あるときには、微分は1つ下か上に対象を動かす。これはチェイン複体上の微分に似ている。あるときには、微分は1つ左か右に対象を動かす。あるときには、微分はちょうどチェスのナイトの動きのように対象を動かす。与えられているとしよう。得、次のことを疑問に思うだろう。この列を右に続けて長完全列にするにはどうすればいいだろうか。厳密に言えば、これは不良設定問題である。与えられた完全列を右に続けるたくさんの異なる方法が常に存在するからである。右導来関手によって与えられる、ということがわかる。存在し、上記の列は以下のように続く。あることが同値であることがわかる。次ホモロジー群の間の準同型を引き起こす。この代数トポロジーの基本的な結果はチェイン複体のある種の性質による自然な説明を見つける。いくつかの位相空間を同時に研究することは非常によくあることだから、ホモロジー代数において多数のチェイン複体を同時に考察するということになる。族であって微分と交換するようなものである。}(F)}を誘導する。