X)-倍写像として作用していることを示している。与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。n重交代線型性をもつ[1]。)}が成り立っている。{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\,=\,-\,{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{11}&a_{13}\\a_{22}&a_{21}&a_{23}\\a_{32}&a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}}も成り立っている。転置行列の行列式は等しい[3]。これによって、行列式が列に関してある性質を持てば、行に関しても同様の性質を持つことが分かる。上記の性質は全て行に対するものにも書き直せる。これより特に行列式が基底の取り替えによって不変であることが従う。歴史[編集]西洋で行列式が考えられるようになったのは16世紀であり、これは19世紀に導入された行列そのものよりも遥かに昔に導入されていたことになる。数を表の形に並べたものや、現在ガウス(・ジョルダン)消去法と呼ばれているアルゴリズムは最も古くには中国の数学者たちによって考えられていたことにも注意する必要がある。解をクラメルの公式の形で、行列式的なものを含んだ形で与えている。中で同じく2×2の場合のクラメルの公式を与えている。modo(ラテン語で「様態に関するの規則」の意味)と呼ばれている。彼らは「行列式」を定義したわけではないが、その概念の萌芽をみてとることができる。ドイツのライプニッツによりほとんど同時にかつ独立に与えられた。ように添字の対によって表現していた。1678年に彼は3つの未知数に関する3つの方程式に興味を抱き、列に関する行列式の展開式を与えている。同じ年に彼は4次の行列式についても(符号の間違いを別にすれば)正しい式を与えている。ちなみにライプニッツはこの成果を公表しなかったので、50年後に彼とは独立に再発見されるまでこの成果は人々に認識されていなかった。同じ時期に関孝和は『解伏題之法』で行列式について述べている。本手稿のテーマは多変数の高次方程式から変数を消去して一変数の方程式に帰着することで、変数消去の一般的方法、つまり終結式の理論を提示している。本手稿では3次と4次に関しては行列式の正しい表示を与えているが、より高次の5次の場合はつねに0になってしまい、あきらかに間違っている。これが単純な誤記の類であるか否かは不明である。次節で述べるように、関西で活躍していた田中由真や井関知辰らの研究も同様の問題を考えており、類似の結果にたどり着いている。これらの研究では、いずれも行列式は終結式を表すための手段にすぎず、行列式そのものを意味のある対象として捉えていたかについては異論がある。実際、それをあらわす用語すら提案されていない。日本が鎖国によって外界から遮断されていたこともあり、西洋数学に影響を与えることはなかった。1710年(宝永7年)頃)で、第一列についての余因子展開を一般の場合について正しく与えている。5次までの行列式を、井関知辰は『算法発揮』(1690年(元禄3年)刊)で第一行についての余因子展開を一般の場合で与えている。ちなみに関や田中の著作は写本のみであるが、井関の著作は出版がなされている。ヨーロッパにおいても、行列式の理論は日本の場合と同じく(一次ではなく)高次の代数方程式の変数消去の研究のために発展した。1748年にマクローリンの(死後に刊行された)代数学の著作において4つの未知数に関する4つの方程式の系の解が正しい形で述べられ、行列式の研究が再開されることになった。1750年にクラメルは(証明抜きで)N個の変数に関するN個の方程式からなる方程式の解を求める規則を定式化した。この行列式の計算方法は順列の符号にもとづく繊細なものだった。ベズー(1764年)やファンデルモント(1771年、ファンデルモンド行列式の計算)などがそれに続き、1772年にはラプラスによって余因子展開の公式が確立された。翌年にはラグランジュによって行列式と体積との関係が発見されている。そこで彼は二次形式の判別式(今日的な意味での行列式の特別な例と見なせる)を用いている。彼はさらに行列式と積の関係についても後少しのところまでいっている。現代的な行列式の概念の確立[編集]現代的な意味での行列式という用語はコーシーによって初めて導入された。彼はそれまでに得られていた知識を統合し、1812年には積と行列式の関係を発表している(同じ年にビネも独立に証明をあたえていた)。コーシーは平行して準同型の簡約化についての基礎付けの研究も行っている。1841年に「クレレ誌」で発表されたヤコビの3本の著作によって行列式の概念の重要性が確立された。ヤコビによって初めて行列式の計算の系統的なアルゴリズムが与えられ、またヤコビアンの概念によって写像の行列式も同様に考察できるようになった。行列の枠組みはケイリーとシルベスターによって導入された。ちなみにケイリーは逆行列の公式を確立させており、行列式の記号として縦棒を導入したのも彼である。ロンスキアンなど数学の様々な分野にあらたに行列式を持ち込むことが追求されている。次の正方行列については、左上から右下へ向かう方向に「+」、右上から左下へ向かう方向に「-」の符号を付けて積を取りそれらの和を取ると行列式が求められる。これを「サラスの方法(英語版)」または「サラス展開」、「たすきがけの法」と言う。比べてはるかに少ないため、4次以上の正方行列にはこの方法は使えない。三角行列の行列式は、主対角成分の総乗をとることで求まる。三角行列の主対角成分には固有値が並ぶから、行列式の値は固有値の総乗である。このことは、基底の取替えによる行列の三角化可能性と行列式の乗法性によって、一般の正方行列に対しても正しい。与えられた行列の行列式の値は、その行列の固有値の総乗に等しい。determinant)という。ないような小行列式の最大サイズは行列の階数に一致する。cofactor)という。含まない形で定義する場合もある。_{nj}a_{nj}}と展開される。_{in}a_{in}}と展開される。(余因子の定め方によっては展開の符号が変わる。少ない行列式であるから、展開を繰り返すことで元の行列の行列式を小さなサイズの行列式の計算に帰着させることができる。基本変形に対する行列式の性質をうまく組み合わせると展開の効率を高めることができる。{A}}=\det(A)I_{n}}となることが確かめられる。n-次単位行列である。採用する流儀もあるので、単に「余因子行列」といったときにはどちらの流儀であるか注意が必要である。行列式の性質[編集]基本的な行列式の性質を以下に示す。