「他には~?」と楽しそうに笑う先生。「それだとダメだよ」と生徒同士で、意見を言いながら方針を探していく。「真ん中に点をいれて......」とアイデアを話す生徒。にわかに盛り上がる教室。一人の生徒が「あっ」と小さくつぶやき、「真ん中に点をとったら......」とアイデアを出す。「天才!」と声があがる。P}\)のまわりの360°を引く。A}_2,......\)は\(m\)角形の頂点)「この3つの考え方、どれも大事な考え方で、このあとの授業で役に立ちますからね」と先生が念を押す。なんだか楽しそうルールを説明しながら、まずはデモンストレーション。ここで「陣取りゲームをやってみましょう」と先生が言って、がらりと雰囲気が変わる。数学の授業で、ゲーム??ルールは以下のとおり。【陣取りゲームのルール】(1)図のように平面上に8つの点がある。(2)2人で交互に、1本ずつ点と点を線分で結んでいく。引いた線分と交差してはいけない。(3)内部に(頂点以外の)点を含まない三角形ができあがったら、自分の陣地として確保できる。(4)線分がもう引けなくなったら、ゲームは終了。(5)終了時に、とった三角形の多い人が勝ち。テキストには点の配置の違うゲームが(1)~(5)まで用意されている。ルールが理解できたら、ペアになってテキストにある図を使って陣取りゲームのスタート。「後攻が有利じゃない?」と、楽しそうな声が教室中に響きわたる。みんな真剣に考え、ゲームに熱中している。テキストには、点の配置が違う5つのゲームが載っている。5つすべて終わったら、先攻後攻を入れ替えてもう1回戦。みんなの勝負が決まったところで、先生がどちらが何個の陣地をとったかの勝敗を書き出した。先生が問うと、生徒たちが「全部で9個になる!」と答える。たしかに、三角形の描き方はそれぞれなのに、ゲーム(1)と(2)の8つの点では、陣地となる三角形の合計が9個になる。?他の配置の(3)~(5)の三角形ではどうだろうか?みんなのゲームの結果を確認すると、(3)のゲームでは三角形は8個、(4)は10個、(5)では11個となることが分かった。配置が変わると三角形の総数は変わるけれど、配置が同じなら三角形の総数は一定だ。そこで新たな疑問が発生してくる。これらの8つの点の配置のうち、何が三角形の総数を決めているんだろう?「さあどうする?」と疑問を投げかける先生。考えこむ生徒を見て、ちょっと嬉しそう。全員で、もう一度テキストをながめる。一人の生徒が思いつく。「できる三角形の総数は、外側が何角形か、内部の点がいくつあるかで決まる」ということ。法則があることは分かった。してそうなるかの証明は?さて、これが最後の問題。外側が\(m\)角形で、内部にある点が\(n\)点のとき、できる三角形の総数を\(m\)と\(n\)の式で表し、どうしてそうなるかを証明せよ。首をかしげる生徒たち。「まずは仮説を立ててみよう。やってみると、6個の三角形ができる。「八角形で、内部の点が0だったら、おそらく答は6個。この6個が変わらない量、つまり『不変量』であることを証明したい。生徒たちも眉をしかめている。ため息とともに「分かんない......」の声。悩んでいる生徒を見てニコニコしながら、先生がヒントを出す。懸命に考える生徒たち。私も一緒になって考える。答はもちろん出てこない。「どんな風に分けようが、変わらない何かがあるんだよ。生徒たちが思い思いに答える。「どんな風に頂点を結んでも、そこでできるそれぞれの三角形の内角は、ぜんぶ八角形の内角に集まってるよね。一斉に教室が歓喜に湧く。先生は得意げに「ちょっと数学っぽくてかっこいい証明だと思いませんか?」と笑う。6\)さらに、証明は続く。「これをふまえて、内部の点が増えたときのことを考えてみよう。1\)の場合はどうだろうか?先ほど、八角形の中にできる三角形の内角は、八角形の内角に集まることが証明できた。\)まとめると......外側が\(m\)角形、内部にある点が\(n\)点のとき、できる三角形を\(x\)個とおく。\)「多角形の中の陣取りゲームでできる三角形の個数には、こんな数学が隠れているんだよ」という先生の言葉に、教室中から歓声があがった。答が理解できた生徒たちは、実に楽しげだ。見学者である私も充分に楽しかった。夢中になってゲームをすること、その中から疑問を見つけること、その疑問を解こうと懸命に考えること、そして答が分かったときの達成感。このストーリーには、勉強という枠を超え、人を成長させるあらゆる要素が含まれている......と考えるのは大げさだろうか。私たちを行動させる動機は、とても単純だ。おもしろいか、おもしろくないか。かっこいいか、かっこよくないか。いった感情の差異が、すぐさま行動にはねかえる。自らやるか、命令されてやるか。やらないか(かつての私のように......)。この授業で見つけた「数学のかっこよさ」という切れ端は、彼らの中で、もっともっと大きく広がっていくだろう。