ・モデル[36]という。新古典派成長モデルは、均斉成長で利子率が成長率を上まわり、消費が黄金律より少なくなる[37]。新古典派成長モデルが黄金律に達しないことを修正黄金律ということがある[38]。均斉成長の利子率を決定する数式を修正黄金律ということがある[39]。これを変形黄金則と書くこともある[40]。新古典派成長モデルが黄金律に達しないわけは、黄金律に達するようにすると家計効用が無限大になってしまって都合がわるいからである[41]。このことを説明すると、最適成長モデルのときの説明をほぼ繰りかえすことになるが、次のとおりである。新古典派成長モデルでは、永久に存続する家計が無限の未来を見とおして、日々の消費を数値で評価して、これを無限の未来まで積みあげて家計効用を計算し、その家計効用を最大にするように消費行動をえらぶ。日々の消費を評価するにあたっては、未来を先にゆけばゆくほど日々の消費を割り引いて評価する。これは、目先の消費を優先して、先ゆきの消費を犠牲にするということなので、長い目でみると消費が黄金律より少なくなる。先ゆきの消費をあまり割り引かないようにしてゆけば長い目でみて消費は増えるが、そうして消費を増やしていって黄金律に近づけてゆくと、家計効用が無限大になってしまう。無限大にならない程度にきつく割り引くようにする必要があるが、そうすると黄金律に達しない。場合、すなわち資本が黄金律を超えて蓄積されて消費が黄金律より少なくなる場合、政府は国債を十分に発行することで黄金律を達成できる[42]。そのわけは次のとおりである。現役世代は老後にそなえて貯蓄し、老後は貯蓄を取り崩して消費するという世代重複モデル(英語版)を考える。現役世代が老後の生活を心配するあまり貯蓄しすぎると、資本が黄金律を超えるほど余分に蓄積される場合がある。その場合、政府が国債を十分に発行し、現役世代が国債で貯蓄すれば、貯蓄が余分な資本蓄積にまわらなくなり、黄金律が達成される[42]。この理論は1947年にモーリス・アレがフランス語で著した論文にさかのぼるといわれるが、アレとは別にピーター・ダイアモンドが1965年にアメリカン・エコノミック・レビュー誌で発表した[43]。このことはダイアモンドがノーベル記念経済学賞を受賞した際、その業績の一つに数えられている[43]。合理的バブル動学非効率の場合、すなわち資本が黄金律を超えて蓄積されて消費が黄金律より少なくなる場合、合理的バブルが発生する可能性があり、合理的バブルが均斉成長で存続すると黄金律が達成される[44]。そのロジックは、ダイアモンドの世代重複モデルにおける国債を合理的バブルにおきかえたものであり、次のように考える。資本が黄金律を超えるほど余分に蓄積され、資本収益率が成長率を下まわるほど低下すると、低収益の資本に投資するぐらいならバブルに賭けてみるのが合理的になる。して発生する合理的バブルの収益率は裁定取引により資本の収益率と一致する。バブルというのは、本来無用の物でありながら、ただ値上がりするから買われ、買われるから値上がりする。バブルの膨張率はそのままバブルの収益率になる。バブルがうまい具合に存続するような均斉成長をバブル均衡という。バブル均衡ではバブルは経済成長率と同じ伸び率で膨張する。まとめると、1.資本収益率は裁定取引によりバブル収益率と一致し、2.バブル収益率は性質上バブル膨張率に一致し、3.バブル膨張率はバブル均衡で経済成長率と一致する。資本収益率はバブル均衡で成長率と一致する。このことはバブル均衡が黄金律であることを意味する。この合理的バブルの理論は1985年にジャン・ティロールがエコノメトリカ誌で発表した[44]。黄金律は聖書に由来するという説がある。この説によると、経済成長の黄金律の語源は、新約聖書マタイ伝にある黄金律「人にしてもらいたいと思うことは、あなたがたも人にしなさい」に由来し、これを経済用語におきかえると「現代の世代にも未来の世代にも同じだけ消費させる場合、あるいは、未来の世代の消費を自分たちの消費より少なくしない場合、一人当たり消費の最大量は黄金律である」と解釈できるから、黄金律と名づけられたのだという[46]。経済学で初めて黄金律の言葉を用いたフェルプスは、黄金時代(ゴールデン・エイジ)のルールを黄金律(ゴールデン・ルール)と名づけたのであって、語源を聖書の黄金律に求めていない[3]。聖書語源説の根拠は不明である。変数がそれぞれ一定の伸び率で成長する均斉成長(黄金時代)において技術進歩は労働拡張型である。この定理は初めジョーン・ロビンソンが図示し[47]、1961年に宇沢弘文が証明した[48]。これを宇沢の定理という[49]。Schlicht(2006)にもとづいて数式をつかって示すと以下のとおりである[50]。関して1次同次関数とする(規模に関して収穫一定)。進むにしたがって生産関数が変化することを示す。