a{height:48px;width:48px}.screen-reader-text{border:0;clip:rect(1px,1px,1px,1px);-webkit-clip-path:inset(50%);clip-path:inset(50%);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute!important;width:1px;word-wrap:normal!important}.blogcard-snipet{display:none}じっくり丁寧に。苦手な理系科目もきっと...。数学の公式・定理集あります。物理のヒント集もあります。2019/04/24スポンサーリンク今回は不等式の証明の応用について学習しましょう。不等式の証明では、差をつくることが基本です。問題によっては差をつくっても大小を比較することができないものがあります。不等式を証明する問題において、式が根号や絶対値を含むとき、単に差をつくっても大小を比較することができません。\Bigr)\end{align*}根号や絶対値があると、差をつくることはできても、それ以上、計算することができないことが原因です。式に根号や絶対値が含まれる場合、式の大小比較では以下の性質を利用します。0\end{align*}比較する2数が、ともに0以上である(または正である)ことが条件で、この条件は問題文に必ず明記されています。この条件がないと、利用できない性質なので注意しましょう。左辺や右辺が0以上である(または正である)という条件が明記されていなければ、自分で断りを入れましょう。例題を解いてみよう例題から不等式の証明でのポイントを確認してみましょう。例題\begin{align*}&\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。]&\text{また、(1)の等号が成り立つのはどのようなときか。例題(1)\begin{align*}&\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。]&\text{また、(1)の等号が成り立つのはどのようなときか。3\sqrt{a}+4\sqrt{b}\end{align*}例題(1)は、根号を含む不等式の証明です。根号を含みますが、条件から平方の差をつくれば大小比較ができそうです。与式から左辺と右辺が等しくなるか、左辺の方が右辺よりも大きくなることが分かります。(左辺)2-(右辺)2≧0を導くことができれば、不等式を証明することができます。平方の差をつくります。\Bigr)^{\scriptsize{2}}\end{align*}誰が見ても差が0以上であると言える形を導かなければなりません。&\Bigl(4\sqrt{a}-3\sqrt{b}\Bigr)^{\scriptsize{2}}\end{align*}平方の差を整理すると、平方完成して多項式の2乗を得ることができました。ともに0以上の実数ですから、カッコの中の多項式も実数です。平方の差を整理すると、実数の2乗を得ることができたということです。\Bigr)^{\scriptsize{2}}\end{align*}これで、平方の差が0以上であること、すなわち左辺の平方と右辺の平方との大小関係を示すことができました。これを利用して、平方する前の左辺と右辺の大小関係を示します。3\sqrt{a}+4\sqrt{b}\end{align*}平方する前の左辺と右辺の大小関係を示すとき、もとの左辺と右辺が0以上である(または0より大きい)ことを必ず記述しておきましょう。さいごに、等号が成立するときを考えます。等号が成り立つのは、差が0となるときです。]&\text{となるときである。]&\text{のとき、等号が成り立つ。}\end{align*}根号を含む不等式の証明では、平方してから証明しますが、平方する前の左辺と右辺の条件を必ず記述するようにしましょう。例題(2)\begin{align*}&\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。\sqrt{a}-\sqrt{b}\end{align*}例題(2)も基本的な方針は例題(1)と変わりません。平方の差をつくり、(左辺)2-(右辺)2>0を導くことができれば、不等式を証明することができます。平方の差をつくります。\Bigr)^{\scriptsize{2}}\end{align*}誰が見ても差が0より大きいと言える形を導かなければなりません。\Bigr)\end{align*}平方の差を整理すると、例題(1)のように、平方完成して2乗の形を得ることができません。条件を利用できる形に変形します。\Bigr)^{\scriptsize{2}}\end{align*}これで、平方の差が0より大きいこと、すなわち左辺の平方と右辺の平方との大小関係を示すことができました。これを利用して、平方する前の左辺と右辺の大小関係を示します。\sqrt{a}-\sqrt{b}\end{align*}平方する前の左辺と右辺の大小関係を示すとき、もとの左辺と右辺が0以上である(または0より大きい)ことを必ず記述しておきましょう。0\end{align*}次は、根号を含む不等式の証明を扱った問題を実際に解いてみましょう。最新情報をお届けします。数学1|図形を扱った入試問題を解いてみよう2020/02/18運用力を鍛える英文法基礎【第8回】2020/02/162020/02/18図形と方程式|三角形の面積について2020/02/15運用力を鍛える英文法基礎【第7回】2020/02/132020/02/18図形と方程式|直線に関して対称な点について2020/02/12スポンサーリンク気になる教材があればコチラで探せます。その1(立式の基本)2017/06/052019/03/07積分法|定積分と区分求積法の関係について2016/07/012019/02/27中学数学|正負の数の四則混合算を解いてみよう2016/06/282018/06/15中学数学|正負の数の加減算を解いてみよう2016/06/272018/06/122次関数|2次関数のグラフの平行移動について2017/06/072018/08/08スポンサーリンクツイートkiriこのサイトでは、できるだけ図や表を使い、丁寧な過程を記述することを心掛けながら解説しています。このサイトの記事が、苦手意識や壁を取り除くきっかけになれば幸いです。中学生の先取り学習や高校生の受験対策、社会人の学び直しなどに役立てて下さいませ。数学1|図形を扱った入試問題を解いてみよう2020/02/18運用力を鍛える英文法基礎【第8回】2020/02/162020/02/18図形と方程式|三角形の面積について2020/02/15運用力を鍛える英文法基礎【第7回】2020/02/132020/02/18図形と方程式|直線に関して対称な点について2020/02/12スポンサーリンク気になる教材があればコチラで探せます。その1(立式の基本)2017/06/052019/03/07積分法|定積分と区分求積法の関係について2016/07/012019/02/27中学数学|正負の数の四則混合算を解いてみよう2016/06/282018/06/15中学数学|正負の数の加減算を解いてみよう2016/06/272018/06/122次関数|2次関数のグラフの平行移動について2017/06/072018/08/08スポンサーリンクタイトルとURLをコピーしました。