INTEGERSインテジャーズスマートフォン用の表示で見るINTEGERS数、特に整数に関する記事。任意の自然数は四つの平方数の和として表すことができる。いつみても美しいですね^^以前の記事ではより強いJacobiの四平方の定理の証明を紹介しましたが、Lagrangeの四平方の定理の証明はもっとすっきり証明できるにも関わらず紹介していませんでした。Wikipediaに証明がしっかりと書いてあるため(またそこで使われるLegendre記号についてはインテジャーズで紹介済みであるため)、まだ証明を読んだことがない方はそちらをお読みください。存在して、が成り立つ。四平方の定理で存在する四つの整数に対してある制約(和が平方数になる)を課しても、やはりそのような整数が存在するという主張です。負の数も含める」ことに注意しましょう*2:に対してやに対してのような感じです。冪にできる」ことを示していることがわかります。主張もこう書くべきだったのでは?という気がしています。証明には「Gauss-Legendreの三平方の定理」を使います。この定理は非常に有名な定理ですが、残念ながら当ブログではまだ紹介していませんでした。非負整数)の形に書けないことである。ときは容易に直接確認できる。未満では主張が成立すると仮定して帰納法で証明する。状況に応じて場合分けを行う。「は平方数である」と読むことと規約する)。対して主張が成立することがわかる。偶数であることが分かる。