ζ(3)詳しくは後述する歴史の項を参照。多くの無理性の証明はこれを用いている。十進小数で表記すると、繰り返しのない無限小数になる。進小数にも当てはまる。存在する(ディリクレの定理)。このように無理数の有理数による近似を扱う理論はディオファントス近似と呼ばれる数論の分野に属する。無理数全体の空間を完備とするような距離が存在する。A-演算が自然に応用できる例でもあり、此の空間は点集合論的トポロジーでは重要な対象である。無理数のうち、代数的数であるものを代数的無理数、そうでないものを超越数という。有限個しかない(トゥエ-ジーゲル-ロスの定理)[4]。このことは不定方程式の解の有限性を示すときに使われる。いった数は超越数である。超越数であるか否かは未だに解決されていない。