自然数dに対して、√dは有理数かという問題を考える。この問題は2じの不定方程式x2-dy2=0が自然数解を持つかどうかという問題と関連している。次の命題は簡単だが、知っていると役に立つことが多い。[命題]整数xに対して、以下が成り立つ。4)[証明]整数xは4を法とした場合、0,1,2,3のどれかに合同である。x=0,1,2,3の場合のx2を4で割った余りを計算する。□この命題は、言い換えれば、平方数は4を法として2や3に合同になることはない。4)なので、上記の命題より17は平方数というのは間違いである。明らかに17は平方数ではない。上記の命題は平方数であるためには0または1と合同でなければならないということであり、0または1と合同であれば必ず平方数になるというのはではない。◇さらに、詳しい次の命題も示すこともできる。[命題]整数xに対して、以下が成り立つ。8)[証明]整数xは8を法とした場合、0,1,2,3,4,5,6,7のどれかに合同である。x=0,1,2,3,4,5,6,7の場合のx2を8で割った余りを計算する。□[別証][1]xが偶数ならx=2y(yは整数)と表すことができ、x2=4y2である。このとき、yが偶数なら、y2も偶数であるから、「x2=4y2=4×偶数=8の倍数」である。yが奇数なら、y2も奇数であるから、「x2-4=4(y2-1)=4×(奇数-1)=4×偶数=8の倍数」である。[2]xが奇数ならx=2z+1(zは整数)と表すことができ、x2-1=(2z+1)2-1=4z2+4z=4z(z+1)となる。zかz+1はどちらかが偶数でるため、x2-1は8の倍数である。†[例]次を満たす整数解を持たないことを示す。←(*)[証明]背理法で証明するために、(*)が整数解x,yを持つと仮定する。このとき、38の素因数である19に注目して、平方剰余の考察を行っていく。19|yであれば、(*)によって、19|x2が成り立つ。すると、19は素数であるから、19|xとなる。これで、x,yが共に19で割り切れることになったので、(*)の左辺は192で割り切れる。(*)の右辺は192では割り切れないから、これは矛盾する。したがって、yは19と互いに素でなくてはならない。(*)の両辺を19を法として考えると、次が成り立つことがわかる。19))yが19で割り切れないので、19を法とするyの逆数y-1が存在する。(**)の両辺に(y-1)2を掛けると、次が得られる。19)これは2が19を法とする平方剰余であることを示しているが、これは(2/19)=-1(2は法19の平方非剰余の1つだから)という事実に矛盾している。†[例]不定方程式x2-xy-2y2=-1は解を持たないこと(方程式を満たす整数x,yは存在しないこと)を示す。方程式を満たす整数x,yが存在すると仮定する。ここで、3を法として、xとyは0,1,2のどれかに合同である。これらの値の組み合わせについて、x2-xy-2y2の値を計算して、表を作る。3)であるから、x2-xy-2y2は解を持たないことがわかる。◇[補講]双曲線x2-xy-2y2=-1(双曲線の漸近線はx+y=0とx+2y=0)が格子点を通らないことを意味している。ユークリッドの互除法(4566d)。