2017年1月18日ここでは、場合の数を求めるときによく使う「反対側を数える」方法を見ていきます。2017/09/15192ページ2つのさいころをふる今後、場合の数や確率の問題を解いていくと、さいころをふる場面がたくさん出てきます。いうことで、ここでもさいころをふる問題を取り上げてみます。「大小2つのサイコロを投げたとき、出た目の積が偶数になるのは何通りか」という問題を考えてみましょう。この問題に取り掛かる前に、練習として、出た目の組み合わせが全部で何通りあるかを考えてみましょう。大きいサイコロの目の出かたは6通りで、それぞれに対して小さいサイコロの目の出かたも6通りあります。頭の中で、次のような樹形図をイメージしましょう。これを踏まえて「出た目の積が偶数になる場合」を考えてみましょう。これはどうやって考えればいいでしょうか。「出た目の積が偶数」ということは、「偶数×〇の形になっているときだ」と考えてみるとどうでしょう。「2×〇」「4×〇」「6×〇」の3パターンありますね。「2×〇」は、大サイコロが2の場合である「2×〇」でも小サイコロが2の場合である「〇×2」でもいいので、それぞれ2パターンあります。〇は何でもいいので6通りですね。上で求めたようにすべての組み合わせが36通りなので、これだと常に「出た目の積が偶数」となってしまいます。「1×1」のような例外があるのに。結果からわかる通り、この考え方は間違っているのですが、どこが間違っているでしょうか。どこが間違っていたんだろう上の解き方は、どこが間違っていたのでしょうか。「出た目の積が偶数」というのを「偶数×〇の形になっているときだ」と考えたのは、間違いではありません。「2×〇」「4×〇」「6×〇」の3パターンだ、というのも、間違っていません。次に「2×〇と〇×2があるから2通り」と考えているところがまずいです。確かに、「2×1」と「1×2」(つまり、大2小1と大1小2)であれば、2通りと数えて構いません。「2×2」はどうでしょうか。「2×〇と〇×2だから2通り」と数えてしまうと、ダブって数えてしまうことになるんですね。「2×〇と〇×2」と書くと「異なる2つのもの」という感じがしてしまいます。〇=2の場合は同じケースになるので、2通りではなく1通りとしてカウントしないといけません。「4×4」「6×6」も同様です。「2×〇の〇は何でもいいので6通り」と考えましたが、これも間違いです。「2×4」を考えてみましょう。これは「2×〇」のところでも「〇×4」のところでも数えられることになります。これもダブって数えていることになります。分けて考えていたつもりでも、よく考えるとダブって数えてしまっていることもあるんですね。いう2パターンで突っ走ってしまったことにあります。2回ダブって数えてしまいました。例題を正しく解いてみようさて、例題「大小2つのサイコロを投げたとき、出た目の積が偶数になるのは何通りか」を正しく解いてみましょう。場合分けができるように、大サイコロの目に応じて考えてみましょう。大サイコロの目が奇数か偶数かで分けてみます。大サイコロが奇数のとき、積が偶数になるのは小サイコロが偶数のときです。大サイコロが偶数のときは、小サイコロの目が何であっても積は偶数になります。この2つにはダブりがないので、これを合わせたものが答えです。\]通り、と求められます。反対側を数える上のように例題を解いてもいいのですが、「積が偶数になる」問題は、「反対側を数える」方が楽になることがあります。「積が偶数になる」というのは、わりと自由度の高い条件なんですね。掛け合わせるものの中に偶数が一つでもあればいいわけです。自由度が高いといろんなケースがあって、「数えにくい」ことが多いんです。数えにくいということは、数え間違いが起きやすいということです。この反対側、つまり、「積が奇数になる」というのは、自由度が低いんですね。掛け合わせるものがすべて奇数でないといけないからです。いう自由度が低いものは、数えやすいんですね。自由度が高いものを数える場合は、「全体から『そうじゃない』ものを引く」というやり方で、すんなり解けることがあります。「積が偶数でない場合」つまり「積が奇数の場合」というのは、大サイコロも小サイコロも奇数の目が出るときです。