先ほどと同じように、商と余りを使って書いてみると$7\times0+1$$7\times0+2$$7\times0+3$$7\times0+4$$7\times0+5$$7\times0+6$$7\times1+1$$7\times1+2$$\vdots$$7\times13+5$$7\times13+6$$7\times14+1$$7\times14+2$となります。7で割ったときの商は、0から14まであります。要素の個数で見た通り、「割り切れるもの=倍数」を数えるのは簡単でした。考えると、今考えている世界「1から100までの整数全体」の中では、「7で割り切れないもの」と「7で割り切れるもの」の2種類しかありません。この2種類しかないし、この2つはダブっていません。いうことは、「7で割り切れないものを数える」には、「全体から、7で割り切れるものの個数をひく」ことでも求められることがわかります。全体の個数も7で割り切れるものの個数も数えやすいんだから、こっちのほうが楽に数えられます。実際にやってみましょう。全体の個数(上の図の長方形の部分)とは、「1から100までの整数の個数」なので100個です。次に、7で割り切れるもの(色のついた部分)を考えます。14個であることがわかります。\]個と求められます。こっちのほうが楽ですね。このように、「〇〇でないものの個数」を数えるときに「〇〇であるものの個数」の方が数えやすい場合は、補集合の要素数を数えたほうが楽に解けることがあるんですね。補集合は、【基本】補集合で出てきた内容です。3で割り切れるが、5で割り切れないもの」を考えてみます。「割り切れないもの」なので、反対側を数えればいいんじゃないかという発想が出てきます。先ほどと同じように、ベン図をかいてみます。今数えたいのは、色のついた部分です。数えやすい部分を組み合わせて、うまく数える方法を考えてみましょう。3の倍数(左側の円)を数えるのは簡単です。商は33なので、33個です。これには2つの円が交わっている部分が含まれてしまっています。この重なっている部分は「3の倍数でも5の倍数でもある」数なので、「15の倍数」ということですね。15の倍数の個数を引けば、求めたい個数が求められる、ということです。\]個が答えとなります。この解き方は、「3で割り切れるが、5で割り切れないもの」を数えるために、「3で割り切れるもの」から「3でも5でも割り切れるもの」を引いて求めた、ということですね。おわりにここでは、「〇〇でないものの個数」を数えるときに、「〇〇であるものの個数」を数えて全体から引く方法を見てきました。式を使ってまとめると、次のようになります。するとき、次が成り立つ。A)\end{eqnarray}「じゃないほう」を数えるときにはよく使うテクニックなので、直接数えにくい場合は、この技が使えないか検討してみましょう。