上の一般線型群と呼ばれる群を成す(単位元は恒等写像、逆元は逆写像で与えられる)。任意の線型写像は行列として表すことができる。このことは、具体的な計算を可能にするという点で便利である。分かれば一つに決まる。\\a_{n}\end{pmatrix}}}と書くことができる。K-線型写像を定める。mapping)という。{e_{n}}}}]で表示されなければいけないが、この行列Lを標準行列という。{Mat}}(m,n;K)}というベクトル空間の同型が成り立つ。_{n}(K)}は結合多元環の同型になる。これらの同型が成り立つことをもって、線型写像が行列によって表現されるという。一般に無限次元のベクトル空間を扱うとき、空間には付加的な構造として位相が定められているのが普通であり、そのような空間では線型写像の連続性を考察することができる。有限次元空間(離散位相を入れるのが普通)上の線型写像は必ず連続であり、したがって不連続線型作用素の概念は特に無限次元の場合において意味を持つ。バナッハ空間のようなノルム線型空間では、線型写像がノルムの定める距離に関して連続となることと、そのノルムに関して有界となることとが同値である。あるにも関わらず、値の十分小さい函数でも導函数の値が非常に大きくなるということが起こりうる)。可微分函数の微分は必ずしも微分可能ではないから、始域よりも終域のほうが大きく、故に函数の微分は連続にならない。