整数a,b,cについて、次の方程式の整数解を求める問題を取り上げる。←(*)不定方程式(*)を解くことは、幾何学的に考えれば、直線ax+by=c上の整数点(座標が両方とも整数の点)を求めることと同じである。1次の不定方程式(*)について、次のように完全な答えを与えることができる。[定理]d=GCD(a,b)と置くと次が成り立つ。[1]cがdの倍数でなければ、(*)は整数解を持たない。[2]cがdの倍数ならば、(*)は整数解を(少なくとも1つ)持つ。x=x0,y=y0が(*)の1つの解であれば、(*)のすべての解が次の形で与えられる。←(**)ただし、tは任意の整数である。[証明]方程式(*)が整数解を持ったとすれば、dは(*)の左辺を割り切るので、dは((*)の右辺である)cを割り切らなくてはならない。これで[1]の待遇が示されたので、[1]が成り立つ。今度は、逆にdがcを割り切ると仮定する。このときは、ユークリッドの互除法によって、方程式ax+by=dの整数解x=x*,y=y*を求めることができる。x=x*,y=y*が(*)の解であることより、任意の整数tに対して(**)が(*)の解であることはすぐに確かめられる(代入して計算するだけである)。逆に、x,yが(*)の解であるとすれば、等式(*)からax0+by0=cを引き算すれば、a(x-x0)+b(y-y0)=c-c=0となるので、a(x-x0)=-b(y-y0)が成り立つ。d=GCD(a,b)で割れば、次が得られる。←(***)ここで、a/dとb/dは互いに素なので、(***)からb/dがx-x0を割り切ることがわかる。